Luna, Segitiga Bola, dan Teorema Girard

Segi-dua atau bigon adalah suatu bangun dua dimensi yang dibatasi oleh dua buah verteks yang membentuk kurva tertutup. Dalam geometri euklidesan, tentu bigon tak mungkin eksis. Namun, dalam geometri bola, bigon dapat dibuat dari dua busur lingkaran besar. Well, di sini diingatkan kembali bahwa rusuk dari spherical polygon harus merupakan busur lingkaran besar (lingkaran pada permukaan bola yang pusatnya berimpit dengan pusat bola). Bigon pada geometri bola dikenal juga sebagai luna (lune) oleh karena bentuknya yang menyerupai fase Bulan.

Dua lingkaran besar yang berpotongan akan membentuk dua pasang luna. Tiap luna yang berpasangan kongruen. Luna PP' dengan sudut dalam sebesar P ditandai pada gambar, yang memiliki luas P/2π luas permukaan bola. Selanjutnya, diberikan satu lingkaran besar lagi sehingga terbentuk segitiga bola PQS.

Telah jelas bahwa luna memiliki dua rusuk, dua verteks (titik sudut), dan satu sisi. Besar kedua sudutnya mestilah sama. Tinjau luna PP’ pada permukaan bola berjejari \(r\), Karena luna merupakan “juring” dari permukaan bola maka luasnya memenuhi

\begin{align} A_{luna}=\frac{P}{2\pi}⋅A_{bola}=2Pr^2 \label{A1} \end{align}

Sekarang kita akan membahas segitiga bola. Segitiga bola adalah segitiga yang dibentuk oleh busur dari tiga buah lingkaran besar. Luas segitiga bola PQS pada bola berjejari \(r\) memenuhi

\begin{align} A=E_3 r^2 \label{A2} \end{align}

di mana \(E_3\) adalah spherical excess pada segitiga bola, yakni kelebihan jumlah sudut dalamnya dari \(\pi\) radian (ingat, jumlah sudut dalam segitiga datar ialah \(\pi\) radian).

\begin{align} E_3=P+Q+S-\pi \label{E3} \end{align}

dengan P,Q,S adalah sudut dalam tiap verteks. Teorema ini dapat diperluas untuk sembarang spherical polygon (segi – N),

\begin{align} E_N=\sum_{n=1}^{N}A_n-(N-2)\pi \label{EN} \end{align}

Formula ini dikenal sebagai formula Girard.

Selanjutnya, kita akan membuktikan teorema Girard untuk segitiga bola. Perhatikan permukaan bola berjejari \(r\) berikut. Permukaan bola dibagi oleh lingkaran besar membentuk segitiga bola PQS dan P'Q'S'. Karena P'Q'S' adalah proyeksi dari PQS maka luas keduanya sama, kita namakan \(A\).

Segitiga bola PQS dan pasangannya yang kongruen, P'Q'S'. Sudut dalam yang dimaksud diberi tanda.

Pada gambar di atas, dapat kita identifikasikan pasangan luna PP', QQ', SS' dengan

$$L_{PP'} = \Delta_{PQS} + \Delta_{P'QS} = \Delta_{PQ'S'} + \Delta_{P'Q'S'}$$ $$L_{QQ'} = \Delta_{PQS} + \Delta_{PQ'S} = \Delta_{P'QS'} + \Delta_{P'Q'S'}$$ $$L_{SS'} = \Delta_{PQS} + \Delta_{PQS'} = \Delta_{P'Q'S} + \Delta_{P'Q'S'}$$

Berdasarkan persamaan (\ref{A1}), luas tiap luna \(L_{PP'}=2Pr^2, L_{QQ'}=2Qr^2\), dan \(L_{SS'}=2Sr^2.\)

Berdasarkan gambar di atas, dapat kita tuliskan segmen-segmen yang menyusun permukaan bola,

\begin{align} Sphere &= \Delta_{PQ'S'}+\Delta_{PQS'}+\Delta_{P'QS'}+\Delta_{P'QS}+\Delta_{P'Q'S}+\Delta_{PQ'S}+\Delta_{PQS}+\Delta_{P'Q'S'} \nonumber \\
&= (\Delta_{PQ'S'}+\Delta_{P'Q'S'})+(\Delta_{PQS'}+\Delta_{PQS})+(\Delta_{P'QS'}+\Delta_{P'Q'S'})+(\Delta_{P'QS}+\Delta_{PQS})+(\Delta_{P'Q'S}+\Delta_{P'Q'S'})+(\Delta_{PQ'S}+\Delta_{PQS})-2\Delta_{PQS}-2\Delta_{P'Q'S'} \nonumber \\
&= L_{PP'}+L_{SS'}+L_{QQ'}+L_{PP'}+L_{SS'}+L_{QQ'}-2\Delta_{PQS}-2\Delta_{P'Q'S'} \nonumber \end{align}

Menyulihkan luas tiap luna, diperoleh

\begin{align} 4\pi r^2 &= 4Pr^2+4Sr^2+4Qr^2-4A \nonumber \\
A &= (P+Q+S-\pi) r^2 = E_3 r^2 \nonumber \end{align} Q.E.D.

Lihat juga:

Geodesik: Jarak Terpendek adalah Garis Lengkung?.