p a r a d o k s: Pusat Massa

Sabtu, 18 Februari 2012

Pusat Massa

Interaksi antar materi seringkali merupakan interaksi banyak titik materi. Pada sistem banyak titik, selain terdapat gaya eksternal (F^e) juga terdapat gaya internal (F_ij) antar titik-titik dalam benda. Untuk itu diperkenalkan pusat massa, di mana gaya aksi yang diberikan ke setiap titik materi dipandang sama dengan gaya aksi yang diberikan pada pusat massa suatu sistem materi tunggal. Contoh sederhananya saat kita melempar bola ke atas, sebenarnya semua titik pada materi mendapatkan gaya aksi yang besarnya kita sebut F_i. Namun akan lebih sederhana jika kita menganggap bola itu sebagai satu titik materi saja, yakni pada pusat massanya.

Pusat massa suatu benda ialah titik di mana gaya internal pada sistem massa sama dengan nol. Untuk benda simetris yang homogen, letak pusat massa tentulah berada tepat di tengah-tengah benda. Lalu, bagaimana untuk benda yang tidak simetris?

Ambillah persamaan gaya yang bekerja pada sistem banyak titik

$\sum_{i}\mathbf{F}_i^e + \sum_{i}\sum_{j \neq i}\mathbf{F}_{ij}=\frac{d^2}{dt^2}\sum_{i}m_i\mathbf{r}_i=\mathbf{F}$

Jika kita mengambil suatu titik di mana gaya internalnya nol, diperoleh

$\frac{d^2}{dt^2}\sum_{i}m_i\mathbf{r}_i=\sum_{i}\mathbf{F}_i^e=\mathbf{F}^e$

Titik itu haruslah mewakili keseluruhan sistem secara makroskopis, sehingga notasi sumasi di ruas kiri menjadi lenyap. Titik itulah yang kita sebut sebagai pusat massa, yang berjarak R dari sembarang pemilihan koordinat awal.

$\sum_{i}m_i\, \mathbf{r}_i=\sum_{i}m_i\, \mathbf{R}$

$\mathbf{R}=\frac{\sum_{i}m_i\mathbf{r}_i}{\sum_{i}m_i}=\frac{1}{M}\sum_{i}m_i\mathbf{r}_i$

Akhirnya diperoleh

$M\frac{d^2\mathbf{R}}{dt^2}=\mathbf{F}^e$

Pada postingan ini akan dibahas cara menentukan pusat massa benda homogen. Pendekatannya dapat dilakukan dengan dua cara yaitu diskret dan kontinu. Misal untuk gambar di bawah ini.

Jika kubus-kubus kecil penyusunnya memiliki rusuk 4 cm dan massa m, di manakah letak pusat massa benda itu? Kita akan menghitungnya bagian-demi bagian dan parameter demi parameter (x, y, z).

Kubus pertama (kiri)
r₁(x,y,z) = (2,2,2)
Kubus ke-dua (tengah)
r₂(x,y,z) = (2,6,2)
Kubus ke-tiga (depan)
r₃(x,y,z) = (6,6,2)
Kubus ke-empat (atas)
r₄(x,y,z) = (2,6,6)

Karena semua kubus kecil memiliki massa yang sama, m, maka pusat massanya, R ialah:

$R_x=\frac{\sum_{i}m_i\, r_{xi}}{\sum_{i}m_i}=\frac{2m+2m+6m+2m}{m+m+m+m}=3$

$R_y=\frac{\sum_{i}m_i\, r_{yi}}{\sum_{i}m_i}=\frac{2m+6m+6m+6m}{m+m+m+m}=5$

$R_z=\frac{\sum_{i}m_i\, r_{zi}}{\sum_{i}m_i}=\frac{2m+2m+2m+6m}{m+m+m+m}=3$

Akhirnya diperoleh $\mathbf{R}=(3,5,3)$ .

Contoh tadi adalah untuk benda yang bisa didekati dengan metode diskret. Bagaimana dengan pelat berbentuk segitiga siku-siku?

