p a r a d o k s: Penyelesaian PDP orde-2 dengan Separasi Variabel

Persamaan Diferensial Parsial (PDP) merupakan oknum yang hampir selalu hadir dalam pelajaran fisika tingkat lanjut, karena banyak fungsi-fungsi di alam yang muncul dalam bentuk seperti itu. Bentuk umum PDP orde-2 ialah:

$\small a\frac{\partial^2 U}{\partial x^2}+2h\frac{\partial^2 U}{\partial x \partial y}+b\frac{\partial^2 U}{\partial y^2}+2f\frac{\partial U}{\partial x}+2g\frac{\partial U}{\partial y}+eU=\omega$

dengan a, h, b, f, g, e merupakan konstanta. Jika ruas kanannya sama dengan nol, maka persamaannya homogen, begitu pula sebaliknya jika tidak sama dengan nol maka persamaannya tak homogen.

PDP dapat diklasifikasikan dalam tiga jenis, yaitu

tipe eliptik, jika ab - h² > 0;
tipe parabolik, jika ab - h² = 0; dan
tipe hiperbolik, jika ab - h² < 0.

Contoh:

Persamaan gelombang 1 dimensi
$\small \frac{\partial^2 U}{\partial x^2}-\frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 U}{\partial y^2}=0$
ab - h² = -1/v² < 0 (tipe hiperbolik)
Persamaan Laplace 2 dimensi
$\small \frac{\partial^2 U}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 U}{\partial y^2}=0$
ab - h²=1 > 0 (tipe eliptik)
Persamaan konduksi 1 dimensi
$\small \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} -\frac{1}{k} \frac{\partial U}{\partial x}=0$
ab - h² = 0 (tipe parabolik)

Salah satu metode favorit untuk menyelesaikan PDP ialah dengan menggunakan metode pemisahan (separasi) variabel. Metode lain ialah menggunakan transformasi. Pada postingan kali ini akan dibahas penyelesaian PDP orde-2 menggunakan metode separasi variabel.

Dalam postingan kali ini, akan dijabarkan solusi umum persamaan gelombang 1 dimensi,

$\small \frac{\partial^2 U}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 U}{\partial t^2}$

di mana U(x,t) ialah fungsi gelombang. Separasi variabel ialah memecah fungsi U menjadi fungsi-fungsi yang memuat satu variabel saja (tiap fungsi),lalu dipisahkan dalam ruas persamaan. Mengingat dalam fungsi U terdapat dua variabel, x dan t, maka fungsi U dipecah menjadi dua fungsi.

$\small U(x,t)=X(x)\cdot T(t)$

sehingga:

$\small \frac{\partial(X \cdot T)}{\partial x^2}=\frac{1}{v}\frac{\partial(X \cdot T)}{\partial t^2}$

Mengingat sifat turunan komposit (u.v)'' = u" v + 2 u' v' + u v", diperoleh:

$\small T\frac{\partial^2 X}{\partial x^2}=\frac{X}{v^2} \frac{\partial^2 T}{\partial t^2}$
$\small \frac{v^2}{X}\frac{\partial^2 X}{\partial x^2}=\frac{1}{T} \frac{\partial^2 T}{\partial t^2}=k$

Nilai k di sini merupakan konstanta yang dapat kita tentukan kemudian, dan v² saya letakkan di ruas kiri (di kanan juga nggak apa). Mengingat persamaan umum gelombang U(x,t) = sin(kx - ωt), atau X(x) = sin(kx) dan T(t) = sin(-ωt), dengan mengambil salah satu ruas persamaan di atas (saya ambil ruas kanan) didapatkan:

$\small \frac{\partial^2 T}{\partial t^2}=kT$
$\small \frac{\partial}{\partial t}\sin(-\omega t)=-\omega\: \cos(-\omega t)$
$\small \frac{\partial^2}{\partial t^2}\sin(-\omega t)=\omega(-\omega)\: \sin(-\omega t)=-\omega^2\: \sin(-\omega t)$

jadi diperoleh $\small \partial^2 T/\partial t^2=-\omega^2 T$ , dengan kata lain k = -ω². akhirnya kita dapatkan:

$\small \frac{\partial^2 X}{\partial x^2}+\frac{\omega^2}{v^2}X=0$

$\small \frac{\partial^2 T}{\partial t^2}+\omega^2 T=0$

Solusi umum untuk PDP orde-2:

1. untuk k = 0
$\small \frac{\partial^2 X}{\partial x^2}=0\: ;\; \frac{\partial^2 T}{\partial t^2}=0$
Jelas hanya persamaan linear yang turunan ke-2-nya 0, maka solusinya:
$\small X(x)=Ax+B$
$T(t)=Ct+D$

2. untuk k > 0;
$\small X(x)=Ae^{x\sqrt{k}/v}+Be^{-x\sqrt{k}/v}=A\cosh \frac{x\sqrt{k}}{v}+B\sinh \frac{x\sqrt{k}}{v}$
$\small T(t)=Ce^{t\sqrt{k}}+De^{-t\sqrt{k}}=C\cosh (t\sqrt{k})+D\sinh (t\sqrt{k})$

3. untuk k < 0;

Untuk kasus untuk k < 0, langsung kita substitusikan k = -ω².

$\small X(x)=Ae^{ix\omega/v}+Be^{-ix\omega/v}=A\cos \left (\frac{\omega x}{v} \right )+B\sin \left (\frac{\omega x}{v} \right )$
$\small T(t)=Ce^{it\omega}+De^{-it\omega}=C\cos (\omega t)+D\sin (\omega t)$

Mengingat U(x,t) = X(x) T(t), didapatkan solusi umumnya

$\small U(x,t)=\left [ A\cos \left (\frac{\omega x}{v} \right )+B\sin \left (\frac{\omega x}{v} \right ) \right ] \left [ C\cos (\omega t)+D\sin (\omega t) \right ]$

Dalam suatu problem fisika, tertadapat syarat-syarat batas yang menyebabkan tiap kasus memiliki solusi yang unik. Contohnya akan saya posting lain kali.

catatan: bedakan k tetapan gelombang dan k konstanta biasa ^^.

p a r a d o k s

Laman

Kamis, 04 Agustus 2011

Penyelesaian PDP orde-2 dengan Separasi Variabel

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Daftar Bacaan Saya

Entri Populer Bulan Ini