Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Nilai eigen merupakan nilai karakteristik suatu matriks. Secara sederhana, nilai eigen merupakan nilai yang mempresentasikan suatu matriks dalam perkalian dengan suatu vektor, dapat ditulis sebagai:

\begin{align} \mathrm{A} \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} \label{def1} \end{align}

di mana \(\mathrm{A}\) suatu matriks persegi \((n,n)\), \(\mathbf{x}\) merupakan vektor \((n,1)\) dengan \(\mathbf{x} \neq \mathbf{0}\), dan \(\lambda\) merupakan nilai eigen (skalar) dari matriks \(\mathrm{A}\). Untuk setiap matriks persegi \(\mathrm{A}\), terdapat pasangan nilai \(\lambda\) dan \(\mathbf{x}\) yang memenuhi jalinan (\ref{def1}). Patut diingat bahwa sebagian matriks real mungkin saja tidak memiliki nilai eigen real. Untuk mendapatkan nilai eigen dari matriks \(\mathrm{A}\), mula-mula kita tulis ulang persamaan (\ref{def1}) ke dalam bentuk:

\begin{align} \mathrm{A} \mathbf{x} - \lambda \mathbf{x} &= \mathbf{0} \nonumber \\
(\mathrm{A} - \lambda) \mathbf{x} &= \mathbf{0} \label{def2} \\
\end{align}

dengan \(\mathbf{0}\) adalah vektor-0 (vektor yang semua komponennya bernilai 0).

Sebagai contoh, misalkan diberikan \(\mathrm{A}\) matriks 3x3 dan vektor \(\mathbf{x}\)

\begin{align} \mathrm{A}=\begin{pmatrix}-8&21&-9\\-14 & 31 & -13\\ -22 & 45 & -19 \end{pmatrix} \mathrm{dan \; }\textbf{x}=\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} \label{contoh} \end{align}

Berdasarkan persamaan (\ref{def2}), dapat dituliskan

\begin{align} \begin{pmatrix} -8-\lambda & 21 & -9\\ -14 & 31-\lambda & -13\\ -22 & 45 & -19-\lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} = \mathbf{0} \label{c1} \end{align}

Untuk mencari nilai \(\lambda\) yang sesuai, terlebih dahulu dihitung determinan dari \((\mathrm{A}-\lambda)\) dengan metode Sarrus (khusus matriks 3x3) atau ekspansi kofaktor. Menggunakan ekspansi kofaktor baris pertama, diperoleh

\begin{align} \det(\mathrm{A}-\lambda) &= (-8-\lambda)\begin{vmatrix} 31-\lambda & -13\\ 45 & -19-\lambda \end{vmatrix}-(21)\begin{vmatrix} -14 & -13\\ -22 & -19-\lambda \end{vmatrix}+(-9)\begin{vmatrix} -14 & 31-\lambda\\ -22 & 45 \end{vmatrix} \nonumber \\
&= -\lambda^3+4\lambda^2+4\lambda-16 \nonumber \\
\end{align}

Polinomial yang didapatkan di atas disebut polinomial karakteristik. Berdasarkan persamaan (\ref{def2}), diketahui jika \(\mathbf{x}\) tidak nol maka \(\det(\mathrm{A}-\lambda)\) haruslah sama dengan \(0\) (dapat dilihat dengan metode Crammer, nilai komponen \(\mathbf{x}\) berupa bentuk tak tentu alih-alih \(0\)). Dengan demikian, diperoleh persamaan

\begin{align} 0 = -\lambda^3+4\lambda^2+4\lambda-16 \label{c2} \end{align}

Jelaslah bahwa nilai eigen adalah akar-akar dari polinomial karakteristik. Jika dicari dengan pemfaktoran atau dengan bantuan Matlab, diperoleh \(-\lambda^3+4\lambda^2+4\lambda-16 = (\lambda+2)(-\lambda+2)(\lambda-4)\) sehingga didapatkan ketiga nilai eigen yaitu \(\lambda=2, \lambda=-2\) dan \(\lambda=4\). Tentunya matriks persegi orde-n akan memberikan persamaan karakteristik orde-n pula. Dengan begitu, matriks persegi orde-n memiliki paling banyak n nilai eigen (bisa kurang jika ada akar kembar).

