PEMBUKTIAN RUMUS PERBANDINGAN SEGITIGA

Pada postingan kali ini saya akan membahas mengenai perbandingan segitiga yang kongruen. Misalkan segitiga ABR yang dibagi sehingga diperoleh pasangan segitiga yang kongruen (ketiga sudutnya sama besar), ABR dan CDR.

Dengan \(\overline{BR}=c\), \(\overline{AR}=d\), \(\overline{ER}=t\), \(\overline{CR}=g\), dan \(\overline{DR}=h\). Pada kedua segituga itu berlaku hubungan

$$\frac{\overline{AB}}{\overline{CD}}=\frac{\overline{AR}}{\overline{DR}}=\frac{\overline{BR}}{\overline{CR}}$$

Tentunya meskipun bukan merupakan bukti eksplisit, dapat kita lihat sudut R adalah tetap sehingga

$$\frac{\overline{DR}}{\overline{CD}}=\frac{\overline{AR}}{\overline{AB}}\; \; \textrm{sehingga} \; \; \frac{\overline{AB}}{\overline{CD}}=\frac{\overline{AR}}{\overline{DR}}$$ Berikut bukti bahwa persamaan tadi benar. $$a = c \sin \theta_1$$ $$b = d \sin \theta_2$$ $$e = g \sin \theta_1$$ $$f = h \sin \theta_2$$ Jadi kita dapatkan $$\frac{a+b}{e+f}=\frac{c \sin \theta_1 + d \sin \theta_2}{g \sin \theta_1 + h \sin \theta_2}$$ Kemudian perhatikan kembali segitiga ABR, didapatkan $$\frac{d}{t}=\sec \theta_2;\; \; \frac{c}{t}=\sec \theta_1$$ $$d=c\frac{\sec \theta_2}{\sec \theta_1}$$ Dengan cara yang sama didapatkan $$h=g\frac{\sec \theta_2}{\sec \theta_1}$$ sehingga persamaan kita menjadi: $$\frac{a+b}{e+f}=\frac{c \sin \theta_1 + c\frac{\sec \theta_2}{\sec \theta_1} \sin \theta_2}{g \sin \theta_1 + g\frac{\sec \theta_2}{\sec \theta_1} \sin \theta_2}$$ $$\frac{a+b}{e+f}=\frac{c \left (\sin \theta_1 + \frac{\sec \theta_2}{\sec \theta_1} \sin \theta_2 \right )}{g \left ( \sin \theta_1 + \frac{\sec \theta_2}{\sec \theta_1} \sin \theta_2 \right )} $$ $$\frac{a+b}{e+f}=\frac{c}{g}$$ atau $$\frac{\overline{AB}}{\overline{CD}}=\frac{\overline{BR}}{\overline{CR}}$$

Tadi kita menyulihkan \(d\) dengan \(c\) dan \(h\) dengan \(g\), jika kita tukar yaitu menyulihkan \(c\) dengan \(d\) dan \(g\) dengan \(h\) didapatkan,

$$\frac{a+b}{e+f}=\frac{d\frac{\sec \theta_1}{\sec \theta_2} \sin \theta_1 + d \sin \theta_2}{h\frac{\sec \theta_1}{\sec \theta_2} \sin \theta_1 + h \sin \theta_2} = \frac{d}{h}$$ Dengan demikian, terbukti: $$\frac{\overline{AB}}{\overline{CD}}=\frac{\overline{AR}}{\overline{DR}}=\frac{\overline{BR}}{\overline{CR}}$$ Perbandingan ini berlaku segitiga apapun yang kongruen dengan segitiga ABR.