Unduh Soal dan Solusi Resmi Olimpiade Astronomi

Olimpiade Sains Nasional 2018 tidak lama lagi digelar. Bagi yang tengah belajar mempersiapkan diri untuk OSN Astronomi, berikut saya kumpulkan soal-soal dan solusi dari olimpiade tahun-tahun sebelumnya (OSK, OSP, dan OSN). Anda bisa mengunduhnya di halaman ini. Solusi yang termuat dalam arsip adalah solusi resmi dari penyelenggara OSN. Di dalamnya termasuk solusi dari soal pengolahan/analisis data yang mana tidak banyak ditemui. Oke, silakan mengunduh dan selamat belajar.

Selengkapnya...

Paradoks Epimenides: Epimenides Berbohong!

Pada postingan sebelumnya mengenai paradoks Epimenides atau liar paradox, dituliskan adanya keadaan kontraintuitif dari pernyataan:

Epimenides seorang Kreta memberikan pernyataan, “Semua orang Kreta adalah pembohong”.

Tentunya kita akan mengambil kondisi ideal dengan menganggap “pembohong” berarti “selalu berkata bohong”, karena jika tidak maka paradoks tadi tidak lagi menjadi paradoks. Potongan kisah Epimenides saya kutip di bawah ini*:

They fashioned a tomb for three, O holy and high one
The Cretans, always liar, evil beast, idle belliest
But thou art not dead: thou livest and abidest forefer
For in three we live and move and have our being
—Epimenides, Cretica

Jadi, asumsi kita mendeskripsikan “pembohong” sebagai “selalu berkata bohong” tidaklah keliru.

Kita telah mencoba memecahkan paradoks ini sebelumnya. Jika Epimenides berkata jujur, maka berarti yang dikatakannya benar yakni orang Kreta selalu berkata bohong. Tentunya ini kontradiksi dengan pernyataan awal (ingat Epimenides juga orang Kreta), Epimenides berkata jujur. Jika Epimenides berkata bohong, artinya “semua orang Kreta selalu bebohong” tidak benar. Nah, kalau kita menggunakan logika yang dangkal, kita akan melihat jika “semua orang Kreta selalu berbohong” tidaklah benar, berarti semua orang Kreta jujur, yang bertentangan dengan asumsi sebelumnya, Epimenides berbohong. Ternyata, jika kita menggunakan logika matematika, akan jelas bahwa Epimenides sebenarnya berbohong—tanpa kontradiksi!

Misalkan nilai kebenaran pernyataan Epimenides kita simbolkan sebagai \(A\) jika benar dan \(\neg A\) jika salah (kebohongan). Orang Kreta kita simbolkan sebagai \(x\), dan selalu berkata bohong sebagai \(\neg P(x)\) (anggap selalu berkata jujur sebagai \(P(x)\)). Jadi, pernyataan di atas dapat kita tuliskan dalam notasi:

“Epimenides berkata jujur jika dan hanya jika semua orang Kreta selalu berkata bohong”.

$$ A \Leftrightarrow \forall (x)(\neg P(x)) $$ dan ingkarannya:

“Epimenides berbohong jika dan hanya jika tidak benar bahwa ‘semua orang Kreta selalu berkata bohong’”.

$$ \neg A\Leftrightarrow \neg \left [\forall(x)\: (\neg P(x)) \right ] $$

Menggunakan hukum ingkaran dari pernyataan berkuantitas, diperoleh

$$ \neg A\Leftrightarrow \exists (x)\: (\neg (\neg P(x)))) $$ $$ \neg A\Leftrightarrow \exists (x)\: P(x) $$

Jadi, pernyataan “Epimenides berbohong jika dan hanya jika tidak benar bahwa ‘semua orang Kreta selalu berkata bohong’ ” setara dengan “Epimenides berbohong jika dan hanya jika ada orang Kreta yang selalu berkata jujur”. Jadi, jika Epimenides berbohong, artinya ada orang Kreta yang selalu berkata jujur. Lihat, tidak ada kontradiksi di sini. Ada orang Kreta yang selalu berkata jujur tidak harus berarti semuanya selalu berkata jujur, mungkin saja ada yang pernah berbohong—dan salah satunya ialah Epimenides.

Oke, tadi kita mendefinisikan \(P(x)\) sebagai selalu berkata jujur. Pun bila kita mendefinisikan \(P(x)\) sebagai tidak selalu berkata bohong, tetap tidak akan muncul kontradiksi bila Epimenides berbohong. Jika Epimenides berbohong, artinya ada orang Kreta yang tidak selalu berkata bohong. Lihat, tidak ada kontradiksi juga di sini. Orang Kreta tidak selalu berkata bohong bisa saja berarti terkadang mereka berbohong dan ini tidak bertentangan dengan kenyataan bahwa Epimenides baru saja berbohong.

Kesimpulannya: Epimenides berbohong. Paradoks Epimenides terselesaikan.

