Paradoks Kembar

Menurut relativitas khusus waktu bagi pengamat bergerak mengalir lebih lambat dibanding pengamat diam yang dikenal sebagai dilasi waktu (time dilation). Kuantitas dari perbedaan waktu dari dua kerangka yang berbeda yaitu:

dengan γ merupakan koreksi relativistik. Mengingat mustahil suatu objek melaju lebih cepat dibanding cahaya dalam ruang hampa, maka otomatis nilai γ ≥ 1.

Misalkan dua orang anak kembar, Ketut dan Rabittut, segera setelah lahir Rabittut pergi ke suatu bintang dengan roket berkelajuan konstan, v (agar efek relatifistik nampak, anggap v > 0,5 c). Sekian puluh tahun kemudian, Rabittut pulang kembali ke Bumi menemui saudara kembarnya, Ketut. Pertanyaannya, siapakah yang nampak lebih muda? Menurut kerangka inersial Ketut, Rabittutlah yang bergerak dengan kecepatan v, sehingga usia Ketut tentulah lebih tua dari usia Rabittut. Namun Rabittut juga dapat mengklaim berdasarkan kerangka inersialnya (dengan mengabaikan percepatan dan perlambatan saat roket berangkat dan berbalik ke Bumi) Ketutlah yang bergerak, sehinggak Rabittut dapat mengklaim Ketutlah yang lebih muda. Manakah yang benar?

Sebelum kita melakukan penghitungan, penting untuk diketahui Jarak antara Bumi dan bintang menurut Rabittut ialah D_R = D_K/ γ.

Oke, mari kita mulai melakukan penghitungan dengan kerangka Ketut. Menurut kerangka Ketut, Rabittut menempuh perjalanan sejauh 2d_K (pulang-balik) dengan kecepatan v. Perjalanan ini memakan waktu 2d_K/v. Transformasi  Lorentz  untuk waktu memberikan hubungan antara waktu yang ditunjukkan jam milik Ketut (t_K) dan jam milik Rabittut (t_R) sebagai:

dengan x_K ialah jarak antara mereka. Selama perjalanan Rabittut ke bintang, berlaku persamaan

x_K = v × t_K

Dengan melakukan substitusi dari kedua persamaaan di atas didapatkan:

atau

Dari persamaan ini kita dapatkan Jam milik Rabittut bergerak lebih lambat dari jam milik Ketut dengan faktor 1/γ. Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa hal ini juga berlaku dalam perjalanan Rabittut pulang ke Bumi, sehingga umur Ketut, A_K

dan umur Rabittut, A_R

Jadi, selisih umur mereka ialah

Sekarang kita melakukan penghitungan dengan kerangka Rabittut. Transformasi  Lorentz memberikan hubungan antara waktu miliki Ketut dan Rabittut menurut Rabittut

Yang mana memberikan

Hasil di atas menunjukkan Jam milik Ketut bergerak lebih lambat dari jam miliki Rabittut dengan faktor 1/γ. Nampak adanya kontradiksi dengan penjelasan sebelumnya yang menyatakan jam milik Rabittut lebih lambat daripada milik Ketut. Namun, sebenarnya tidaklah demikian, kita tidak dapat membandingkan penunjukan waktu dari dua kerangka di tempat yang berbeda hingga mereka bertemu kembali. Ketika mereka bertemu kembali barulah nampak siapa yang lebih tua atau lebih muda. Jika diteruskan akan didapatkan selisih usia antara Ketut dan Rabittut menurut Rabittut ialah

Saat Rabittut sampai ke Bintang kemudian berbalik ke Bumi, ia merubah kerangka inersialnya. Sebelum Rabittut tiba ke bintang, hubungan antara jam Ketut dan jam Rabittut diukur oleh Rabittut ialah

Dan setelah ia menuju Bumi, hubungan keduanya ialah:

Dua persamaan terakhir menunjukkan perbedaan  pengukuran jam miliki Ketut oleh Rabittut yang selisihnya ialah

Selisih ini terjadi akibat perubahan kerangka inersial milik Rabittut. Akhirnya, setelah melakukan koreksi, selisih usia antara Ketut dan Rabittut diukur oleh Rabittut

Mengingat 1/γ² + v²/c² = 1, didapatkan selisih umur mereka menurut kerangka Rabittut

Hasil di atas sesuai dengan pengukuran berdasarkan kerangka Ketut sebelumnya.

comicstrip: