Laman

Kamis, 03 Februari 2011

Γ(½)

Berhubung lagi tidak ada ide dan sedang keranjingan latex, jadi saya posting-posting sembarang saja, Mmm.... kali ini mengenai nilai \(\Gamma (1/2)\) [bacanya gamma seperdua]. Fungsi Gamma merupakan bentuk integral tak wajar yang didefinisikan sebagai:

$$ \Gamma (\alpha )=\int_{0}^{\infty} x^{(\alpha -1)}e^{-x}\: dx $$

Sehingga dapat kita cari \(\Gamma (1/2)\) yaitu:

$$ \Gamma \left ( \frac{1}{2} \right )=\int_{0}^{\infty} x^{-\frac{1}{2}}e^{-x}\: dx $$

substitusikan \(x = u^2\), sehingga \(dx = 2u\: du\), didapatkan:

\begin{align} \Gamma \left ( \frac{1}{2} \right ) &= \int_{0}^{\infty} (u^2)^{-\frac{1}{2}}\: e^{-u^2}\: 2u\: du \nonumber \\
&=2 \int_{0}^{\infty} e^{-u^2}\: du \nonumber \end{align}

kuadratkan kedua ruas agar dapat ditransformasi ke koordinat bola:

$$ \left \{ \Gamma \left ( \frac{1}{2} \right ) \right \}^2=\left\{2 \int_{0}^{\infty} e^{-u^2}\: du\right\}\left\{2 \int_{0}^{\infty} e^{-v^2}\: dv\right\}=4\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-(u^2+v^2)}\: dudv $$

Sekarang lakukan transformasi, mengingat \(u^2 + v^2 = r^2\) dan \(du\:dv = r\: dr\: d\theta\) sehingga:

\begin{align} \left \{ \Gamma \left ( \frac{1}{2} \right ) \right \}^2 &= 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\infty}r e^{-r^2}\: dr\: d\theta \nonumber \\
&= 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left [ -\frac{1}{2}e^{-r^2} \right ]^{\infty}_0\: d\theta \nonumber \\
&= 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}\: d\theta \nonumber \\
&= 4\times \frac{1}{2}\times \frac{\pi}{2}=\pi \nonumber \end{align}

Akhirnya diperoleh

$$ \Gamma \left (\frac{1}{2} \right ) = \sqrt{\pi} $$ Selesai.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar