Selasa, 09 Agustus 2011

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Nilai eigen merupakan nilai karakteristik suatu matriks. Secara sederhana, nilai eigen merupakan nilai yang mempresentasikan suatu matriks dalam perkalian dengan suatu vektor, dapat ditulis sebagai:

\begin{align} \mathrm{A} \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} \label{def1} \end{align}

di mana \(\mathrm{A}\) suatu matriks persegi \((n,n)\), \(\mathbf{x}\) merupakan vektor \((n,1)\) dengan \(\mathbf{x} \neq \mathbf{0}\), dan \(\lambda\) merupakan nilai eigen (skalar) dari matriks \(\mathrm{A}\). Untuk setiap matriks persegi \(\mathrm{A}\), terdapat pasangan nilai \(\lambda\) dan \(\mathbf{x}\) yang memenuhi jalinan (\ref{def1}). Patut diingat bahwa sebagian matriks real mungkin saja tidak memiliki nilai eigen real. Untuk mendapatkan nilai eigen dari matriks \(\mathrm{A}\), mula-mula kita tulis ulang persamaan (\ref{def1}) ke dalam bentuk:

\begin{align} \mathrm{A} \mathbf{x} - \lambda \mathbf{x} &= \mathbf{0} \nonumber \\
(\mathrm{A} - \lambda) \mathbf{x} &= \mathbf{0} \label{def2} \\
\end{align}

dengan \(\mathbf{0}\) adalah vektor-0 (vektor yang semua komponennya bernilai 0).

Sebagai contoh, misalkan diberikan \(\mathrm{A}\) matriks 3x3 dan vektor \(\mathbf{x}\)

\begin{align} \mathrm{A}=\begin{pmatrix}-8&21&-9\\-14 & 31 & -13\\ -22 & 45 & -19 \end{pmatrix} \mathrm{dan \; }\textbf{x}=\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} \label{contoh} \end{align}

Berdasarkan persamaan (\ref{def2}), dapat dituliskan

\begin{align} \begin{pmatrix} -8-\lambda & 21 & -9\\ -14 & 31-\lambda & -13\\ -22 & 45 & -19-\lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} = \mathbf{0} \label{c1} \end{align}

Untuk mencari nilai \(\lambda\) yang sesuai, terlebih dahulu dihitung determinan dari \((\mathrm{A}-\lambda)\) dengan metode Sarrus (khusus matriks 3x3) atau ekspansi kofaktor. Menggunakan ekspansi kofaktor baris pertama, diperoleh

\begin{align} \det(\mathrm{A}-\lambda) &= (-8-\lambda)\begin{vmatrix} 31-\lambda & -13\\ 45 & -19-\lambda \end{vmatrix}-(21)\begin{vmatrix} -14 & -13\\ -22 & -19-\lambda \end{vmatrix}+(-9)\begin{vmatrix} -14 & 31-\lambda\\ -22 & 45 \end{vmatrix} \nonumber \\
&= -\lambda^3+4\lambda^2+4\lambda-16 \nonumber \\
\end{align}

Polinomial yang didapatkan di atas disebut polinomial karakteristik. Berdasarkan persamaan (\ref{def2}), diketahui jika \(\mathbf{x}\) tidak nol maka \(\det(\mathrm{A}-\lambda)\) haruslah sama dengan \(0\) (dapat dilihat dengan metode Crammer, nilai komponen \(\mathbf{x}\) berupa bentuk tak tentu alih-alih \(0\)). Dengan demikian, diperoleh persamaan

\begin{align} 0 = -\lambda^3+4\lambda^2+4\lambda-16 \label{c2} \end{align}

Jelaslah bahwa nilai eigen adalah akar-akar dari polinomial karakteristik. Jika dicari dengan pemfaktoran atau dengan bantuan Matlab, diperoleh \(-\lambda^3+4\lambda^2+4\lambda-16 = (\lambda+2)(-\lambda+2)(\lambda-4)\) sehingga didapatkan ketiga nilai eigen yaitu \(\lambda=2, \lambda=-2\) dan \(\lambda=4\). Tentunya matriks persegi orde-n akan memberikan persamaan karakteristik orde-n pula. Dengan begitu, matriks persegi orde-n memiliki paling banyak n nilai eigen (bisa kurang jika ada akar kembar).

