Pembuktian Teorema Pascal

          Perhatikan gambar di samping. Menurut Teorema Pascal, untuk sembarang segi enam tali busur, titik XYZ terletak dalam satu garis lurus dan saat ini kita akan membuktikannya. Pertama-tama kita buktikan terlebih dahulu jumlah sudut yang berselang satu sudut pada segi enam tali busur (semisal A + C + E atau B + D + F) selalu sama dengan 360°. Dengan teorema segiempat tali busur diketahui dua sudut yang berhadapan jumlahnya 180°, dengan demikian:

 

B + AFC = 180°

D + CFE = 180°

Didapatkan B + AFC + D + CFE = B + D + F = 360°. Demikian pula jika mengambil pasangan A-C-E. Jadi telah dibuktikan

A+C+E = B+D+F = 360°   .... (1)

 

Perhatikan segi empat CDEY (gambar atas), karena segi empat, jumlah sudutnya harus 360°.

y + (180° - E) + (360° - D) + (180° - C) = 360°

y = 360° – (180° - E) – (360° - D) – (180° - C)

y = C + D + E – 360°

ingat A + C + E = 360°, atau C + E = 360° - A, jadi:

y = (360° - A) + D - 360°

y = D – A    .... (2)

Berikutnya, perhatikan segitiga EYZ, diperoleh:

(180° - E) + (y + y’) + z’ = 180°

y’ = E – y – z’    .... (3)

Berikutnya lagi, perhatikan segitiga CYX, diperoleh:

(180° – C) + (y + y”) + x’ = 180°

y” = C – x’ – y   .... (4)

Setelah itu perhatikan segitiga XDZ, diperoleh:

x’ + z’ + D = 180°

x’ + z’ = 180° – D

-(x’ + z’) = D – 180°   .... (5)

          Nah, sekarang persenjataan telah lengkap, mari kita buktikan. Menurut Teorema Pascal, ketiga titik perpotongan dari perpanjangan rusuk segi enam tali busur yang saling berhadapan (titik X, Y dan Z) jika dihubungkan akan membentuk satu garis lurus. Bagaimana cara membuktikannya? Jika y’ + y + y” = 180°, maka jelas terbukti XYZ segaris.

Anggap y’ + y + y” = θ

Ingat persamaan (3) dan (4)

(E – y – z’) + y + (C – x’ – y) = θ

E + C – y – z’ – x’ = θ

Ingat persamaan (2) dan (5)

E + C – y – (x’ + z’) = θ

E + C – (D – A) + (D – 180°) = θ

E + C + A – 180° = θ

Ingat persamaan (1)

A + C + E = 360°

360° - 180° = θ

θ = 180°

Terbukti θ = y’ + y + y” = 180°, dengan demikian XYZ segaris.

          Tidak hanya sampai di situ, teorema Pascal juga berlaku pada geometri proyeksi, dengan kata lain teorema Pascal juga berlaku pada elips dan proyeksi lingkaran lainnya. Coba Anda lihat gambar di atas secara menyerong sampai lingkaran O terlihat elips (lebih baik melihat dengan satu mata). Garis XYZ tetap terlihat segaris. Jadi terbukti teorema Pascal juga berlaku pada geometri proyeksi.