* https://en.wikipedia.org/wiki/Epimenides_paradox

Baca juga:

Paradoks Epimenides
Paradoks tukang cukur
Paradoks tahanan
Selengkapnya...

Penyelesaian Integral Fungsi Lingkaran dan Hiperbola

Berikut ini solusi (berikut cara penyelesaian) bentuk integral fungsi lingkaran, ∫ √(a - x²) dx dan integral fungsi hiperbola, ∫ √(a + x²) dx.

int sqrt(a - x^2) dx dan int sqrt(a + x^2) dx.

integral fungsi lingkaran.pdf by Sunkar E. Gautama

Selengkapnya...

Soal dan Pembahasan OSK Astronomi 2012

Buat yang belum tahu, Anda dapat memperoleh soal OSK Astronomi 2012 di laman download atas usaha Pak Mariano. Beliau juga memberikan pembahasannya di blog Pembahasan Soal-Soal Olimpiade Astronomi. Kunjungi aja.

Selengkapnya...

Pembahasan Soal OSK Astronomi 2011

1. C.

Katai coklat merupakan proto-bintang yang gagal terbentuk menjadi bintang karena massanya kurang dari 0,08 massa Matahari, jadi katai coklat bukan bagian dari tahap akhir evolusi bintang.

2. C.

Ingat m = -2,5 log(F) + C, untuk membandingkan magnitudonya maka:

m₁ – m₂ = (-2,5 log(F₁) + C) – (-2,5 log(F₂) + C) = -2,5 (log(F₁) – log(F₂)) = -2,5 log(F₁/F₂)

Karena saat terhalang setengahnya fluks Venus yang sampai ke Bumi setengah dibanding saat tak terhalan sama sekali, maka F₁ = 0,5 F₂ . Masukkan dalam rumus didapatkan 0,75.

3. B.

Makin besar luminositas bintang, makin tajam/sempit garis spktrum yang dihasilkannya.

4. E.

Jika disederhanakan, reaksi fusi yang terjadi dalam inti Matahari adalah pengubahan 4 atom Hidrogen menjadi satu atom Helium.

5. D.

6. D

Pemampatan oleh gravitasi pada katai putih menyebabkan elektron tertarik ke inti dan dilawan oleh degenerasi elektron yang diterangkan oleh prinsip ekslusi Pauli.

7. B.

Pada pukul 2 waktu lokal, jarak zenit Matahari = 30° (ingat 1 jam = 15°), dengan menggunakan rumus tangen didapatkan S’ = S tan 30° = 8,8 meter.

8. C.

Pada bulan Desember Matahari berada di GBS, Juni di GBU, Maret dan September di ekuator. Jadi pada bulan Desember siang lebih panjang di belahan Bumi selatan dan lebih pendek di belahan Bumi utara (malah tak terbit di kutub utara). Sebaliknya pada bulan Juni siang lebih panjang di belahan Bumi utara dan lebih pendek di belahan Bumi selatan (tak terbit di kutub selatan). Bagi pengamat di kutub utara, bintang dengan deklinasi kurang dari 0° tidak akan terlihat.

9. D.

Dalam 23 jam 56 menit 4 detik (anggap 24 jam) bintang menempuh lintasan 360° pada bola langit. Dengan demikian selama 12 menit (0,2 jam) bintang menempuh lintasan (0,2/24)360° = 3°.

10. B.

11. C.

Analogikan dengan fase Bulan, bulan baru (posisi konjungsi) kulminasi atas pada tengah hari. Bisa digambar dalam grafik.

12. B.

Opsi a, b, c, dan e betul, tapi hanya b yang berkaitan langsung dengan soal. Pada gerhana Matahari, bulan menghalangi piringan Matahari dilihat dari titik tertentu di permukaan Bumi, sehingga jika di satu tempat terlihat gerhana Matahari belum tentu di tempat lain melihatnya (efek paralaks). Berbeda dengan gerhana Bulan di mana Bulan betul-betul tertutup bayangan Bumi sehingga oleh pengamat di mana pun (sekalipun bukan di Bumi) akan melihat gerhana Bulan, tentu saja asalkan Bulan sudah terbit.

13. B.

Coba lihat gambar konfigurasi fase-fase Bulan. Pada bulan baru, Bulan berada di sebelah Bumi yang menghadap Matahari (terang), dan sebaliknya pada bulan purnama. Dengan demikian pada bulan baru pengamat di Bulan melihat Bumi dalam keadaan purnama.

14. E.

Soal ini menjawab dirinya sendiri tapi agak nggak nyambung dengan yang ditanya.

15. B.

16. B.

Luminositas dan temperatur tidak terkait secara bilateral, melainkan melibatkan variabel radius bintang. Meskupin luminositas besar, jika radius juga sangat besar bisa saja temperaturnya rendah. Warna bintang tergantung hanya terhadap temperaturnya.

17. E.

Garis helium terionisasi hanya terjadi pada bintang bersuhu tinggi (kelas O), sebaliknya pita molekul TiO hanya nampak pada bintang dingin (kelas K dan M).

