Panjang Busur Helix

Helix merupakan geometri satu dimensi yang eksis dalam tiga dimensi. Helix memiliki bentuk dasar berupa lingkaran. Berbeda dari spiral yang "diekspansi" dalam bidang-XY, heliks "ditarik" ka arah sumbu-Z dengan parameter baru, c. Anggap radius lingkaran dasar dari helix ialah a dan selang/jarak point-point yang berbeda sudut 2π radian kita sebut c, maka persamaan parameter helix dapat dinyatakan dengan:

$$\begin{align} x &= a \cos \theta \nonumber \\ y &= a \sin \theta \nonumber \\ z &= c \theta \nonumber \end{align}$$

Dengan menggunakan kalkulus, panjang kurva dengan metode parameterisasi dinyatakan dalam

$$s=\int_{b}^{a}\sqrt{\left ( \frac{dx}{d\theta}\right )^2+\left ( \frac{dy}{d\theta}\right )^2+\left ( \frac{dz}{d\theta}\right )^2}\: d\theta$$

Sehingga dapat kita hitung panjang busur dari helix dari $\theta=0$ hingga $\theta'$ ialah

$$\begin{align} s &= \int_{0}^{\theta'} \sqrt{(-a \sin \theta)^2+(a \cos \theta)^2+c^2}\: d\theta \nonumber \\ &= \int_{0}^{\theta'}\sqrt{a^2+c^2}\: d\theta \nonumber \\ &= \left [ \theta \sqrt{a^2+c^2} \right ]_0^{\theta'} \nonumber \end{align}$$

Perhatikan persamaan di atas, $\frac{ds(\theta)}{d\theta} =$ konstan sehingga variasi panjang kurva terhadap nilai $\theta$ selalu tetap. Artinya, panjang kurva dari suatu heliks dalam selang $\Delta\theta$ selalu sama dengan dua kali panjang kurvanya dalam selang $2\Delta\theta$. Dalam selang $[0,2\pi]$, didapatkan panjang kurva,

$$s = 2\pi\sqrt{a^2+c^2}$$

Sumber gambar: wikipedia

Lihat juga: Panjang busur spiral