Berikut ini diberikan cara spesial (sebenarnya hanya langkah ringkas) untuk memperoleh polinomial karakteristik matriks 2x2 dan 3x3.

☺ matriks 2x2: \(\det(\mathrm{A}) - \lambda\cdot \mathrm{trace}(\mathrm{A}) + \lambda^2\)
☺ matriks 3x3: \(\det(\mathrm{A}) - \lambda \cdot (M_{11}+M_{22}+M_{33}) + \lambda^2 \cdot \mathrm{trace}(\mathrm{A}) - \lambda^3\)
dengan \(M_{ij}\) adalah Minor dari matriks \(\mathrm{A}\).


Vektor Eigen

Vektor eigen \(\mathbf{x}\) merupakan solusi dari persamaan (\ref{def1}) untuk setiap nilai \(\lambda\) yang ada. Memperhatikan persamaan (\ref{def1}), jelaslah bila \(\mathbf{x_1}\) adalah vektor eigen terkait nilai eigen \(\lambda_1\) maka \(k\cdot \mathbf{x_1}\) dengan \(k\) suatu skalar juga merupakan solusinya. Jadi, kita cukup menyatakan vektor eigen dalam bentuk paling sederhana. Misalnya pada matriks \(\mathrm{A}\) tadi mempunyai tiga nilai eigen, vektor eigennya juga ada tiga. Untuk \(\lambda=2\), substitusikan nilai \(\lambda\) ke dalam persamaan (\ref{c1})

\begin{align} \begin{pmatrix} -8-(2) & 21 & -9\\ -14 & 31-(2) & -13\\ -22 & 45 & -19-(2) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \nonumber \\
\begin{pmatrix} -10 & 21 & -9\\ -14 & 29 & -13\\ -22 & 45 & -21 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \label{cv1} \\
\end{align}

SPL di atas dapat diselesaikan dengan metode Gauss atau Gauss-Jordan. Metode Crammer tak memberikan hasil karena SPL (\ref{cv1}) tidak memiliki solusi sejati (determinannya = 0). Jadi kita hanya dapat memperoleh solusi trivialnya dengan menyatakan \(a\), \(b\), dan \(c\) misalkan dalam \(c\). Dengan metode Gauss, matriks pada ruas kiri persamaan (\ref{cv1}) dapat diubah menjadi matriks segitiga melalui operasi baris elementer (OBE) yaitu:

\begin{align} \begin{pmatrix} -10 & 21 & -9\\ -14 & 29 & -13\\ -22 & 45 & -21 \end{pmatrix} O_{21}(-14/10) = \begin{pmatrix} -10 & 21 & -9\\ 0 & -\frac{4}{10} & -\frac{4}{10}\\ -22 & 45 & -21 \end{pmatrix} O_{31}(-22/10) = \begin{pmatrix} -10 & 21 & -9\\ 0 & -\frac{4}{10} & -\frac{4}{10}\\ 0 & -\frac{12}{10} & -\frac{12}{10} \end{pmatrix} O_{32}(-3) = \begin{pmatrix} -10 & 21 & -9\\ 0 & -\frac{4}{10} & -\frac{4}{10}\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \nonumber \end{align}

Dengan demikian, persamaan (\ref{cv1}) dapat ditulis ulang menjadi:

\begin{align} \begin{pmatrix} -10 & 21 & -9\\ 0 & -0,4 & -0,4\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \label{cv2} \end{align}

jika \(a, b, c\) kita nyatakan dalam \(c\), diperoleh

\begin{align} -0,4b - 0,4c &= 0 \nonumber \\
-10a + 21b - 9c &= 0 \nonumber \\
\end{align}

Dari kedua persamaan di atas diperoleh \(b=-c\) dan \(a=-3c\). Jadi vektor eigen untuk \(\lambda=2\) ialah

\begin{align} \mathbf{x}_1=\begin{pmatrix} -3c\\ -c\\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\ -1\\ 1 \end{pmatrix} \nonumber \\
\end{align}

Dengan cara serupa, untuk \(\lambda=-2\), jika ditelusuri diperoleh

\begin{align} \mathbf{x}_2=\begin{pmatrix} \frac{1}{4}c\\ \frac{1}{2}c\\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 4 \end{pmatrix} \nonumber \\
\end{align}

dan untuk \(\lambda=4\),

\begin{align} \mathbf{x}_3=\begin{pmatrix} c\\ c\\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} \nonumber \\
\end{align}

Dapat Anda cek dengan menyulihkan nilai \(\lambda\) dan \(\mathbf{x}\) pasangannya masing-masing, jalinan (\ref{def1}) terpenuhi.