18. E.

Elektron yang berpindah dari tingkat energi rendah ke tingkat energi yang lebih tinggi akan menyerap energi, bukan memancarkan energi.

19. C.

Bintang dengan selisih magnitudo 1 memiliki perbedaan kecerlangan 2,5 kali.

20. A

Diagram H-R membandingkan antara luminositas dan temperatur, adapun umur bintang bergantung pada massa awalnya.

21. A.

Saat bulan purnama dan Bulan berada pada titik perigee (titik terdekat dengan Bumi, sehingga nampak lebih besar) meyebabkan Bulan nampak lebih terang dari biasanya (sekitar 13%) yang disebut supermoon.

22. B.

Rotasi benda menyebabkan gaya sentrifugal yang mengarah ke luar sumbu putar. Efek ini menyebabkan material Bumi terutama di daerah ekuator (yang kecepatannya lebih tinggi) terdorong ke luar sehingga Bumi berbentuk agak pepat.

23. D

24. A.

Bintang-bintang tidak terlahir pada saat yang bersamaan. Bintang-bintang tua (populasi II) terbentuk lebih awal, karena itu sedikit mengandung elemen berat dan berada di sekitar halo dan nukleon galaksi. Bintang-bintang yang lahir belakangan mengandung lebih banyak elemen berat hasil “pencemaran” dari ledakan bintang-bintang tua. Bintang muda ini (populasi I) lebih panas dan berlokasi di lengan dan nukleon galaksi.

25. A.

Gugus bola mengandung bintang-bintang populasi II dan berada di halo galaksi, sedangkan gugus galaktik berisi bintang-bintang populasi I dan umumnya berada di lengan galaksi.

26. D.

27. B, E.

Aberasi kromatis hanya terjadi pada lensa (refraktor) karena cahaya melewati medium kaca menyebabkan difraksi cahaya sehingga cahaya merah difokuskan lebih jauh dibanding cahaya biru. Aberasi sferis terjadi pada lensa maupun cermin, jelasnya silakan baca posting mengenai “Cermin dan Lensa : Fokus = ½ Pusat Kelengkungan?”

28. C.

Pembesaran suatu teleskop (magnifience), M = f_ob/f_ok.

29. C.

Dengan mengamati gerakan harian sunspot, kita dapat menghitung pergeseran rerata sunspot dalam sehari (misal x°), sehingga dapat diambil kesimpulan dalam 360/x hari Matahari telah berotasi sekali. (sekitar 25 hari pada daerah lintang 0°) Berbeda dengan siklus sunspot yang berdasarkan maksimum-minimum penampakan sunspot yang berperiode sekitar 11 tahun.

30. A.

Bisa diselesaikan dengan deret, tapi di sini saya selesaikan secara primitif.

Pukul 21 = tertutup ½, sisa ½

Pukul 22 = 1/3 * ½ = 1/6, tertutup ½ + 1/6 = 2/3, sisa 1/3

Pukul 23 = ¼ * 1/3 = 1/12, tertutup ½ + 1/6 + 1/12 = ¾, sisa ¼

Pukul 24 = 1/5 * ¼ = 1/20, tertutup ½ + 1/6 + 1/12 + 1/20 = 4/5, sisa 1/5

Selengkapnya...

Pembahasan Soal OSP Astronomi 2008

Jawaban soal pilihan ganda:

1) a 2) d 3) a 4) a 5) a 6) d 7) a 8) d
9) b 10) c 11) c 12) b 13) d 14) b 15) c 16) c

Coba dikerja dulu sendiri, kalau tetap nggak ngerti silakan ditanya lewat comment.


Pembahasan soal essai:

1.
d = 4,4 ly = 1,35 pc
(α,δ) = (14^h39,5^m, -60^o50’)
Diketahui magnitudo semu Matahari dari Bumi, m₁ = -26,7. Mengingat jarak Bumi-Matahari = 1 AU = 1/206265 pc, maka:
m - M = -5 + 5 log d
M = m + 5 - 5 log d
M = -26,7 + 5 - 5 log(1/206265)
M = 4,87

Nah, untuk mengetahui magnitudo semu Matahari dilihat dari α Cen, gunakan lagi rumus modulus jarak
m = M - 5 + 5 log d
m = 4,87 - 5 + 5 log(1,35)
m = 0,52

Koordinat Matahari dilihat dari α Centaury dianggap sama dengan koordinat Bumi dilihat dari α Centaury yaitu
(α,δ) = (-14^h39,5^m, -60^o50’) = (α,δ) = (9^h20,5^m, -60^o50’)



2.
Diketahui Fluks Matahari yang diterima asteroid saat di aphelium (Q) = 0,5 kali dibanding saat berada di perihelium (q). Mengingat persamaan
F = L/4πd² serta luminositas Matahari, L konstan, didapatkan hubungan F*d² = konstan, sehingga

F_Q.Q² = F_q.q²
0,5 = (q/Q)²
q = 0,707 Q

sehingga eksentrisitas, e

e = (Q - q)/(Q + q)
e = 0,172

b = a(1-e²)^1/2
a = b/√(1-e²) = 1,3/√(1-0,172²) = 1,32 AU

Karena asteroid mengorbit Matahari, penyederhanaan Keppler III dapat dipakai

a³ = T²
T = √(1,32³)
T = 1,516 tahun

Sekarang untuk mencari kelajuan lepas asteroid saat di aphelium, kita cari dulu panjang apheliumnya.

