p a r a d o k s: Persamaan Schrödinger

Persamaan Schrödinger dapat diturunkan dari persamaan umum gelombang:

$\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2}$

Dengan melakukan separasi variabel

$\psi(x,t)=\varphi(x)\phi(t)$

didapatkan

$\frac{v^2}{\varphi(x)}\frac{d^2 \varphi(x)}{d x^2}=\frac{1}{\phi(t)}\frac{d^2 \phi(t)}{d t^2}=-\omega^2$

dari persamaan di atas dapat diperoleh dua persamaan, yaitu:

$\frac{d^2 \phi(t)}{d t^2}+\omega^2\phi(t)=0$

$\frac{d^2 \varphi(x)}{d x^2}+\frac{\omega^2}{v^2}\varphi(x)=0$

yang solusi umumnya untuk $\small \phi(t)$ ialah:

$\phi(t)=A\: e^{-i\omega t}$
$\varphi(x)=C\: cos\left (\frac{\omega}{v}x \right )+D\: sin\left (\frac{\omega}{v}x \right )$

mengingat $\small \omega=2\pi \nu$ dan $\small v=\lambda \nu$ , maka didapatkan solusi dari persamaan gelombang:

$\varphi(x)=C\: cos\left (\frac{2\pi}{\lambda}x \right )+D\: sin\left (\frac{2\pi}{\lambda}x \right )$

Jika mengambil model partikel dalam kotak

$\frac{2L}{\lambda}=n;\; n=1,2,3,...$

Jika menggunakan syarat batas φ(x) = 0 untuk x = 0, didapati bahwa koefisien C = 0 sehingga suku pertama dapat ditiadakan. Dengan mengingat persamaan ke-dua, solusi persamaan gelombang ini menjadi:

$\psi_n(x,t)=Asin\left (\frac{n\pi}{L}x \right )e^{-iEt/\hbar}$

Sekarang kita menggambarkan gerak partikel dalam suatu keadaan ruang-waktu dengan beranggapan keadaan partikel dalam bentuk gelombang, maka kita dapat melakukan substitusi, di mana

$E=E_k+E_p=\frac{p^2}{2m}+V$

dan ν = E/p, sehingga didapatkan

$v=\frac{E}{\sqrt{2m(E-V)}}$

Dengan substitusi nilai ν serta substitusi $\small E=\hbar \omega$ , persamaan gelombang dapat dituliskan dalam bentuk:

$\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2}=\frac{2m(E-V)}{E^2}\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2}$

mengingat $\small \psi(x,t)=\varphi(x)e^{-iEt/\hbar}$ , maka $\small \partial^2\psi(x,t)/\partial t^2=(-E^2/\hbar^2)\psi(x,t)$ sehingga didapatkan bentuk persamaan Schrödinger:

$\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2}=-\frac{2m(E-V)}{\hbar^2}\psi(x,t)$

atau

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2}+V\, \psi(x,t)=E\, \psi(x,t)$

Catatan: $\nu$ = frekuensi (nu) dan $v$ = kecepatan.

baca juga: Penyelesaian PDP orde-2 dengan Separasi Variabel

p a r a d o k s

Laman

Kamis, 02 Juni 2011

Persamaan Schrödinger

3 komentar: