Aproksimasi Keliling Elips

Menentukan keliling elips ternyata tidak semudah menentukan luasnya. Tidak ada persamaan eksak yang sederhana untuk mencari keliling suatu elips. Ada yang sederhana, tapi tidak eksak, dan yang eksak tidak sederhana, karena berbentuk infinity series yang tentunya dalam penghitungan dilakukan pemotongan suku yang jadinya tidak eksak juga, tapi keteitiannya bisa kita ubah sesuka hati. Penentuan keliling elips penting dalam bidang keteknikan seperti menghitung jumlah material yang diperlukan untuk membuat sebuah tangki beralas elips dan volum cairan di dalamnya. Beberapa rumus keliling elips yang mungkin pernah Anda lihat ialah:

$$K = \pi(a+b)$$ atau $$K = \pi \sqrt{2(a^2 + b^2)}$$

yang sama sekali tidak presisi.

Dalam koordinat kartesian, elips yang berpusat di \(P=(x_0,y_0)\) dengan sumbu panjang \(a\) dan sumbu pendek \(b\) (sudah saya bahas di sini) diperikan oleh persamaan

$$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$$

Di mana sumbu panjang elips sejajar sumbu-X. Bila elips berpusat di \((0,0)\), persamaan elips dapat dituliskan sebagai

$$ y = b \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} $$

Luas elips didefinisikan sebagai:

$$ L = 2\int_{-a}^{a} y(x)\: \mathrm{d}x = 2 \frac{b}{a} \int_{-a}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\: \mathrm{d}x = 2\frac{b}{a}\left ( \frac{\pi a^2}{2} \right )$$ $$ L = \pi a b$$

Adapun kelliling elips memenuhi

$$ K = 2\int_{-a}^{a} \sqrt{1+\left ( \frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x} \right )^2}\: \mathrm{d}x $$

yang solusinya tidak dapat diberikan dalam fungsi analitik yang dikenal. Oleh karena itu, keliling elips hanya dapat dihitung menggunakan jumlahan deret atau formula aproksimasi. Salah satu rumus aproksimasi keliling dari Ramanujan ialah sebagai berikut

$$K\approx \pi(a+b)(1+3h/(10+\sqrt{4+3h}\, ))$$

dengan

$$h=\frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}$$

Rumus dari Ramanujan di atas sangat teliti untuk eksentrisitas yang tidak begitu besar, tapi cukup melenceng pada elips yang sangat pepat. Dapat dibuktikan bahwa elips dengan eksentrisitas \(e = 0\) (lingkaran, \(a = b\)) kelilingnya akan menjadi \(K = \pi(a+b)\), sedangkan jika \(e = 1\) kelilingnya akan menjadi \(K = 4a\) karena b-nya menjadi nol. Berbagai rumus-rumus aproksimasi dan infinity series untuk keliling elips dapat Anda simak lebih jelas di http://www.numericana.com/answer/ellipse.htm. Persamaan aproksimasi lain yang lebih sederhana (namun lebih tidak teliti, tetapi cukup dapat diandalkan) serta contoh infinity seriesnya ialah:

$$K\approx \pi\sqrt{2\left ( a^2+b^2 \right )-\left ( a-b \right )^2/2}$$ $$K\approx 2a \pi\left [ 1-\left ( \frac{1!!}{2!!} \right )^2e^2-\left ( \frac{3!!}{4!!} \right )^2\frac{e^4}{3}-\left ( \frac{5!!}{6!!} \right )^2\frac{e^6}{5}-... \right ]$$

dengan \(e\) eksentrisitas elips, \(e = \frac{\sqrt{a²-b²}}{a}\) dan tanda '!!' merupakan operasi faktorial ganda (misal 7!! = 7×5×3×1, atau 8!! = 8×6×4×2). Bagi yang tidak suka repot, berikut program numerik buatan saya yang berbasis spreadsheet untuk memudahkan pekerjaan tanpa perlu ngitung. Silakan di unduh jika mau.