Q = a(1+e) = 1,32(1+0,172) = 1,547 AU = 2,314 . 10¹¹ m

v_esc = √(2GM/R)

M = massa Matahari = 1,99.10³⁰ kg, dan untuk aphelium, masukkan R = Q, diperoleh v_esc = 47,9 km/s



3.
Karena radius dan temperaturnya sama, berarti Energinya sama, sehingga untuk i = 90^o, saat paling redup ialah saat terjadi okultasi (gerhana) total, yaitu saat bintang satu tepat menutupi bintang lain.
Oleh karena itu, untuk terang minimum E₁ = E₀ dan terang maksimum E₂ = 2E₀. Selisih magnitudonya

m₂ - m₁ = -2,5 log (E₂/E₁)
m₂ - m₁ = -2,5 log 2 = -0,753



4.
T = 12,5 hari
M = 90M_o
ΔM/Δt = -10^-6 M_o/tahun

dalam 10⁷ tahun,

M' = M + ΔM
M' = 90 - (10^-6)(10⁷)
M' = 80M_o

Gunakan penyederhanaan Keppler III

a³/T² = M

Mengingat jarak bintang dianggap konstan, maka
MT² = M'T'²
T' = √175,8 = 13,26 hari



5.
indeks s = bintang sekunder, p = bintang primer
Diketahui:
T = 50 hari = 0,1369 tahun = 4.320.000 detik
t_a = lama gerhana = 10 jam
t_a = lama gerhana total = 1 jam

v_rp = 20 km/s
v_rs = 50 km/s
v_r = 20 - (-50) = 70 km/s

Diameter linear bintang:
s = v*t

D_s = v_r*(t_a - t_b)/2
D_s = 70 * (10-1)/2 * 3600 s = 1.134.000 km

D_p = v_r*(t_a - (t_a-t_b))/2 = v_r*(t_a + t_b)/2
D_p = 70 * (10+1)/2 * 3600 s = 1.386.000 km

dengan demikian, radius masing-masing bintang R_s = 567.000 km dan R_p = 693.000 km


sekarang menghitung massa total, ingat kecepatan orbit (lingkaran) = π/2 kali kecepatan radial

v_p = 20.000 m/s
v_s = 50.000 m/s

ingat rumus GMB, v = 2πr/T, sehingga:

a_p = r_p = (20.000)(4.320.000)/(2π) = 1,375 × 10¹⁰ m
a_s = r_s = (50.000)(4.320.000)/(2π) = 3,438 × 10¹⁰ m
a_total = 4,813 × 10¹⁰ m = 0,322 AU

Masukkan dalam rumus Keppler III

M_total = a³/T²
M_total = (0,322)³/(0,1369)²
M_total = 1,78 kali Massa Matahari

Untuk massa masing-masing bintang, gunakan perbandingan M_p a_p = M_s a_s, diperoleh M_p = 1,27 massa Matahari dan M_s = 0,509 massa Matahari.


Oke, sekian dulu. Kalau Anda menemukan kesalahan ketik, kalkulasi, atau bahkan saya yang salah kerja, mohon dilaporkan..
Selengkapnya...

Pembahasan Soal OSK Astronomi 2010

Berikut jawaban soal Olimpiade Astronomi Kabupaten/Kota tahun 2010 (soalnya silakan unduh di laman download). Saya dedikasikan khusus kepada Pak Armanto dan murid bimbingannya, semoga sukses..


No. 1 - 25:

b c c a d e d b c b
a b c c d b d d d b
a a c b c

2.

H = (65 km/s)/Mpc

ingat 1 Mpc (megaparsec) = 1.000.000 pc, 1 pc = 3,26 tahun cahaya (ly), 1 ly = 9,46 . 10^12 km

H = (65 km/s)/((1.000.000)(3,26)(9,46 . 10^12)km)

H = 2,11 . 10^-18 s^-1

Usia maksimal alam semesta, t = 1/H = 4,74 . 10^17 s = 15 milyar tahun

3.

tan δ = D/d, di mana δ diameter sudut, D diameter dan d jarak

untuk Bulan, D/d = (1/4)/1 = 1/4

untuk Matahari, D/d = 100/(1/400) = 1/4

Jadi diameter sudut Bulan dan Matahari nampak sama dari Bumi (terbukti dengan pengamatan kan?), jadi gambar yang cocok ialah gambar C.

4.

