Panjang Busur Spiral

Spiral (di sini dimaksudkan spiral Archimedes) dapat dinyatakan dengan fungsi dalam koordinat polar sebagai berikut.

$$r(\theta)=a\: \theta$$

Bentuknya mirip dengan obat nyamuk, seperti gambar berikut ini (dicomot dari wikipedia).

Di mana $0 < \theta < \infty$, dan $a$ merupakan selang/jarak antara point-point berselisih sudut $2\pi$ radian. Dengan menggunakan kalkulus, kita akan menghitung panjang busur dari spiral dalam selang 0 hingga $\theta$ dapat dinyatakan dengan

$$\begin{align} s &= \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r(\theta)^2+\left (\frac{dr(\theta)}{d\theta}\right )^2}\: d\theta \nonumber \\ &= \int_{0}^{\theta} \sqrt{a^2\theta^2+a^2}\: d\theta \nonumber \\ &= \int_{0}^{\theta} \sqrt{\theta^2+1}\: d\theta \nonumber \end{align}$$

Karena tidak dapat diselesaikan dengan cara biasa, kita lakukan substitusi atau pemisalan

$$\theta=\tan x \rightarrow d\theta=\sec^2 x\: dx$$ $$\sqrt{\theta^2+1}=\sqrt{\tan^2 x + 1}=\sqrt{\sec^2 x}=\left | \sec x \right |=\sec x$$

Persamaan kita sebelumnya kini menjadi,

$$\begin{align} s &= a\int_{0}^{\theta} \sqrt{\theta^2+1}\: \sec^2 x\: dx \nonumber \\ &= a\int_{0}^{\theta} \sec^3 x\: dx \nonumber \end{align}$$

Bentuk integral dari $\sec^3 x$ dapat kita turunkan atau lihat langsung di tabel (^^), yaitu:

$$\int \sec^3 x\: dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2} \ln\left | \sec x + \tan x \right | + C$$

Untuk penjelasannya silakan klik di sini. Akhirnya kalkulasikan batas integrasinya dan lakukan substitusi balik sebagaimana pemisalan sebelumnya, dan didapatkan

$$\begin{align} s &= \frac{1}{2}a \left [ \sec x \tan x + \ln(\sec x + \tan x) \right ]_0^\theta \nonumber \\ &= \frac{1}{2}a \left [ \theta\sqrt{\theta^2+1} + \ln(\theta+\sqrt{\theta^2+1}) \right ] \nonumber \end{align}$$

Selesai..

Lihat juga:
Panjang busur heliks