Pembuktian √2 dan √3 adalah Bilangan Irasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk rasio \(a/b\) dengan \(a, b\) bilangan bulat (integer) dan \(b\) tidak sama dengan 0,

\begin{align} k\in \mathbb{Q} \Rightarrow \left \{ k=\frac{a} {b} \mid a, b\in \mathbb{Z} \wedge b \ne 0 \right \} \label{k} \end{align}

Untuk membuktikan \(\sqrt{2}\) adalah bilangan irasional, di sini kita akan menggunakan metode reductio ad absurdum: kita menunjukkan bila \(\sqrt{2}\) bilangan rasional, akan didapatkan hasil yang tidak logis atau kontradiktif.

Asumsikan \(\sqrt{2}\) adalah bilangan rasional yang dapat dinyatakan dalam bentuk rasio integer yang paling sederhana, \(a/b\) dengan \(b \ne 0\). Karena \(a/b\) adalah rasio integer yang paling sederhana (\(a\) dan \(b\) tidak memiliki faktor persekutuan bersama selain 1), tidak mungkin \(a\) dan \(b\) bilangan bilangan genap, salah satunya mestilah ganjil. Sebab jika keduanya genap, maka \(a/b\) dapat disederhanakan lagi dengan membagi pembilang dan penyebutnya masing-masing dengan 2 (ingat, bilangan genap adalah bilangan bulat kelipatan 2).

Sejak \(\sqrt{2}=a/b\), maka \(2=a^2/b^2\) atau

$$a^2 = 2 b^2$$

Ruas kanan kesamaan di atas mestilah genap, karena baik bilangan genap atau ganjil bila dikalikan 2 hasilnya pasti genap:

\begin{align} [genap][ganjil]=[genap],\; [genap][genap]=[genap],\; [ganjil][ganjil]=[ganjil] \label{gg} \\
\end{align} $$ [ganjil]^2=[ganjil],\; [genap]^2=[genap] $$

Semenjak ruas kanan adalah bilangan genap, maka ruas kiri, \(a^2\) mestilah genap juga.

$$a^2=a⋅a=[genap]$$

yang berarti \(a\) mestilah bilangan genap. Dengan demikian, dapat dinyatakan

$$a=2k$$

Di mana \(k\) suatu integer (berapa nilainya bukanlah hal yang penting). Selanjutnya, kita menyulihkan kesamaan di atas ke ruas kiri kesamaan pertama,

\begin{align} (2k)^2 &= 2 b^2 \nonumber \\
b^2 &= 2k^2 \nonumber \end{align}

yang berarti \(b^2\) adalah bilangan genap sehingga \(b\) pun mestilah genap. Hasil ini memberikan \(a\) dan \(b\) adalah bilangan genap, yang mana berkontradiksi dengan asumsi awal. Dengan demikian dapat diambil kesimpulan bahwa \(\sqrt{2}\) tidak mungkin bilangan rasional.

Selanjutnya kita akan membuktikan \(\sqrt{3}\) juga bilangan irasional. Seperti pada pembuktian sebelumnya, kita ajukan hipotesa bila \(\sqrt{3}\) adalah bilangan rasional maka \(\sqrt{3}\) dapat dituliskan dalam bentuk rasional yang paing sederhana \(\sqrt{3}=a/b\) dengan \(a, b\) integer, \(b \ne 0\), dan \(a\) dan \(b\) tidak memiliki faktor persekutuan selain 1. Dengan demikian \(3=a^2/b^2\) atau

$$ a^2=3 b^2$$

yang berbentuk \([...]=[ganjil] [...]\). Sama seperti pmbuktian sebelumnya, \(a\) dan \(b\) tidak mungkin keduanya genap. Dari syarat ini dan lemma (2), diperoleh a dan b bilangan ganjil, oleh karenanya dapat dinyatakan dalam bentuk

$$a=2x+1$$ $$b=2y+1$$

dengan \(x, y\) suatu integer yang tidak perlu untuk diketahui. Menyulihkan kesamaan di atas pada kesamaan sebelumnya, diperoleh

\begin{align} (2x+1)^2 &= 3 (2y+1)^2 \nonumber \\
4x^2+4x+1 &= 12y^2+12y+3 \nonumber \\
2x^2+2x &= 6y^2+6y+1 \nonumber \\
\end{align}

Perhatikan bahwa berapapun nilai \(x\) dan \(y\), berdasarkan lemma (\ref{gg}) ruas kiri persamaan di atas mestilah genap, sedangkan ruas kanan mestilah ganjil ( \(6y^2+6y\) bernilai genap, ditambah 1 menjadi ganjil). Dengan demikian, asumsi \(\sqrt{3}\) adalah bilangan rasional menuntun pada hasil [genap] = [ganjil], yang mana kontradiktif. Dengan demikian, dapat disimpulkan \(\sqrt{3}\) tidak mungkin bilangan rasional.