Reaksi fusi dalam inti Matahari melibatkan reaksi berantai, jika diringkaskan menjadi:

4 Hidrogen -> 1 Helium + neutrino + energi

5.

T₁ = 5800 - 1500 = 4300 K

T₂ = 5800 K

B = T⁴

(B₂/B₁) = (T₂/T₁)⁴ = (5800/4300)⁴ = 3,31

6.

Hanya planet inferior yang dapat mengalami perubahan fase karena posisinya bisa berada di antara Bumi dan Matahari.

8.

HA = LST - α + t

jika berada di zenit, berarti HA = 00.00 dan LST = 00.00

t = HA - LST + α

t = 00.00 - 00.00 + 14.00

t = 14.00 waktu lokal (WIB) = 15.00 WITA

10.

Sebenarnya ada dua kemungkinan yang dimaksudkan dalam soal. Jika dimaksudkan periode, maka bentuk elips memiliki periode terpanjang. Bentuk hiperbola mengakibatkan komet yang mendekat ke Matahari kemudian balik menjauh dan tidak kembali, jadi tidak bisa dikatakan periode.

11.

(K/2) + D = 20 AU

(πD/2 + D) = 20 AU

D(π/2 + 1) = 20 AU

D = 7,70 AU

L/2 = ½(¼πD²) = 23,77 AU

12. 
Dari survei cacah bintang yang dilakukan pada empat daerah diperoleh jumlah bintang pd masing2 daerah adalah a,b,c,dan d. hub keempatx adlah

ab+cd= 38

ac+bd= 34

ad+bc= 43

berapa jumlah total bintang (a+b+c+d)

ab + ac + ad + bc + bd + cd = 38 + 34 + 43

a(b + c + d) + b(c + d) + cd =115

ab + a(c + d) + b(c + d) + cd = 115

ingat ab + cd = 38

a(c + d) + b(c + d) = 77

(c + d)(a + b) = 77

77 memiliki faktor 1, 7, 11, berarti (c+d)(a+b) = 7*11 atau 11*7

jadi a + b + c + d = 7+11 = 18

mungkin ada cara lain yang lebih bagus..

13.

Perhatikan gambar:

x + 90º + 26º + x = 180º

jadi x = 32º

14.

Suatu pengolah sinyal radio teleskop mengubah sinyal masukan x menjadi keluaran f(x) menurut aturan f(x)= px+q jk keluarannya dimasukkan kembali menjadi masukan sebanyak dua kali maka keluaran terakhir menjadi f(f(f(x))) = 8x+21, dan jk p dan q bilangan real, maka p+q sama dengan....

  .

f(x) = px + q

masukkan fungsi tiga kali

f(f(f(x))) .= p(p(px + q) + q) + q)

8x + 21 = p(p²x + pq + q) + q

8x + 21 = p³x + p²q + pq + q

perhatikan pada ruas kiri koefisien x pada 8x dan pada ruas kanan p³x, berarti keduanya sama

p³x = 8x; p = 2

selanjutnya

p²q + pq + q = 21

4q + 2q + q = 21

7q = 21

q = 3

jadi p + q = 2 + 3 = 5

15.

y = √3 (x - 1)

gradien, m = y/x

θ1 = arctan m1 = 60

karena BD membagi dua sudut sama besar, berarti θ2 = 30

m = tan 30 = √3 /3, jadi persamaan garisnya

y2 = (1/3)√3(x - 1), untuk x = 13 didapatkan

y = (1/3)√3(13 - 1) = 4√3

16
Panjang rusuk persegi, s = 14 cm. Asumsikan pusat lingkaran di O. Perhatikan panjang garis x dapat dicari dengan Pythagoras, yaitu:
x = √(14² + 7²) = √245

Tentulah garis OA dan OE merupakan radius lingkaran, R.

Sudut OEA = OAE. Dengan menggunakan cosinus, didapatkan cos(OEA) = s/x, memasukkan nilai s = 14 cm dan x = √245 cm didapatkan OEA = OAE = 26º,565

Karena AOE segitiga, maka sudut AOE = θ = 180º - 26º,565 - 26º,565 = 126º,87.

Perhatikan segitiga AOE, berlaku aturan cosinus
c² = a² + b² -2ab cos C
x² = R² + R² - 2R² cos θ
x² = 2R² - 2R² cos θ
x² = 2R² (1 - cos θ)
R = √(x²/(2*(1-cos θ)))
R = √(245/(2*(1-cos 126º,87)))
R = 8,75 cm

jawab (B)

17.

Pukul 16.00; 1 jam = 360/24 = 15°, jadi jarak zenit pada pukul 16.00 = (16.00 - 12.00)*15° = 60°

s' = s tan 60

s' = 150√3

18.

R = 1 AU = 149,6 juta km = 1,496 . 10^11 m.

