Misalkan vektor \(\mathbf{A}\) dinyatakan dalam koordinat \(O(X,Y)\) sebagai \(\mathbf{A} = \hat{\mathrm{e}}_i A^i = x\hat{\imath}+y\hat{\jmath}\). Jika dilakukan transformasi koordinat berupa rotasi, \(O \xrightarrow[]{\mathrm{rot}(\theta)} O'\), maka komponen vektor A akan bertransformasi menjadi \( (A^i)'=A'^j=\binom{x'}{y'}\). Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar berikut.
 |
| Gambar 1 Rotasi bidang terhadap sumbu tegak lurus. |
Meskipun jalinan komponen vektor dalam kedua koordinat tersebut berbeda, namun vektor \(\mathbf{A}\) sendiri tidak berubah (inverian). dapat kita tuliskan
\begin{align} \mathbf{A} = \hat{\mathrm{e}}_i A^i = \hat{\mathrm{e}}_{j}' A'^{j} \label{invA} \end{align}Berdasarkan Gambar 1, diperoleh jalinan
\begin{align} x'&= \overline{OB} + \overline{BC} = \overline{OB} + \overline{DE} \nonumber \\&= x \cos \theta + y \sin \theta \label{x'} \\
y'&= \overline{AD} - \overline{AB} \nonumber \\
&= y \cos \theta - x \sin \theta \label{y'} \end{align}
Kedua persamaan di atas dapat diringkas ke dalam persamaan matriks,
\begin{align} \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta\\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \nonumber \\A'^j &= R A^i \label{P1} \end{align}
Lantas bagaimana dengan basisnya? Bayangkan vektor satuan pada sumbu \(X\) dan \(Y\) diputar sebesar \(\theta\). Tentunya vektor satuan baru, \((\hat{\imath}',\hat{\jmath}') \) juga memenuhi transformasi
\begin{align} \left.\begin{matrix} i' & = & \hat{\imath} \cos \theta + \hat{\jmath} \sin \theta \\ j' & = & -\hat{\imath} \sin \theta + \hat{\jmath} \cos \theta \end{matrix} \, \right\} \label{P2} \end{align}Apakah ini berarti transformasi berupa rotasi koordinat tidak memenuhi persamaan (\ref{invA})? Mari kita coba nyatakan transformasi basis di atas dalam notasi matriks.
\begin{align} \begin{pmatrix} \hat{\imath}' & \hat{\jmath}' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \nonumber \\\mathbf{\hat{e}}_j &= R_e \, \mathbf{\hat{e}}_i \label{P3} \end{align}
Perhatikan bahwa
\begin{align} \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta\\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} = 1 \nonumber \end{align}Ternyata operator transformasi basis adalah invers dari operator transformasi komponen vektor. Dengan demikian, diperoleh hasil yang konsisten,
\begin{align} \mathbf{A} = \hat{\mathbf{e}}_j' A'^j = (\hat{\mathbf{e}}_i R_e) (R A^i) = \hat{\mathbf{e}}_i A^i \label{P4} \end{align}Jelas bahwa \(R_e R\) harus bernilai sama dengan 1.
Lalu bagaimana dengan rotasi dalam ruang tiga dimensi? Misalkan kita telah memiliki sembarang vektor \(\mathbf{P}=x \mathbf{\hat{\imath}}+y\mathbf{\hat{\jmath}}+z\hat{k}\) yang disajikan dalam koordinat kartesian \(K\). Kemudian, kita perlu menyatakan jalinan \(\mathbf{P}\) dalam koordinat baru \(K'\) yang memiliki orientasi yang berbeda dari \(K\). Misalkan kita nyatakan perbedaan orientasi kedua kerangka tersebut dalam selisih sudut azimut \(\phi\) dan sudut polar \(\theta\). Untuk menyelesaikan problem ini, perlu dilakukan dua kali rotasi. Pertama ialah rotasi sumbu \(X\) ke arah sumbu \(Y\) sebesar \(\phi\) untuk mendapatkan sumbu \(X^*\) dari koordinat perantara \(K^*\), kemudian kita rotasikan lagi sumbu \(X^*\) ke arah sumbu \(Z\) sebesar \(90^\circ-\theta\) untuk mendapatkan sumbu \(X'\) dari koordinat \(K'\).
 |
| Gambar 2 Rotasi kerangka dalam ruang 3 dimensi. |
Pada rotasi pertama \(K \rightarrow K^*\) dengan transformasi \(K^* = R^{(1)} K\), sumbu \(X\) dan \(Y\) bertransformasi seperti pada kasus 2-dimensi sebelumnya sedangkan sumbu \(Z=Z^*\). Dengan demikian, matriks transformasinya ialah
\begin{align} R^{(1)}=\begin{pmatrix} \cos \phi & \sin \phi & 0\\ -\sin \phi & \cos \phi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \label{P5} \end{align}Pada rotasi ke-2, \(K^*→K'\) dengan transformasi \(K'=U^{(2)} K^*\), sumbu \(X^*\) dan \(Z^*\) bertransformasi seperti kasus 2-dimensi sebelumnya, serta sumbu \(Y^*=Y'\). Mengingat \(\sin(90-\theta)=\cos \theta\) dan \(\cos(90-\theta)=\sin \theta\) maka matriks transformasinya ialah
\begin{align} R^{(2)}=\begin{pmatrix} \sin \theta & 0 & \cos \theta\\ 0 & 1 & 0\\ -\cos \theta & 0 & \sin \theta \end{pmatrix} \label{P6} \end{align}Dengan demikian, transformasinya totalnya, \(K \rightarrow K'\), memenuhi
\begin{align} K' = R^{(2)} K^* = [R^{(2)} R^{(1)}] K = R K \label{P7} \end{align}Menyulihkan persamaan (\ref{P5}) dan (\ref{P6}) ke dalam persamaan (\ref{P7}), didapatkan sajian eksplisit matriks transformasi \(K \rightarrow K'\).
\begin{align} R &= R^{(2)} R^{(1)} \nonumber \\&=\begin{pmatrix} \sin \theta & 0 & \cos \theta\\ 0 & 1 & 0\\ -\cos \theta & 0 & \sin \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \phi & \sin \phi & 0\\ -\sin \phi & \cos \phi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \nonumber \\
&=\begin{pmatrix} \sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \theta\\ -\sin \phi & \cos \phi & 0\\ -\cos \theta \cos \phi & -\cos \theta \sin \phi & \sin \theta \end{pmatrix} \label{P8} \end{align}
Selengkapnya...