Lampiran:

Script Matlab untuk mencari polinomial karakteristik dan nilai eigen:
% Polinomial Karakteristik dan Nilai Eigen
clc;
clear all;
A=input('Mariks A = ');
clc;
disp('Matriks A =');
disp(A);
dA=det(A);
[ba,ka]=size(A);
syms L;
for j=1:ka
for i=1:ba
C=A-L*eye(ba);
end
end
disp(C);
disp('polinomial karakteristik matriks A=');
disp(det(C));
disp('nilai eigen matriks A=');
disp(eig(A));

Script Matlab untuk merubah matriks 2x2, 3x3, dan 4x4 menjadi matriks segitiga atas:
% Program transformasi matriks metode Gauss (Operasi Baris Elementer)
% untuk matriks persegi 2, 3 dan 4
% @skaga 2010
clc;
clear;
A=input('Mariks A = ');
clc;
disp('Matriks A =');
disp(A);
dA=det(A);
[ba,ka]=size(A);
if ba==2 % matriks 2x2
if (ba==ka)
C=A;
for i=2%O21
for j=1:ka
C(i,j)=A(i,j)+A(i-1,j)*(-A(i,1)/A(i-1,1));
end
disp(C);
end
disp('determinan A=');
disp(C(1,1)*C(2,2));
else
disp ('Tidak ada penyelesaian');
end
elseif ba==3 % matriks 3x3
if (ba==ka)
C=A;
for i=2%O21
for j=1:ka
C(i,j)=A(i,j)+A(i-1,j)*(-A(i,1)/A(i-1,1));
end
disp(C);
end
for i=3%O31
for j=1:ka
C(i,j)=A(i,j)+A(i-2,j)*(-A(i,1)/A(i-2,1));
end
disp(C);
end
for i=3%O32
A=C;
for j=1:ka
C(i,j)=A(i,j)+A(i-1,j)*(-A(i,2)/A(i-1,2));
end
disp(C);
end
disp('determinan A=');
disp(C(1,1)*C(2,2)*C(3,3));
else
disp ('Tidak ada penyelesaian');
end
elseif ba==4 % matriks 4x4
if (ba==ka)
C=A;
for i=2%O21
for j=1:ka
C(i,j)=A(i,j)+A(i-1,j)*(-A(i,1)/A(i-1,1));
end
disp(C);
end
for i=3%O31
for j=1:ka
C(i,j)=A(i,j)+A(i-2,j)*(-A(i,1)/A(i-2,1));
end
disp(C);
end
for i=4%O41
for j=1:ka
C(i,j)=A(i,j)+A(i-3,j)*(-A(i,1)/A(i-3,1));
end
disp(C);
end
for i=3%O32
A=C;
for j=1:ka
C(i,j)=A(i,j)+A(i-1,j)*(-A(i,2)/A(i-1,2));
end
disp(C);
end
for i=4%O42
for j=1:ka
C(i,j)=A(i,j)+A(i-2,j)*(-A(i,2)/A(i-2,2));
end
disp(C);
end
for i=4%O43
A=C;
for j=1:ka
C(i,j)=A(i,j)+A(i-1,j)*(-A(i,3)/A(i-1,3));
end
disp(C);
end
disp('determinan matriks A=');
disp(C(1,1)*C(2,2)*C(3,3)*C(4,4));
else
disp ('Tidak ada penyelesaian');
end
end



Pustaka:

Mursita, Danang, Aljabar Linear, Rekayasa Sains, Bandung, 2010
Keterangan: Mmn artinya minor dari elemen matriks baris ke-m kolom ke-n.

7 komentar:

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...


Perhatian! Semua tulisan pada blog ini merupakan karya intelektual admin baik dengan atau tanpa literatur, kecuali disebutkan lain. Admin berterima kasih jika ada yang bersedia menyebarkan tulisan-tulisan atau unggahan lain di blog ini dengan tetap mencantumkan sumber artikel. Pemuatan ulang di media online mohon untuk diberikan tautan/link sumber. Segala bentuk plagiasi merupakan pelanggaran hak cipta.