T = 365,25 hari = 31 557 600 s

a = v²/R = 4π²R/T² = 0,006 m/s²

19.
Seorang astronom terbang dg mnumpang pswat lngsung dr kota A jm 10.15 n tiba d kota B jm 15.45. esoknya ia plang dr kota B jam 7.20 n tb d kota A jm 09.05 dg pswat yg sama. berapa perbedaan wktu wil antara kota A dan B?
a. 1 jam, A lebih timur daripada B
b. 1 jam, A lebih barat daripada B
c. 1 1/2 jam, A lebih timur daripada B
d. 1 1/2 jam, A lebih barat daripada B
e. 2 jam, A lebih timur dari B

Jika peritungan menurut waktu setempat:

dari A ke B = 15.45 - 10.15 = 05.30

dari B ke A = 09.50 - 7.20 = 02.30

nah, pikirkan suatu koreksi waktu, c (perbedaan zona waktu, sehingga)

a + c = 05.30 ...... (1)

a - c = 02.30 ....... (2)

persamakan (1) dan (2)

05.30 - c - c = 02.30

03.00 = 2c

c = 01.30

jadi selisih zona waktu = 1 1/2 jam

karena "waktu" A ke B lebih "lama", berarti A lebih barat (D). Ingat waktu di daerah timur lebih maju daripada sebelah baratnya.

21.

Tahun kabisat kalender Gregorian jika:

a. untuk tahun abad (habis dibagi 100) habis dibagi 400.

b. untuk tahun yang bukan tahun abad, habis dibagi 4

Jadi hanya 1600 yang memenuhi.

Selengkapnya...

Pembahasan Soal Essai OSN Astronomi 2009

1. (DND) Koordinat Antares adalah α= 16^h 29^m 24,40^s , δ = -26° 25′ 55.0″. Tentukanlah waktu sideris pada saat bintang Antares terbit dan terbenam di Jakarta (ϕ = -6° 10′ 28″), dan abaikan refraksi oleh atmosfer Bumi.

Penyelesaian:

α = 16^h 29^m 24,40^s = 16^h,49

δ = -26° 25′ 55.0″ = -26°,43

ϕ = -6° 10′ 28″ = -6°,17

cos h = - tanδ tanϕ = - tan(-26,43) tan(-6,17) = -(-0,4970)(-0,1081) = -0,0537

h = ± 93°,0782 = 6^h,21 = 6^h 12^m,3

Waktu sideris saat Antares terbit:

Θ = α + h = 16^h,49 – 6^h,21 = 10^h 17^m

Waktu sideris saat Antares terbenam:

Θ = α + h = 16^h,49 + 6^h,21 = 22^h 42^m

2. Untuk menentukan waktu menanam padi pada tahun ini, seorang petani yang berada di kota A (λ = 7^h 10^m 27^s BT dan φ = -6° 49′) menggunakan posisi gugus bintang Pleiades (α = 3^h 47^m dan δ = 20° 7′) yang diamati pada jam 7 malam waktu lokal.
   Kebiasaan ini telah dilakukan oleh para petani di pulau Jawa sejak abad ke-17. Pengamatannya dilakukan dengan menggunakan selongsong bambu yang diisi penuh dengan air, dan diarahkan ke gugus bintang Pleiades di arah timur. Volume air yang tumpah akan menandai posisi Pleiades cukup tinggi untuk dimulai musim menanam padi pada tahun tersebut. Jika panjang selongsong bambu adalah 100 cm dan diameternya 10 cm, dan selongsong tersebut diisi air sampai penuh. Kemudian diarahkan ke Pleiades, dan ternyata air yang tumpah sebanyak 0,785 liter. Tentukan kapan waktu pengamatan Pleiades yang dilakukan petani tersebut?

 

Penyelesaian:

Volume awal air = π × 5² × 100 = 7854 cm³ = 7,854 liter

Vtumpah = V₁

V₂ = 7,854 liter – 2V₁ = 7,854 – 2(0,785) = 6,284 liter

πr²l₂ = 6,284 liter, dengan memsukkan nilai di dapatkan:

l₂ = 6,284/(π×0,5²) = 8 dm = 80 cm

Δl = l – l₂ = 100 – 80 = 20 cm, sehingga sudut θ:

tan θ = 10/20 = 0,5

θ = 26°,577

Dengan menggunakan segitiga bola:

cos HA = (cos(90 – h) – cos(90 – φ) cos(90 + δ))/(sin(90 – φ) sin(90 + δ))

Dengan h = 26°,577, φ = -6°49’ dan δ = 20°7’ diperoleh HA = 3^h 54^m, namun karena Pleiades masih di timur (belum kulminasi), maka HA = -3^h 54^m.

Mengingat definisi HA = HA₀₀ + t, atau LST = α + HA – t, dengan memasukkan t = 19h (pukul 7 malam) didapatkan LST = -19^h 7^m atau 4^h 53^m (ingat periodik a = 24+a). Jika kita hitung, maka harinya ialah:

Tanggal = ((4^h 53^m)/(24^h)) (365 hari) = 74 hari dihitung dari 23 September, atau sekitar tanggal 5 Desember.

