p a r a d o k s: Persamaan Poisson Medan Gravitasi dan Elektrostatik

Pada artikel kali ini akan diturunkan sajian persamaan Poisson bagi interaksi gravitasi dan elektrostatik. Tentunya pembaca telah mengetahui bahwa sifat dari kedua interaksi itu sangat mirip, sehingga bentuk persamaan Poissonnya juga serupa. Sekarang mari kita mulai dengan interaksi gravitasi. Potensial gravitasi, ϕ oleh massa titik atau distribusi distribusi bola M pada jarak r diberikan dalam

$\small \phi=-\frac{GM}{r}$

dan medan gravitasi, g

$\small \mathbf{g}=-\nabla\phi=-\frac{GM}{r^2} \hat{\mathbf{r}}$

Fluks medan, yakni total medan gravitasi yang menembus permukaan S ialah:

$\small \Phi_g=\oint_{S}^{ }\mathbf{g} \cdot d\mathbf{a}$

Yang berlaku untuk setiap S permukaan Cauchy. Untuk mempermudah kalkulasi, dipilih permukaan bola berjejari r. Elemen luas untuk permukaan bola ialah:

$\small d\mathbf{a}=r^2 d\omega\: \mathbf{\hat{r}}=r^2 (d\theta)(\sin\theta\: d\varphi)\: \mathbf{\hat{r}}$

Dengan ω adalah elemen sudut ruang. Dengan demikian, untuk mencakup seluruh permukaan bola maka sudut polar θ mencakup [0,π] dan sudut azimuth φ mencakup [0,2π].

$\oint_{S}^{ }\mathbf{g}\cdot d\mathbf{a}=-\oint_{S}^{ }\frac{GM}{r^2}r^2 \sin\theta\: d\theta\: d\varphi=-\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{GM}{r^2}r^2 \sin\theta\: d\theta\: d\varphi$

$=\int_{0}^{2\pi} \left [GM \cos\theta\ \right ]_0^\pi \: d\varphi=-2GM\int_{0}^{2\pi}\: d\varphi=-4\pi GM$

Menggunakan teorema divergensi,

$\oint_{S}^{ }\mathbf{g}\cdot d\mathbf{a}=\int (\nabla\cdot \mathbf{g})\: dV$

Mengingat $\small \mathbf{g}=-\nabla\phi$ , maka

$\oint_{S}^{ }\mathbf{g}\cdot d\mathbf{a}=-\int (\nabla\cdot \nabla\phi)\: dV$

Menyulihkan nilai $\small \oint_{S}^{ }\mathbf{g}\cdot d\mathbf{a}$ dan menuliskan $\small \nabla\cdot\nabla\phi=\nabla^2\phi$ ,

$-4\pi GM=-\int (\nabla^2\phi)\: dV$
$\nabla^2\phi=4\pi G\left (\frac{dM}{dV} \right )$

Dengan mendefinisikan kerapatan massa ρ = dM/dV, akhirnya diperoleh

$\nabla^2\phi=4\pi G\rho$

Untuk potensial listrik dapat ditelusuri dengan cara serupa. potensial elektrostatik yang ditimbulkan oleh muatan q pada jarak r diberikan dalam

$\phi=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r}$

Dengan medan listrik E,(*)

$\mathbf{E}=-\nabla\phi=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}\: \mathbf{\hat{r}}$

diperoleh

$\Phi_e=\oint_{S}^{ }\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}=\frac{q}{\epsilon_0}$

sehingga

$\int (\nabla\cdot\mathbf{E})\: dV=\Phi_e=\oint_{S}^{ }\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}=\frac{q}{\epsilon_0}$
$\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{1}{\epsilon_0}\frac{dq}{dV}$

yang tidak lain adalah sajian hukum Gauss. Menyulihkan E = –∇ϕ dan mendefinisikan rapat muatan per volume, ρ = dq/dV, akhirnya diperoleh:

$\nabla^2\phi=-\frac{\rho}{\epsilon_0}$

(*) Dalam elektrostatik, dikenal pula kuantitas medan pergeseran, D, yang biasanya digunakan untuk medan listrik dalam material (nonvakum).
$\small \mathbf{D}=\epsilon_0 E+\mathbf{P}=\epsilon_0(1+\chi_e)\mathbf{E}=\epsilon \mathbf{E}$
$\small \nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_f\: ;\, \; \Phi_{(\mathbf{D})}=\oint_{S}^{ }\mathbf{D}\cdot d\mathbf{a}=q_f$

p a r a d o k s

Laman

Jumat, 03 Februari 2017

Persamaan Poisson Medan Gravitasi dan Elektrostatik

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Daftar Bacaan Saya

Entri Populer Bulan Ini