Untuk benda semacam ini kita dapat memecahnya menjadi segmen-segmen kecil lalu dijumlahkan (jumlahan Riemann). Berbicara tentang penjumlahan Riemann artinya kita akan bersinggungan dengan integral. Dalam bentuk integral, persamaan pusat massa dapat dituliskan

$\mathbf{R}=\frac{1}{M}\int\mathbf{r}\: dm$

Di mana dm ialah elemen massa, atau massa dari tiap-tiap segmen. Di sini kita mendefinisikan massa jenis σ (massa per satuan luas), yakni σ = M/A. Karena luas segitiga di atas ialah ½ a.b, maka:

$\sigma=\frac{2M}{ab}\; \rightarrow \; M=\frac{\sigma ab}{2}$

Mengingat segitiga siku-siku dapat kita nyatakan dalam persamaan garis y(x) = mx = bx/a, diperoleh luas tiap segmen yang berbentuk segi empat (dA) tidak lain adalah dx × y(x) sehingga elemen massa

$dm=\sigma\, dA=\sigma y(x)\, dx$

Sekarang kita sudah bisa memulai menghitung pusat massa segitiga.

$R_x=\frac{1}{M}\int_{0}^{a} x\, dm$

$R_x=\frac{1}{M}\int_{0}^{a} x \sigma y(x)\, dx$

$R_x=\frac{1}{M}\int_{0}^{a} x \, \sigma \frac{b}{a}x\, dx = \frac{\sigma b}{aM}\int_{0}^{a}x^2\, dx$

$R_x=\frac{\sigma b}{aM}\left [\frac{x^3}{3} \right ]_0^a=\frac{\sigma a^2b}{3M}$

Substitusi kembali M = σab/2, akhirnya diperoleh

$R_x=\frac{2}{3}a$

Akhirnya ketemu juga, tapi itu baru absisnya, belum ordinatnya. Silakan Anda mencari sendiri nilai R_y. Caranya serupa, hanya saja Anda harus mengubah fungsinya menjadi x(y) = ay/b dan integrasikan terhadap y, nanti akan diperoleh bentuk

$R_y=\frac{1}{M}\int_{0}^{b} y \sigma a\left (1-\frac{y}{b} \right )\, dy=\frac{\sigma ab^2}{6M}$

Pada akhirnya pusat massanya ialah

$\mathbf{R}=\left (\frac{2}{3}a,\frac{1}{3}b \right )$

8 komentar:

Anonim19 Mei 2012 pukul 22.20
isi blognya bagus sekali gan
kalo bisa disebutkan juga nama jelas agan biar saya nggak bingung kalo mau nyantumin sumbernya di referensi makalah saya.
BalasHapus
Balasan
Anonim26 Februari 2013 pukul 07.36
misi sob numpang tnya.....klo nyari pusat massa suatu turbin angin 3 sudu...bgmn yaaa???
BalasHapus
Balasan
Sunkar Gautama27 Februari 2013 pukul 18.32
ya, prinsipnya benda itu dipecah menjadi bagian-bagian yang baku, dalam artian pusat massanya telah diketahui dengan pasti (misal balok, segitiga, lingkaran atau bola). Setelah itu digabungkan dengan rumus (Σ m_i * r_i)/(Σ m_i)
BalasHapus
Balasan
Anonim3 September 2014 pukul 19.32
Permisi, mau tanya dong. Itu saat mencari ordinatnya bagaimana bisa ketemu a(1-y/b)? Terima kasih...
BalasHapus
Balasan
Unknown29 Oktober 2016 pukul 21.49
Maaf kalo untuk sumbu z nya pada plat tersebut bagaimana ya?
BalasHapus
Balasan

Tambahkan komentar

p a r a d o k s

Laman

Sabtu, 18 Februari 2012

Pusat Massa

8 komentar:

Daftar Bacaan Saya

Entri Populer Bulan Ini