3. Angin matahari yang isotropik (sama ke segala arah) menyebabkan laju kehilangan massa matahari 3×10^-14 M_Matahari setiap tahunnya.
1. Berapa massa yang di’tangkap’ setiap hari oleh Bumi ketika mengelilingi matahari?
2. Berapa persen pertambahan berat badan kita setiap hari akibat pertambahan massa bumi yang disebabkan oleh angin matahari ini?

Penyelesaian:

Luasan bola yang ditempuh oleh angin matahari sampai ke Bumi ialah:

A = 4πr² = (4π)(1,496×10¹¹)² = 2,812×10²³ m².

Sedangkan luas penampang Bumi yang menghadap ke Matahari ialah:

A₂ = πR² = π(6,371×10⁶)² = 1,275×10¹⁴ m².

Laju aliran partikel matahari, Q = (3×10^-14)(1,99×10³⁰) = 5,97×10¹⁶ kg/tahun.

Massa yang ditangkap Bumi perhari = (A₂/A)(Q/365,25) = 74.110 kg

Pertambahan berat badan sesuai dengan pertambahan percepatan gravitasi Bumi karena pertambahan massa. Dengan berasumsi radius Bumi konstan, maka:

Δw/w = ΔM/M × 100% = (74.110)/(6×1024) = (1,235×10^-18)%

4. Pada saat sebuah bintang masif meledak menjadi sebuah supernova, maka bintang tersebut akan bertambah terang dalam waktu yang singkat dengan luminositasnya 40 milyar kali lebih besar daripada luminositas Matahari. Jika supernova seperti itu tampak di langit seterang Matahari, berapakah jarak supernova tersebut?

Penyelesaian:

E_S = E_M, L_S = 40.000.000.000 L_M, d_S = …?

Mengingat E = L/4πd²:

L_S/4πd_S² = L_M/4πd_M²

L_S/L_M = d_S²/d_M²      à  mengingat L_S = 4×10¹⁰ L_M dan d_M = 1 AU

d_S = √(4×10¹⁰×1) = 2×10⁵ AU = 0,967 pc.

5. Pengamatan pada panjang gelombang radio pada suatu awan gas yang berputar disekeliling sebuah lubang hitam (black hole) yang berada di pusat galaksi X memperlihatkan bahwa radiasi yang berasal dari transisi hidrogen (frekuensi diamnya = 1420 MHz) terdeteksi pada frekuensi 1421,23 MHz.
1. Hitunglah kecepatan awan ini dan apakah awan ini bergerak menuju atau menjauhi kita?
2. Jika awan gas ini berada 0,2 pc dari lubang hitam, dan orbitnya berupa lingkaran, hitunglah massa lubang hitam.

Penyelesaian:

a.       f₀ = 1420,41 MHz, f’ = 1421,23 MHz, jadi Δf = 0,82 KHz.

Gunakan pergeseran Doppler:

v = (Δf/f₀)×c = (0,82/1420,41)(3×10⁸ m/s) = 173.189 m/s

b.      Jika M adalah massa lubang hitam, v kecepatan awan, dan R radius orbit awan, maka:

M = Rv²/G

Mengingat 0,2 pc = 6,17×10¹⁵ m, v = 1,73×10⁵ m/s, dan G = 6,67×10^-11 N m² kg^-2 maka dengan memasukkan nilai didapatkan M = 2,78×10³⁶ kg.

Selengkapnya...

Pembahasan Soal Essai OSP Astronomi 2010

1.   Pada suatu hari, dua hari setelah purnama, Bulan melintasi Pleiades. Saat itu asensiorekta matahari 14^h30^m. Jika periode sideris Bulan adalah 27.33 hari, berapa asensiorekta Pleiades?

Penyelesaian:

Untuk soal ini saya kurang jelas, karena tidak disebutkan tanggalnya mengingat asensiorekta matahari tidak tetap. Asensiorekta bulan bertambah sekitar 49º tiap hari dan saat bulan baru asensiorekta bulan sama dengan matahari. Jadi dua hari setelah purnama (hari ke-16)

α = (16/29,5)*24^h + 14^h30^m = 27^h31^m

bawa dalam format 24 jam, α = 3^h31^m.

2.   Dua kamera diletakkan 50 km terpisah sepanjang khatulistiwa pada arah Timur-Barat danmerekam citra sebuah satelit meledak pada saat yang bersamaan. Kamera di sebelah Barat mengamati ledakan di zenit, sementara kamera di sebelah Timur mengamati ledakan pada ketinggian 55 dari horison Barat. Pada ketinggian berapakah dari permukaan Bumi satelit tersebut meledak?

