Pembuktian Teorema Urquhart

Diberikan OA dan OB dua garis yang berpotongan di O dan A' suatu titik pada OA dan B' suatu titik pada OB. Namakan titik potong AB' dan A'B' dengan O'. Menurut Teorema Urquhart, OA + AO' = OB + BO' jika dan hanya jika OA' + A'O' = OB' + B'O'

Berikut pembuktiannya yang saya terjemahkan dan edit dari http://2000clicks.com/mathhelp/GeometryTriangleUrquhartsTheorem.aspx.

Beri nama α = AOO', β = OO'A, θ = O'OB, φ = OO'B. Dengan demikian OAO' = 180−α−β, OBO' = 180−θ −φ. Perhatikan segitiga OO'A dan OO'B, menggunakan aturan sinus:

OA = OO' sinβ / sin(180 − (α + β)) = OO' sinβ / sin(α + β)
O'A = OO' sinα / sin(180 − (α + β)) = OO' sinα / sin(α + β)
OB = OO' sinφ / sin(180 − (θ + φ)) = OO' sinφ / sin(θ + φ)
=O'B = OO' sinθ / sin(180 − (θ + φ)) = OO' sinθ / sin(θ + φ)

Kita lakukan pembuktian terbalik,

Lebih lanjut, gunakan identitas

atau

Substitusi a = α/2, b = β/2, t = θ/2, u = φ/2, didapatkan:

Dengan memanipulasi persamaan terakhir diperoleh

Terakhir, mengingat segitiga OA'O' dan OB'O' kita dapatkan OA'O' = φ−α, OB'O' = β − θ, OO'A' = 180 − φ, OO'B' = 180 − β. Dengan menerapkan aturan sinus:

Dari kelima persamaan terakhir diperoleh hubungan

Jadi terbukti OA + AO' = OB + BO' jika dan hanya jika OA' + A'O' = OB' + B'O'