Rabu, 14 Juli 2010

PEMBUKTIAN RUMUS PERBANDINGAN SEGITIGA

Pada postingan kali ini saya akan membahas mengenai perbandingan segitiga yang kongruen. Misalkan segitiga ABR yang dibagi sehingga diperoleh pasangan segitiga yang kongruen (ketiga sudutnya sama besar), ABR dan CDR.

Dengan \(\overline{BR}=c\), \(\overline{AR}=d\), \(\overline{ER}=t\), \(\overline{CR}=g\), dan \(\overline{DR}=h\). Pada kedua segituga itu berlaku hubungan

$$\frac{\overline{AB}}{\overline{CD}}=\frac{\overline{AR}}{\overline{DR}}=\frac{\overline{BR}}{\overline{CR}}$$

Tentunya meskipun bukan merupakan bukti eksplisit, dapat kita lihat sudut R adalah tetap sehingga

$$\frac{\overline{DR}}{\overline{CD}}=\frac{\overline{AR}}{\overline{AB}}\; \; \textrm{sehingga} \; \; \frac{\overline{AB}}{\overline{CD}}=\frac{\overline{AR}}{\overline{DR}}$$ Berikut bukti bahwa persamaan tadi benar. $$a = c \sin \theta_1$$ $$b = d \sin \theta_2$$ $$e = g \sin \theta_1$$ $$f = h \sin \theta_2$$ Jadi kita dapatkan $$\frac{a+b}{e+f}=\frac{c \sin \theta_1 + d \sin \theta_2}{g \sin \theta_1 + h \sin \theta_2}$$ Kemudian perhatikan kembali segitiga ABR, didapatkan $$\frac{d}{t}=\sec \theta_2;\; \; \frac{c}{t}=\sec \theta_1$$ $$d=c\frac{\sec \theta_2}{\sec \theta_1}$$ Dengan cara yang sama didapatkan $$h=g\frac{\sec \theta_2}{\sec \theta_1}$$ sehingga persamaan kita menjadi: $$\frac{a+b}{e+f}=\frac{c \sin \theta_1 + c\frac{\sec \theta_2}{\sec \theta_1} \sin \theta_2}{g \sin \theta_1 + g\frac{\sec \theta_2}{\sec \theta_1} \sin \theta_2}$$ $$\frac{a+b}{e+f}=\frac{c \left (\sin \theta_1 + \frac{\sec \theta_2}{\sec \theta_1} \sin \theta_2 \right )}{g \left ( \sin \theta_1 + \frac{\sec \theta_2}{\sec \theta_1} \sin \theta_2 \right )} $$ $$\frac{a+b}{e+f}=\frac{c}{g}$$ atau $$\frac{\overline{AB}}{\overline{CD}}=\frac{\overline{BR}}{\overline{CR}}$$

Tadi kita menyulihkan \(d\) dengan \(c\) dan \(h\) dengan \(g\), jika kita tukar yaitu menyulihkan \(c\) dengan \(d\) dan \(g\) dengan \(h\) didapatkan,

$$\frac{a+b}{e+f}=\frac{d\frac{\sec \theta_1}{\sec \theta_2} \sin \theta_1 + d \sin \theta_2}{h\frac{\sec \theta_1}{\sec \theta_2} \sin \theta_1 + h \sin \theta_2} = \frac{d}{h}$$ Dengan demikian, terbukti: $$\frac{\overline{AB}}{\overline{CD}}=\frac{\overline{AR}}{\overline{DR}}=\frac{\overline{BR}}{\overline{CR}}$$ Perbandingan ini berlaku segitiga apapun yang kongruen dengan segitiga ABR.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...


Perhatian! Semua tulisan pada blog ini merupakan karya intelektual admin baik dengan atau tanpa literatur, kecuali disebutkan lain. Admin berterima kasih jika ada yang bersedia menyebarkan tulisan-tulisan atau unggahan lain di blog ini dengan tetap mencantumkan sumber artikel. Pemuatan ulang di media online mohon untuk diberikan tautan/link sumber. Segala bentuk plagiasi merupakan pelanggaran hak cipta.