p a r a d o k s: Persamaan Friedmann, Rapat Kritis dan Radius Alam Semesta

Dalam model gravitasi Newton, semua materi saling tarik menarik dengan gaya antara objek M dan m

$F=-\frac{GMm}{r^2}$

Perhatikan gambar berikut ini:

M merupakan massa objek benda pertama yang terdistribusi dalam jarak r yang merupakan jarak kedua objek. Tentu saja hanya distribusi massa dalam bola berjejari r yang mempengaruhi benda 2. Potensial yang terkait dengan gaya gravitasi tadi ialah

$\phi=-\frac{GMm}{r}$

Jika kita tinjau distribusi massa dengan rapat massa per satuan volum, ρ, didapatkan massa yang berkontribusi dalam medan tersebut ialah M = 4πr³ρ/3 sehingga potensial gravitasinya

$\phi=-\frac{4 \pi G \rho\, m}{3}r^2$

dan energi total partikel ialah energi kinetik ditambah energi potensialnya

$E=\frac{m}{2}\dot{r}^2-\frac{4 \pi G \rho\, m}{3}r^2$

Dalam ekspansi alam semesta, semua titik bergerak dengan faktor yang sama, seragam ke semua arah. Oleh karena itu, akan lebih mudah bila jarak antara dua objek kita nyatakan menggunakan suatu faktor skala yang bergantung waktu, R(t). Agar lebih jelas, perhatikan gambar berikut.

Misalkan pada alam semesta 1-D terletak titik A dan B dengan jarak pada mulanya ialah r. Akibat pengembangan alam semesta, jarak keduanya menjadi r'. Didapatkan r' = (R'/R₀)r₀. Jika dipilih suatu koordinat bergerak dengan kecepatan yang sama dengan kecepatan ekspansi, sehingga didapatkan hubungan jarak riil r dan jarak terhadap koordinat bergerak r_c diberikan dalam bentuk

$\vec{r}=R(t)\, \vec{r}_c$

koordinat bergerak ini membuat posisi benda konstan terhadap sistem koordinat. Dengan substitusi r ke dalam energi total dan mengingat $\small \dot{r}_c=0$ (r_c konstan), maka

$E=\frac{m}{2}\dot{R}^2 r^2_c-\frac{4 \pi G \rho\, m}{3}R^2r_c^2$

Mengalikan kedua ruas dengan 2/mR²r_c² diperoleh

$\frac{2E}{mR^2r_c^2}=\frac{\dot{R}^2}{R^2}-\frac{8 \pi G }{3}\rho$

atau

$\frac{\dot{R}^2}{R^2}=\frac{8 \pi G }{3}\rho-\frac{k}{R^2}$

di mana k = -2E/mr_c². Persamaan ini disebut persamaan Friedmann.

Nilai k ini penting untuk mengetahui masa depan alam semesta. jika k < 0, alam semesta akan terus menerus mengembang tanpa batas. Jika k = 0 alam semesta akan terus mengembang dengan kelajuan yang makin melambat, dan jika k > 0, alam semesta akan mengembang hingga radius maksimal, kemudian menciut kembali. Dua yang disebutkan pertama merupakan model terbuka, sedangkan yang terakhir disebut model tertutup.

Jika kita menghitung untuk model k = 0, persamaan Friedmann tadi tereduksi menjadi

$\left (\frac{dR}{dt} \right )^2=\frac{8 \pi G \rho R^2}{3}$

Rapat energi ini disebut rapat energi kritis, ρ_c. Dalam postingan yang lalu telah saya bahas bahwa tetapan Hubble adalah besaran kecepatan per jarak, atau dalam bentuk diferensial dapat ditulis

$H(t)=\frac{\left (\frac{dR}{dt} \right )}{R}$

Dengan demikian, kerapatan massa-energi kritis dapat dituliskan dalam nilai saat ini dari parameter Hubble H₀

$\rho_c=\frac{3 H_0^2}{8 \pi G}$

Substitusi nilai H₀ = 75 (km/s)/Mpc = 2,43 . 10^-18 s diperoleh

$\rho_c=\frac{3 (2,43 \times 10^{-18}\textup{ s})^2}{8 \pi (6,67 \times 10^{-11} \textup{ m}^3 \textup{ kg}^{-1} \textup{ s}^{-2})}$

$\rho_c \approx 10^{-26} \textup{ kg m}^{-3}$

Jadi seandainya nilai k alam semesta ini sama dengan nol, maka rapat energinya sama dengan ρ_c atau dalam orde 10^-26 kg/m³. Dengan kata lain, jika rapat massa alam semesta kurang dari ρ_c, konsekuensinya alam semesta ini akan terus mengembang tanpa batas. Berdasarkan perhitungan, rapat massa-energi alam semesta dari kontribusi CMBR, neutrino dan graviton hanya sekitar 10% dari rapat kritis. Inilah salah satu faktor yang mendorong ilmuwan untuk mencari keberadaan dark matter dan dark energy yang mungkin menyumbang massa yang besar untuk mencapai nilai rapat kritis.

Adapun faktor skala alam semesta, R untuk k = 0 dapat dihitung dengan:

$\frac{\dot{R}^2}{R^2}=\frac{8 \pi G}{3}\rho$

$\dot{R}^2=\frac{8 \pi G}{3R}\rho_0 R_0^3$

$\frac{dR}{dt}=\frac{1}{R^{1/2}}\left \{\frac{8 \pi G}{3}\rho_0 R_0^3 \right \}^{1/2}$

$R^{1/2}dR=\left \{\frac{8 \pi G}{3}\rho_0 R_0^3 \right \}^{1/2}dt$

akhirnya diperoleh

$\frac{2}3{}R^{3/2}=\left \{\frac{8 \pi G}{3}\rho_0 R_0^3 \right \}^{1/2}t$

$R=\left $6 \pi G \rho_0 R_0^3 \right $^{1/3}t^{2/3}$

Model seperti ini disebut model jagat raya Einstein-de Sitter yang terus menerus mengembang dengan laju yang menurun. Menggunakan persamaan di atas, dapat dihitung usia alam semesta

$H(t)=\frac{\left (\frac{dR}{dt} \right )}{R}=\frac{\frac{2}{3}\left (6 \pi G \rho_0 R_0^3 \right )^{1/3}t^{-1/3}}{\left (6 \pi G \rho_0 R_0^3 \right )^{1/3}t^{2/3}}=\frac{2}{3}t^{-1}$

dengan demikian, usia alam semesta saat ini dapat diperoleh dengan memasukkan nilai tetapan Hubble saat ini, H₀

$t=\frac{2}{3}H_0^{-1}=\frac{2}{3}(2,43 \times 10^{-18}\textup{ s}^{-1})^{-1}=2,74 \times 10^{17}\textup{ s}$

atau sekitar 8,7 milyar tahun.

Keterangan: dalam mekanika, tanda dot di atas simbol besaran berarti turunan besaran tersebut terhadap waktu.

Pustaka: Purwanto, Agus, Pengantar Kosmologi, ITS Press, Surabaya, 2009

Baca juga:
Model Alam Semesta
Paradoks Schrödinger
Grandfather Paradox

WW8F3NXKDQ2X

p a r a d o k s

Laman

Sabtu, 13 Agustus 2011

Persamaan Friedmann, Rapat Kritis dan Radius Alam Semesta

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Daftar Bacaan Saya

Entri Populer Bulan Ini