p a r a d o k s: Menghitung nilai π

Nilai π (dibaca pi, bukan phi) sering dikenal sebagai nisbah antara keliling dan diameter lingkaran. Berapapun besarnya lingkaran, nisbah K/D selalu konstan. Berikut beberapa cara yang bisa digunakan untuk mendapatkan nilai π.

Cara Empiris (Metode Primitif)

Cara primitif ini adalah cara yang paling praktis bagi orang yang malas menghitung sekaligus yang paling ribet bagi orang yang malas bereksperimen. Yang dibutuhkan dalam metode ini ialah beberapa contoh benda lingkaran, benang dan mistar. Cukup dengan mengukur keliling dan diameter lingkaran benda-benda tadi, mencari perbandingan K/D, lalu dirata-ratakan, perkiraan nilai π bisa didapatkan.

Cara Geometri (Metode Archimedes)

Archimedes terilhami oleh poligon, dan beranggapan lingkaran adalah poligon juga, yakni segi-tak hingga beraturan. Ambil sebuah lingkaran berdiameter D (radius r = D/2). Selanjutnya, lingkaran dipecah menjadi n buah segitiga yang sama besar seperti yang diperlihatkan pada gambar.

Perhatikan bahwa θ = 360°/2n = 180°/n dan y = a/2.

$\small \frac{y}{r}=\sin\theta$

$\small \frac{a}{2r}=\sin\theta$

$\small a=2r\sin\theta$

Jadi, luas tiap segitiga:

$\small L_{\bigtriangleup}=\frac{a\times r}{2}=\frac{(2r\sin\theta)r}{2}$

$\small L_{\bigtriangleup}=r^2 \sin \left (\frac{180^{\circ}}{n} \right )$

dan luas total segi-n beraturan

$\small L=n\times L_{\bigtriangleup}$

$\small L=nr^2\sin \left (\frac{180^{\circ}}{n} \right )$

Perhatikan lagi agar berlaku perbandingan geometri, maka luas lingkaran haruslah hanya bergantung kepada r, dengan kata lain

$\small n \sin \left (\frac{180^{\circ}}{n} \right )=\textup{konstan}$

Untuk lingkaran (segi-tak hingga beraturan), ambil n = inf. Konstanta inilah yang kita sebut π.

$\small \pi=\lim_{n \to \infty }n\sin \left (\frac{180^{\circ}}{n} \right )$

Jika dihitung dengan mengambil pendekatan n = 1.109, didapatkan π = 3,141592653589793..., akurat hingga 15 angka di belakang koma.

Dari rumusan keliling lingkaran di atas, dapat kita turunkan rumusan luas lingkaran. Perhatikan bahwa luas lingkaran adalah jumlahan luas segmen segitiga. Mengingat tinggi tiap segitiga sama, yakni r = D/2 dan total panjang alas segitiga tidak lain ialah keliling lingkaran, diperoleh

$\small L=\frac{1}{2}[\textup{total\: luas\: alas}]\cdot[\textup{tinggi}]$

$\small L=\frac{1}{2}(\pi D)\left ( \frac{D}{2} \right )=\frac{1}{4}\pi D^2=\pi r^2$

Cara Kalkulus

Cara ini menggunakan teorema kalkulus, yaitu luas daerah di bawah kurva f(x) dari a sampai b sama dengan integral tertutup f(x) dari a ke b. Karena kita telah mengetahui rumus luas lingkaran

$\small L=\pi r^2$

dan menurut teorema di atas tadi,

$\small \frac{L}{2}=\int_{-r}^{r}f(x)\: dx$

Di atas dituliskan L/2, karena luas lingkaran dua kali luas daerah di bawah kurva, yaitu belahan atas dan belahan bawah. Mengingat persamaan lingkaran x² + y² = r², dihasilkan bentuk integral

$\small L=2\int_{-r}^{r}\left (r^2-x^2 \right )^{1/2}\: dx=\pi r^2$

yang memberikan

$\small \pi=\frac{2}{r^2}\int_{-r}^{r}\left (r^2-x^2 \right )^{1/2}\: dx$

Bentuk di atas dapat diselesaikan menggunakan bantuan komputer. Menggunakan Matlab dengan linspace(a,b,n) dan fungsi trapz(x,y), jika diambil n = 1.000.000 didapatkan π = 3,14159265026..., akurat 8 angka di belakang koma. Menurut wikipedia, sampai dengan 50 desimal diperoleh

π = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510...

Kalau mau lebih teliti, berikut ini nilai π hingga 10.000 digit.

p a r a d o k s

Laman

Selasa, 09 Agustus 2011

Menghitung nilai π

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Daftar Bacaan Saya

Entri Populer Bulan Ini