Berikut ini diberikan cara spesial (sebenarnya hanya langkah ringkas) untuk memperoleh polinomial karakteristik matriks 2x2 dan 3x3.

☺ matriks 2x2: \(\det(\mathrm{A}) - \lambda\cdot \mathrm{trace}(\mathrm{A}) + \lambda^2\)

☺ matriks 3x3: \(\det(\mathrm{A}) - \lambda \cdot (M_{11}+M_{22}+M_{33}) + \lambda^2 \cdot \mathrm{trace}(\mathrm{A}) - \lambda^3\)

dengan \(M_{ij}\) adalah Minor dari matriks \(\mathrm{A}\).

Vektor Eigen

Vektor eigen \(\mathbf{x}\) merupakan solusi dari persamaan (\ref{def1}) untuk setiap nilai \(\lambda\) yang ada. Memperhatikan persamaan (\ref{def1}), jelaslah bila \(\mathbf{x_1}\) adalah vektor eigen terkait nilai eigen \(\lambda_1\) maka \(k\cdot \mathbf{x_1}\) dengan \(k\) suatu skalar juga merupakan solusinya. Jadi, kita cukup menyatakan vektor eigen dalam bentuk paling sederhana. Misalnya pada matriks \(\mathrm{A}\) tadi mempunyai tiga nilai eigen, vektor eigennya juga ada tiga. Untuk \(\lambda=2\), substitusikan nilai \(\lambda\) ke dalam persamaan (\ref{c1})

\begin{align} \begin{pmatrix} -8-(2) & 21 & -9\\ -14 & 31-(2) & -13\\ -22 & 45 & -19-(2) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \nonumber \\
\begin{pmatrix} -10 & 21 & -9\\ -14 & 29 & -13\\ -22 & 45 & -21 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \label{cv1} \\
\end{align}

SPL di atas dapat diselesaikan dengan metode Gauss atau Gauss-Jordan. Metode Crammer tak memberikan hasil karena SPL (\ref{cv1}) tidak memiliki solusi sejati (determinannya = 0). Jadi kita hanya dapat memperoleh solusi trivialnya dengan menyatakan \(a\), \(b\), dan \(c\) misalkan dalam \(c\). Dengan metode Gauss, matriks pada ruas kiri persamaan (\ref{cv1}) dapat diubah menjadi matriks segitiga melalui operasi baris elementer (OBE) yaitu:

\begin{align} \begin{pmatrix} -10 & 21 & -9\\ -14 & 29 & -13\\ -22 & 45 & -21 \end{pmatrix} O_{21}(-14/10) = \begin{pmatrix} -10 & 21 & -9\\ 0 & -\frac{4}{10} & -\frac{4}{10}\\ -22 & 45 & -21 \end{pmatrix} O_{31}(-22/10) = \begin{pmatrix} -10 & 21 & -9\\ 0 & -\frac{4}{10} & -\frac{4}{10}\\ 0 & -\frac{12}{10} & -\frac{12}{10} \end{pmatrix} O_{32}(-3) = \begin{pmatrix} -10 & 21 & -9\\ 0 & -\frac{4}{10} & -\frac{4}{10}\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \nonumber \end{align}

Dengan demikian, persamaan (\ref{cv1}) dapat ditulis ulang menjadi:

\begin{align} \begin{pmatrix} -10 & 21 & -9\\ 0 & -0,4 & -0,4\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \label{cv2} \end{align}

jika \(a, b, c\) kita nyatakan dalam \(c\), diperoleh

\begin{align} -0,4b - 0,4c &= 0 \nonumber \\
-10a + 21b - 9c &= 0 \nonumber \\
\end{align}

Dari kedua persamaan di atas diperoleh \(b=-c\) dan \(a=-3c\). Jadi vektor eigen untuk \(\lambda=2\) ialah

\begin{align} \mathbf{x}_1=\begin{pmatrix} -3c\\ -c\\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\ -1\\ 1 \end{pmatrix} \nonumber \\
\end{align}

Dengan cara serupa, untuk \(\lambda=-2\), jika ditelusuri diperoleh

\begin{align} \mathbf{x}_2=\begin{pmatrix} \frac{1}{4}c\\ \frac{1}{2}c\\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 4 \end{pmatrix} \nonumber \\
\end{align}

dan untuk \(\lambda=4\),

\begin{align} \mathbf{x}_3=\begin{pmatrix} c\\ c\\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} \nonumber \\
\end{align}

Dapat Anda cek dengan menyulihkan nilai \(\lambda\) dan \(\mathbf{x}\) pasangannya masing-masing, jalinan (\ref{def1}) terpenuhi.

