Laman

Kamis, 15 September 2011

Pembuktian ∫ dx/x = ln(x)

Ini merupakan pelajaran matematika SMU, tapi berani jamin tak banyak guru maupun mahasiswa matematika yang tahu kenapa ∫ dx/x = ln(x). Pada kesempatan ini saya akan membuktikannya. Senjata yang kita perlukan adalah deret Mac Laurin untuk ex, namun saya tidak akan menurunkannya dari deret Taylor yang menggunakan kalkulus, saya akan menurunkan deret Mac Laurin ex dari deret binomial Newton yang notabene bisa didapat dengan aljabar biasa.

Pertama, ingat kembali nilai tetapan Euler atau bilangan natural yang didefinisikan sebagai:



sehingga ex dapat dituliskan



Dengan deret binomial Newton



kita peroleh



Mengingat n amat sangat besar (menuju tak hingga), maka nilai nx bisa diabaikan dalam (nx)2 - nx. Begitu pula (nx)2 dan nx kita abaikan dalam (nx)3 - 3(nx)2 + 2nx sehingga didapatkan



Jadilah deret Mac Laurin untuk ex. Nah, sekarang kita buktikan sesuatu yang sangat unik, yaitu turunan dari ex.



yang nampaknya bernilai sama dengan ex. Jika diteruskan hingga suku ke-berapa pun hasilnya akan sama sehingga dapat kita tuliskan

Ini adalah salah satu bentuk yang istimewa dalam kalkulus. Selanjutnya kita akan membuktikan ∫ dx/x = ln(x) dengan memilih fungsi




sehingga



dengan kata lain diperoleh persamaan diferensial



Kita coba selesaikan





mengingat nilai y yang memenuhi PD di atas ialah y = ex, berarti x = ln(y), sehingga akhirnya diperoleh



Q.E.D.

5 komentar: