Aproksimasi Keliling Elips

Menentukan keliling elips ternyata tidak semudah menentukan luasnya. Tidak ada persamaan eksak yang sederhana untuk mencari keliling suatu elips. Ada yang sederhana, tapi tidak eksak, dan yang eksak tidak sederhana, karena berbentuk infinity series yang tentunya dalam penghitungan dilakukan pemotongan suku yang jadinya tidak eksak juga, tapi keteitiannya bisa kita ubah sesuka hati. Penentuan keliling elips penting dalam bidang keteknikan seperti menghitung jumlah material yang diperlukan untuk membuat sebuah tangki beralas elips dan volum cairan di dalamnya. Beberapa rumus keliling elips yang mungkin pernah Anda lihat ialah:

$$K = \pi(a+b)$$ atau $$K = \pi \sqrt{2(a^2 + b^2)}$$

yang sama sekali tidak presisi.

Dalam koordinat kartesian, elips yang berpusat di \(P=(x_0,y_0)\) dengan sumbu panjang \(a\) dan sumbu pendek \(b\) (sudah saya bahas di sini) diperikan oleh persamaan

$$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$$

Di mana sumbu panjang elips sejajar sumbu-X. Bila elips berpusat di \((0,0)\), persamaan elips dapat dituliskan sebagai

$$ y = b \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} $$

Luas elips didefinisikan sebagai:

$$ L = 2\int_{-a}^{a} y(x)\: \mathrm{d}x = 2 \frac{b}{a} \int_{-a}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\: \mathrm{d}x = 2\frac{b}{a}\left ( \frac{\pi a^2}{2} \right )$$ $$ L = \pi a b$$

Adapun kelliling elips memenuhi

$$ K = 2\int_{-a}^{a} \sqrt{1+\left ( \frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x} \right )^2}\: \mathrm{d}x $$

yang solusinya tidak dapat diberikan dalam fungsi analitik yang dikenal. Oleh karena itu, keliling elips hanya dapat dihitung menggunakan jumlahan deret atau formula aproksimasi. Salah satu rumus aproksimasi keliling dari Ramanujan ialah sebagai berikut

$$K\approx \pi(a+b)(1+3h/(10+\sqrt{4+3h}\, ))$$

dengan

$$h=\frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}$$

Rumus dari Ramanujan di atas sangat teliti untuk eksentrisitas yang tidak begitu besar, tapi cukup melenceng pada elips yang sangat pepat. Dapat dibuktikan bahwa elips dengan eksentrisitas \(e = 0\) (lingkaran, \(a = b\)) kelilingnya akan menjadi \(K = \pi(a+b)\), sedangkan jika \(e = 1\) kelilingnya akan menjadi \(K = 4a\) karena b-nya menjadi nol. Berbagai rumus-rumus aproksimasi dan infinity series untuk keliling elips dapat Anda simak lebih jelas di http://www.numericana.com/answer/ellipse.htm. Persamaan aproksimasi lain yang lebih sederhana (namun lebih tidak teliti, tetapi cukup dapat diandalkan) serta contoh infinity seriesnya ialah:

$$K\approx \pi\sqrt{2\left ( a^2+b^2 \right )-\left ( a-b \right )^2/2}$$ $$K\approx 2a \pi\left [ 1-\left ( \frac{1!!}{2!!} \right )^2e^2-\left ( \frac{3!!}{4!!} \right )^2\frac{e^4}{3}-\left ( \frac{5!!}{6!!} \right )^2\frac{e^6}{5}-... \right ]$$

dengan \(e\) eksentrisitas elips, \(e = \frac{\sqrt{a²-b²}}{a}\) dan tanda '!!' merupakan operasi faktorial ganda (misal 7!! = 7×5×3×1, atau 8!! = 8×6×4×2). Bagi yang tidak suka repot, berikut program numerik buatan saya yang berbasis spreadsheet untuk memudahkan pekerjaan tanpa perlu ngitung. Silakan di unduh jika mau.

Selengkapnya...

Download file di Scribd tanpa hosting

        Banyak file-file keren bisa didapat dari scribd.com dan kalau mau bisa didownload gratis/tanpa hosting.Begini caranya:

1. Buka halaman scribd tempat file yang ingin Anda download dari scribd, lalu kopi kode filenya (delapan digit angka).
2. Ketikkan di adress bar: http://www.scribd.com/mobile/documents/xxxxxxxx/download?commit=Download+Now&secret_password= (ganti xxxxxxxx dengan kode file)
3. Jendela download akan muncul silakan di download.

        Atau bisa juga ke scribd mobile dulu.

Selengkapnya...

Problem Bulu-bulu Kaki

        Pertanyaan ini datang dari seorang rekan, sebut namanya Aldytia (nama tidak disamarkan) Oke, ini memang suatu misteri yang kelihatannya aneh. Bulu-bulu kaki (lebih tepatnya rambut-rambut kaki) setelah dicukur dan dibiarkan tumbuh lagi sepertinya kelihatan bertambah lebat, itu jika mata tidak menipu kita. Jangan berpikir itu adalah suatu reaksi gaib antara bulu kaki dan pisau silet, dan bagaimanapun jangan membayangkan pori-pori Anda berlipat akibat reaksi itu. 

        Mungkin anggapan ini muncul karena beranalog dengan dahan pohon yang kalau dipotong bakal tambah lebat dan bercabang-cabang. Bukan, pada tumbuhan terdapat hormon auksin yang dihasilkan oleh jaringan meristem apikal (pucuk) yang mengakibatkan dominasi apikal. Memangkas pucuk dahan berarti menghilangkan sebagian besar auksin pada dahan itu, akibatnya tunas-tunas lateral dapat tumbuh dengan leluasanya. Tapi pada rambut tidak ada auksin, jadi bagaimana ini bisa terjadi? Sebenarnya sederhana saja, rambut mamalia berbentuk kerucut panjang, besar di pangkal dan kecil di ujungnya. Saat pertama kali Anda memangkas rambut-rambut kaki sialan itu berarti Anda menghilangkan bagian yang berpenampang kecil. Akibatnya, saat rambut Anda kembali tumbuh, strukturnya akan akan menjadi tebal di ujung dan lebih tebal lagi di pangkalnya. Solusi sederhana untuk mengembalikan bentuk rambut alami Anda adalah dicabut sampai akar, meskipun itu tidak dianjurkan.

Selengkapnya...

Geodesik: Jarak Terpendek adalah Garis Lengkung?

Dalam kuliah fismat dipelajari bahwa jarak terpendek ialah garis lengkung menggunakan kuadrat elemen garis. Nah, sekarang akan saya ambil model lain dalam kehidupan nyata dan menjabarkannya menggunakan cara lain, astronomi bola. Sebelum membuktikan solusi dari problem ini, ada baiknya kita membahas terlebih dahulu mengenai astronomi bola.

Segitiga bola ialah segitiga yang dibentuk oleh busur-busur lingkaran besar. Yang dimaksud lingkaran besar ialah lingkaran yang berpusat pada pusat bola. Persamaan cosinus untuk segitiga bola ialah:

\begin{align} \cos a = \cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos A \label{cos} \end{align}

Oke, kita akan membuktikan ini terlebih dahulu (kalau sudah tahu dilangkahi saja). Gambarkan segitiga bola (ABC) seperti di bawah ini, kemudian segitiga planar (ADE) sebagai proyeksi segitiga bola tadi. Ingat busur di depan sudut \(A\) diberi nama \(a\), dan seterusnya. Perhatikan bahwa \(\angle DAE = A\) dan \(\angle DOE = a\) .

Pada ΔDAE kita dapatkan:

\begin{align} \overline{DE}^2 = \overline{AD}^2 + \overline{AE}^2 - 2\overline{AD} \cdot \overline{AE} \cdot \cos A \label{p1} \end{align}

Pada ΔDOE kita dapatkan:

\begin{align} \overline{DE}^2 = \overline{OD}^2 + \overline{OE}^2 - 2\overline{OD} \cdot \overline{OE} \cdot \cos a \label{p2} \end{align}

Menyamakan persamaan (\ref{p1}) dengan (\ref{p2}), didapatkan

\begin{align} 2\overline{OD} \cdot \overline{OE} \cdot \cos a = (\overline{OD}^2-\overline{AD}^2)+(\overline{OE}^2-\overline{AE}^2) + 2\overline{AD}\cdot \overline{AE} \cdot \cos A \label{p3} \end{align}

Sekarang perhatikan ΔDAO dan ΔOAE. Nampak dipenuhi jalinan:

\begin{align} \overline{OD}^2-\overline{AD}^2 &= \overline{AO}^2 \nonumber \\
\overline{OE}^2-\overline{AE}^2 &= \overline{AO}^2 \nonumber \end{align}

Menyulihkan jalinan di atas ke dalam persamaan (\ref{p3}), menghasilkan

\begin{align} \overline{OD}\cdot \overline{OE}\: \cos a = \overline{AO}^2 + \overline{AD} \cdot \overline{AE}\: \cos A \nonumber \end{align}

atau

\begin{align} \cos a=\frac{\overline{OA}}{\overline{OD}} \cdot \frac{\overline{OA}}{\overline{OE}}+\frac{\overline{AD}}{\overline{OD}} \cdot \frac{\overline{AE}}{\overline{OE}}\: \cos A \label{p5} \end{align}

Pada ΔDAO, \(\frac{\overline{OA}}{\overline{OD}}\) ialah cosinus dari sudut \(\angle DOA\) dan \(\frac{\overline{AD}}{\overline{OD}}\) merupakan sinus dari sudut yang sama. Mengingat \(\angle DOA=c\), maka \(\frac{\overline{OA}}{\overline{OD}} = \cos c\) dan \(\frac{\overline{AD}}{\overline{OD}} = \sin c\). Begitu pula didapatkan \(\frac{\overline{OA}}{\overline{OE}} = \cos b\) dan \(\frac{\overline{AE}}{\overline{OE}} = \sin b\). Menyulihkan kesamaan-kesamaan ini ke dalam persamaan (\ref{p5}), diperoleh jalinan (\ref{cos}),

\begin{align} \cos a = \cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos A\nonumber \end{align}

Nah, sekarang waktunya membuktikan jarak terpendek (geodesik) pada permukaan lengkung ialah garis lengkung pada proyeksinya. Perhatikan gambar.

Misalkan kota Kentut (\(G\)) dan Sendawa (\(L\)) yang lintangnya hampir sama sekitar \(30^{\circ}\) Lintang Selatan dan bujur kota Kentut \(100^{\circ}\) BT sedangkan bujur kota Sendawa \(140^{\circ}\) BT. Kita dapatkan \(\phi = 90^{\circ} + 30^{\circ} = 120^{\circ}\) dan \(\theta = 140^{\circ} - 100^{\circ} = 40^{\circ}\). Dengan radius planet \(R=6371\) km, jika kita menempuh jalur lurus sepanjang lintangnya, maka didapatkan jarak

\begin{align} r_1 = \frac{\theta }{360^{\circ}}2\pi R'= \frac{\theta }{360^{\circ}}2\pi R\: \sin \phi \nonumber \end{align}

Dengan memasukkan nilai didapatkan \(r_1 = 3851,9\) km.

Sekarang akan dihitung panjang lintasan geodesiknya. Jika kita menggunakan segitiga bola, maka sudut \(a\) ialah:

\begin{align} \cos a &= \cos \phi \: \cos \phi + \sin \phi\: \sin \phi\: \cos \theta \nonumber \\
a &= \cos^{-1}\left ( \cos^2 \phi + \sin^2 \phi\: \cos \theta \right ) \nonumber \end{align}

Dengan demikian jarak kota Kentut dan kota Sendawa jika melalui lingkaran besar ialah

\begin{align} r_2 = \frac{a}{360^{\circ}}2\pi R \nonumber \end{align}

Dengan memasukkan nilai didapatkan \(r_2 = 3831,6\) km, yang mana lebih pendek dari \(r_1\).

Jadi agar dapat menempuh jarak terpendek, alih-alih berjalan "lurus" sepanjang lintang, akan lebih pendek jika "berbelok" dulu ke selatan kemudian belok kembali ke utara.

Pustaka: Astronomy, Principle and Practice. A. E. Roy and D. Clarke.

Lihat juga:

Luna, Segitiga Bola, dan Teorema Girard.
Selengkapnya...

Missing Square Puzzle (64 = 65)

         Ungkapan sebelas-duabelas tentunya sudah lazim terdengar di telinga kita. Ya, ungkapan yang bermakna beda tipis ini begitu cerdas menurut saya, begitu pula penemu problem yang sama sekali tidak lucu ini, Missing square puzzle. Kalau sebelas dan dua belas saja beda tipis, apalagi 64 dan 65, Perhatikan puzzle di bawah ini, ada puzzle yang hilang pada gambar segitiga bawah padahal keduanya nampak identik (diambil dari en.wikipedia):

        Meskipun kalau kita teliti baik-baik sebenarnya mudah saja untuk memecahkan problem yang tidak lucu ini, keheranan yang berlebihan daripada rasa ingin tahu biasanya membuat kita tidak mampu memecahkannya. Bahkan rekan saya Yoko rambutnya hampir jatuh terkulai melihat puzzle ini :).

        Oke, mari kita pecahkan puzzle ini! Kuncinya adalah ungkapan yang saya paparkan tadi, sulit membedakan 64 biji apel dan 65 biji apel dalam sepintas, apalagi luasan. Sekarang perhatikan bangun-bangun bagian dari segitiga siku-siku pada kedua gambar (dua bentuk L dan dua segitiga siku-siku), amati dengan teliti, dan ternyata kesemuanya identik. Namun, jika kita mengamati segitiga siku-siku besar pada gambar atas dan bawah (terhitung pecahan yang raib), ternyata keduanya tidak identik.

        Gradien dari sisi miring (semestinya rusuk miring) pada segitiga merah ialah 3/8 = 0,375, sedangkan pada segitiga biru 2/5 = 0,4. Keduanya berbeda, jadi jelas pada segitiga besar pada kedua gambar sisi miringnya tidaklah lurus, melainkan bengkok. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah ini, yang sudah dilebih-lebihkan.

        Panjang A1B1 = A2B2, B1C1 = B2C2, A1D1 = C2D2, dan C1D1 = A2D2. Jelas segitiga bagian atas lebih sempit bukan? jadi silakan lakukan kalkulasi, luas segitiga bawah pada gambar atas dikurangi satu kotak tepat sama dengan luas segitiga atas (pada gambar atas).

Selengkapnya...