Pembuktian √2 dan √3 adalah Bilangan Irasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk rasio $a/b$ dengan $a, b$ bilangan bulat (integer) dan $b$ tidak sama dengan 0,

$$\begin{align} k\in \mathbb{Q} \Rightarrow \left \{ k=\frac{a} {b} \mid a, b\in \mathbb{Z} \wedge b \ne 0 \right \} \label{k} \end{align}$$

Untuk membuktikan $\sqrt{2}$ adalah bilangan irasional, di sini kita akan menggunakan metode reductio ad absurdum: kita menunjukkan bila $\sqrt{2}$ bilangan rasional, akan didapatkan hasil yang tidak logis atau kontradiktif.

Asumsikan $\sqrt{2}$ adalah bilangan rasional yang dapat dinyatakan dalam bentuk rasio integer yang paling sederhana, $a/b$ dengan $b \ne 0$. Karena $a/b$ adalah rasio integer yang paling sederhana ($a$ dan $b$ tidak memiliki faktor persekutuan bersama selain 1), tidak mungkin $a$ dan $b$ bilangan bilangan genap, salah satunya mestilah ganjil. Sebab jika keduanya genap, maka $a/b$ dapat disederhanakan lagi dengan membagi pembilang dan penyebutnya masing-masing dengan 2 (ingat, bilangan genap adalah bilangan bulat kelipatan 2).

Sejak $\sqrt{2}=a/b$, maka $2=a^2/b^2$ atau

$$a^2 = 2 b^2$$

Ruas kanan kesamaan di atas mestilah genap, karena baik bilangan genap atau ganjil bila dikalikan 2 hasilnya pasti genap:

$$\begin{align} [genap][ganjil]=[genap],\; [genap][genap]=[genap],\; [ganjil][ganjil]=[ganjil] \label{gg} \\ \end{align}$$ $$[ganjil]^2=[ganjil],\; [genap]^2=[genap]$$

Semenjak ruas kanan adalah bilangan genap, maka ruas kiri, $a^2$ mestilah genap juga.

$$a^2=a⋅a=[genap]$$

yang berarti $a$ mestilah bilangan genap. Dengan demikian, dapat dinyatakan

$$a=2k$$

Di mana $k$ suatu integer (berapa nilainya bukanlah hal yang penting). Selanjutnya, kita menyulihkan kesamaan di atas ke ruas kiri kesamaan pertama,

$$\begin{align} (2k)^2 &= 2 b^2 \nonumber \\ b^2 &= 2k^2 \nonumber \end{align}$$

yang berarti $b^2$ adalah bilangan genap sehingga $b$ pun mestilah genap. Hasil ini memberikan $a$ dan $b$ adalah bilangan genap, yang mana berkontradiksi dengan asumsi awal. Dengan demikian dapat diambil kesimpulan bahwa $\sqrt{2}$ tidak mungkin bilangan rasional.

Selanjutnya kita akan membuktikan $\sqrt{3}$ juga bilangan irasional. Seperti pada pembuktian sebelumnya, kita ajukan hipotesa bila $\sqrt{3}$ adalah bilangan rasional maka $\sqrt{3}$ dapat dituliskan dalam bentuk rasional yang paing sederhana $\sqrt{3}=a/b$ dengan $a, b$ integer, $b \ne 0$, dan $a$ dan $b$ tidak memiliki faktor persekutuan selain 1. Dengan demikian $3=a^2/b^2$ atau

$$a^2=3 b^2$$

yang berbentuk $[...]=[ganjil] [...]$. Sama seperti pmbuktian sebelumnya, $a$ dan $b$ tidak mungkin keduanya genap. Dari syarat ini dan lemma (2), diperoleh a dan b bilangan ganjil, oleh karenanya dapat dinyatakan dalam bentuk

$$a=2x+1$$ $$b=2y+1$$

dengan $x, y$ suatu integer yang tidak perlu untuk diketahui. Menyulihkan kesamaan di atas pada kesamaan sebelumnya, diperoleh

$$\begin{align} (2x+1)^2 &= 3 (2y+1)^2 \nonumber \\ 4x^2+4x+1 &= 12y^2+12y+3 \nonumber \\ 2x^2+2x &= 6y^2+6y+1 \nonumber \\ \end{align}$$

Perhatikan bahwa berapapun nilai $x$ dan $y$, berdasarkan lemma ($\ref{gg}$) ruas kiri persamaan di atas mestilah genap, sedangkan ruas kanan mestilah ganjil ( $6y^2+6y$ bernilai genap, ditambah 1 menjadi ganjil). Dengan demikian, asumsi $\sqrt{3}$ adalah bilangan rasional menuntun pada hasil [genap] = [ganjil], yang mana kontradiktif. Dengan demikian, dapat disimpulkan $\sqrt{3}$ tidak mungkin bilangan rasional.