Pembuktian Carpets Theorem

Di sini saya akan membuktikan Carpets Theorem (Teorema Carpet) atas permintaan dari pembaca blog saya, saudari Afifah Syifa. Untuk memudahkan, saya mengambil karpet persegi. Menurut Teorema karpet, luas daerah berwarna biru selalu sama dengan jumlah luas daerah yang berwarna merah, meskipun posisi titik $E$ digeser sepanjang garis $\overline{AD}$ dan titik $F$ digeser sepanjang garis $\overline{CD}$. Dengan kata lain $BGHI = \Delta AEG + \Delta CFI + \Delta DEHF$

Mula-mula kita notasikan:

$$\left\{ \begin{matrix} \overline{AB} +\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{DE} & = x\\ y+z & =x \end{matrix} \right.$$

Dengan memperhatikan gambar di atas serta mengingat rumus luas segitiga, diperoleh jalinan

$$\begin{align} \bigtriangleup ABE + \bigtriangleup CDE = \frac{xy}{2} + \frac{xz}{2} = \frac{x}{2}(y+z) = \frac{x^2}{2} \label{P1} \end{align}$$ serta $$\begin{align} \bigtriangleup BCE = \bigtriangleup ABF = \frac{x^2}{2} \label{P2} \end{align}$$ Dengan demikian, dipenuhi jalinan $$\begin{align} \bigtriangleup ABE + \bigtriangleup CDE = \bigtriangleup BCE \label{P3} \end{align}$$ Kemudian perhatikan lagi bahwa $$\begin{align} \bigtriangleup ABE &= \bigtriangleup ABG + \bigtriangleup AEG \label{P4} \\ \bigtriangleup CDE &= \bigtriangleup FHI + DEHF + \bigtriangleup CFI \label{P5} \\ \bigtriangleup ABF - BGHI &= \bigtriangleup ABG + \bigtriangleup FHI \label{P6} \end{align}$$

Sekarang saatnya menyelesaikan pembuktian. Menyulihkan nilai $\bigtriangleup ABF = \bigtriangleup BCE$ dari kesamaan ($\ref{P2}$) ke dalam persamaan ($\ref{P6}$), didapatkan

$$\bigtriangleup ABG + \bigtriangleup FHI = \bigtriangleup BCE - BGHI$$

Menyulihkan nilai $\bigtriangleup ABG$ dari persamaan ($\ref{P4}$) dan $\bigtriangleup FHI$ dari persamaan ($\ref{P5}$) ke dalam ruas kiri persamaan di atas, diperoleh

$$(\bigtriangleup ABE - \bigtriangleup AEG) + (\bigtriangleup CDE - DEHF - \bigtriangleup CFI) = \bigtriangleup BCE - BGHI$$ $$\bigtriangleup ABE + \bigtriangleup CDE - \bigtriangleup AEG - DEHF - \bigtriangleup CFI = \bigtriangleup BCE - BGHI$$

Selanjutnya, menyulihkan persamaan ($\ref{P3}$) ke ruas kiri peramaan di atas, akhirnya didapatkan jalinan

$$BGHI = \bigtriangleup AEG + \bigtriangleup CFI + DEHF$$ Terbukti!



(Penting, tanda "=" berarti luasnya sama, tidak harus kongruen)
Gambar saya edit dari animasi dari http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/CarpetsInSquare.shtml. Animasinya bisa langsung ke tkp atau ke applet geogebra ini.