Pembuktian Teorema Garis Simson

          Postingan kali ini adalah permintaan dari adinda Sari Anggraini, saya ucapkan terima kasih atas apresiasinya kepada blog ini.

          Sebelum membuktikan teorema garis simson kita harus memahami dulu teorema-teorema lingkaran seperti teorema Thales. Menurut teorama Thales, Jika garis AC merupakan diameter lingkaran (melewati pusat O) dan suatu titik B terletak pada keliling lingkaran tersebut (circumcircle), maka sudut ABC selalu 90°. Berikutnya, teorema mengenai segiempat dalam lingkaran. jika empat titik pada keliling suatu lingkaran dihubungkan menjadi segiempat, maka jumlah sudut yang berhadapan selalu sama dengan 180°. Setelah mengetahui teorema-teorema ini kita akan membuktikan teorema garis Simson.

 
Teorema Garis Simson:
Jika digambarkan suatu segitiga circumcircle (titik-titiknya berada pada keliling lingkaran), lalu dibuat titik P juga pada keliling lingkaran dan digambarkan garis tegak lurus ke sisi-sisi segitiga tadi, maka  ketiga titik potongnya akan membentuk suatu garis lurus. 

 

Mari kita buktikan.

Perhatikan gambar, QRS disebut garis Simson dari segitiga ABC. Di sini akan dibuktikan kalau QRS benar-benar segaris. Sebut sudut BPQ = α dan SPC = β.

dengan mudah kita dapatkan bahwa ABPC segiempat circumcircle, dan didapatkan BPC berhadapan dengan BAC sehingga

θ + (β + δ) = 180°  .... (1)

perhatikan bahwa PQ ┴ AQ dan PS ┴ AS, berarti AQPS juga segiempat circumcircle sehingga

θ + (α + δ) = 180°  .... (2)

dari (1) dan (2) didapatkan

α = β  ... (3)

Perhatikan bahwa PR ┴ RC dan PS ┴ SC, dengan demikian PRSC juga segiempat circumcircle sehingga:

SRC = SPC = β  .... (4)

Perhatikan bahwa PR ┴ BR dan PQ ┴ BQ, dengan demikian PRSC juga segiempat circumcircle sehingga:

BRQ = BPQ = α   .... (5)

mengingat persamaan (3), didapatkan BRQ = SRC, dan karena BRC garis lurus maka jelas QRS (garis Simson) juga garis lurus

QED


keterangan: sumber gambar teorema Thales dari en.wikipedia 
pembuktian untuk (4):
Perhatikan segiempat CSRP, didapatkan:

• SRP = SRC + 90°
• SRP + SCP = 180°
• SCP = 90° - SPC

sehingga 

SRC = SRP - 90° = (180° - SCP) - 90° = 90° - SCP

SRC = 90° - (90° - SPC) = SPC = β

Hal yang sama berlaku bagi persamaan (5).