Lampiran:

Script Matlab untuk mencari polinomial karakteristik dan nilai eigen:

% Polinomial Karakteristik dan Nilai Eigen
clc;
clear all;
A=input('Mariks A = ');
clc;
disp('Matriks A =');
disp(A);
dA=det(A);
[ba,ka]=size(A);
syms L;
for j=1:ka
for i=1:ba
C=A-L*eye(ba);
end
end
disp(C);
disp('polinomial karakteristik matriks A=');
disp(det(C));
disp('nilai eigen matriks A=');
disp(eig(A));

Script Matlab untuk merubah matriks 2x2, 3x3, dan 4x4 menjadi matriks segitiga atas:

% Program transformasi matriks metode Gauss (Operasi Baris Elementer)
% untuk matriks persegi 2, 3 dan 4
% @skaga 2010
clc;
clear;
A=input('Mariks A = ');
clc;
disp('Matriks A =');
disp(A);
dA=det(A);
[ba,ka]=size(A);
if ba==2 % matriks 2x2
if (ba==ka)
C=A;
for i=2%O21
for j=1:ka
C(i,j)=A(i,j)+A(i-1,j)*(-A(i,1)/A(i-1,1));
end
disp(C);
end
disp('determinan A=');
disp(C(1,1)*C(2,2));
else
disp ('Tidak ada penyelesaian');
end
elseif ba==3 % matriks 3x3
if (ba==ka)
C=A;
for i=2%O21
for j=1:ka
C(i,j)=A(i,j)+A(i-1,j)*(-A(i,1)/A(i-1,1));
end
disp(C);
end
for i=3%O31
for j=1:ka
C(i,j)=A(i,j)+A(i-2,j)*(-A(i,1)/A(i-2,1));
end
disp(C);
end
for i=3%O32
A=C;
for j=1:ka
C(i,j)=A(i,j)+A(i-1,j)*(-A(i,2)/A(i-1,2));
end
disp(C);
end
disp('determinan A=');
disp(C(1,1)*C(2,2)*C(3,3));
else
disp ('Tidak ada penyelesaian');
end
elseif ba==4 % matriks 4x4
if (ba==ka)
C=A;
for i=2%O21
for j=1:ka
C(i,j)=A(i,j)+A(i-1,j)*(-A(i,1)/A(i-1,1));
end
disp(C);
end
for i=3%O31
for j=1:ka
C(i,j)=A(i,j)+A(i-2,j)*(-A(i,1)/A(i-2,1));
end
disp(C);
end
for i=4%O41
for j=1:ka
C(i,j)=A(i,j)+A(i-3,j)*(-A(i,1)/A(i-3,1));
end
disp(C);
end
for i=3%O32
A=C;
for j=1:ka
C(i,j)=A(i,j)+A(i-1,j)*(-A(i,2)/A(i-1,2));
end
disp(C);
end
for i=4%O42
for j=1:ka
C(i,j)=A(i,j)+A(i-2,j)*(-A(i,2)/A(i-2,2));
end
disp(C);
end
for i=4%O43
A=C;
for j=1:ka
C(i,j)=A(i,j)+A(i-1,j)*(-A(i,3)/A(i-1,3));
end
disp(C);
end
disp('determinan matriks A=');
disp(C(1,1)*C(2,2)*C(3,3)*C(4,4));
else
disp ('Tidak ada penyelesaian');
end
end

Pustaka:

Mursita, Danang, Aljabar Linear, Rekayasa Sains, Bandung, 2010

Keterangan: M_mn artinya minor dari elemen matriks baris ke-m kolom ke-n.