Penyelesaian:

Mengingat keliling Bumi di ekuator ialah 40000 km, maka jarak 50 km hanya menghasilkan sudut pusat 0,45º, cukup kecil sehingga kita dapat menganggap permukaan lokasi sebagai benda datar. Mengingat rumus trigonometri didapatkan:

h = s × tan θ

h = 50 × tan 55 º = 71,41 km

3.   Dari warnanya, diketahui temperatur sebuah bintang 3000 K (bandingkan dengan temperature matahari yang besarnya 6000 K), tapi luminositasnya 400× luminositas matahari.

a.  Berapa radiusnya ?

b.  Termasuk jenis apakah bintang ini?

c.  Dalam panjang gelombang berapa ia memancarkan energi yang paling banyak?

Penyelesaian:

a.   Berdasarkan rumus radiasi Stefan-Boltzmann, L = 4πR²eσT⁴, didapatkan perbandingan R=√(L/T⁴). Jadi, radius bintang itu ialah

R=√(400/(3000/6000)⁴) = 80 R¤

b. Dari temperaturnya, bintang ini memiliki kelas spektrum M (hal. 202) dan kelas luminositasnya mungkin kelas II atau III.

c.  Gunakan hukum pergeseran Wien

λ = C/T = 0,2898/3000 = 9,66×10^-5 cm

4.   Koordinat α Centaury adalah α=14 jam 40 menit, δ= 60°50’ dan jaraknya 4,4 tahun cahaya. Hitung jarak sudut antara Matahari dan α Centaury, dilihat dari bintang Polaris yang berjarak 430 tahun cahaya dari Bumi.

Penyelesaian:

Karena koordinat Polaris tidak diberikan, kita anggap saja Matahari dan α Centaury berada pada bidang tangensial. Menggunakan perbandingan trigonometri untuk diameter sudut (hal. 24):

sin δ = D/d

δ = tan^-1(4,4/430) = 0º,58

5.   Sebuah galaksi spiral yang bermassa 10¹¹ M¤ dan radius 15 kpc memiliki dua komponen yaitu bulge (tonjolan pusat) dan piringan. Bulge galaksi berbentuk bola dengan radius 2 kpc dan memiliki massa 10 % dari massa total galaksi. Piringan galaksi memiliki ketebalan yang dapat diabaikan dibandingkan dengan diameternya, dan massanya terdistribusi seragam. Jika terdapat sebuah bintang pada jarak 10 kpc dari pusat galaksi, hitung berapa massa yang mempengaruhi gerak bintang tersebut dan berapa kecepatan bintang tersebut mengelilingi galaksi ? (lihat gambarnya pada soal di download)

Penyelesaian:

R = radius galaksi, R_b = radius bulge, r = radius orbit bintang

Massa bulge = 10% * 10¹¹ = 10¹⁰ M¤

Massa piringan tersebar merata pada luasan π(R² – R_b²) yang massanya 90% dari massa total dan yang terletak sebelum bintang (yang mempengaruhi gerak bintang) ialah luasan π(r² – R_b²). Jadi, massa yang memperngaruhi bintang, m’:

(10¹⁰) + ((15² – 2²)/(10² – 2²)) × (9×10¹⁰) = 4,91×10¹⁰ M¤

Kecepatan orbit, v = √(GM/r)

v = √((6,67×10^-11 N kg^-2 m²)(4,91×10¹⁰)(1,99×10³⁰ kg)/(10000×206265×1,496×10¹¹m))

v = 145315 m/s = 145,3 km/s

6.   Pecat sawed (dalam bahasa Jawa) adalah saat posisi Matahari cukup tinggi (tinggi bintang, h = 50 derajat dari cakrawala timur) dan hari sudah terasa panas. Para petani di Jawa biasanya beristirahat dan melepaskan bajak dari leher kerbau (melepas bajak dari leher kerbau=pecat sawed). Jika para petani melihat gugus bintang Pleiades (α₂₀₀₀ = 3^h 47^m 24^s , δ₂₀₀₀ = +24° 7’) berada pada posisi pecat sawed pada saat Matahari terbenam (sekitar pukul 18:30 waktu lokal), maka saat itu adalah waktu untuk menanam padi dimulai. Tentukan kapan waktu menanam padi dimulai (tanggal dan bulan) ! Petunjuk : petani berada pada posisi lintang 7°LS dan bujur 110° BT.

Penyelesaian:

(hal. 103)

t = 18^h30^m = 277º,5

α = 3^h47^m24^s = 56º,85 (ingat 1 jam = 15º)

tinggi bintang, h = 50º dari timur, berarti HA = 90º – 50º = -40º (ingat di timur berarti belum kulminasi, HA-nya negatif)

Untuk patokan pada pukul 00.00 waktu lokal, LST = HA₀₀ + α, atau

LST = HA_t + α – t

LST = -40º + 56º,85 – 277º,5

LST = -260°,65 = 99°,35

Mengingat LST = 0° pada 23 September dan kembali lagi tiap tahun, maka 99°,35 setara dengan 99,35 × 365,25 hari : 360° = 100,8 atau 101 hari. Nah, silakan berhitung 101 hari mulai dari tanggal 23 September, saya dapatnya 2 Januari (kira-kira begitulah), jadi waktu menanam padi itu tanggal 2 Januari.

Selengkapnya...