Helix merupakan geometri satu dimensi yang eksis dalam tiga dimensi. Helix memiliki bentuk dasar berupa lingkaran. Berbeda dari spiral yang "diekspansi" dalam bidang-XY, heliks "ditarik" ka arah sumbu-Z dengan parameter baru, c. Anggap radius lingkaran dasar dari helix ialah a dan selang/jarak point-point yang berbeda sudut 2π radian kita sebut c, maka persamaan parameter helix dapat dinyatakan dengan:
\begin{align} x &= a \cos \theta \nonumber \\y &= a \sin \theta \nonumber \\
z &= c \theta \nonumber \end{align}
Dengan menggunakan kalkulus, panjang kurva dengan metode parameterisasi dinyatakan dalam
$$ s=\int_{b}^{a}\sqrt{\left ( \frac{dx}{d\theta}\right )^2+\left ( \frac{dy}{d\theta}\right )^2+\left ( \frac{dz}{d\theta}\right )^2}\: d\theta $$Sehingga dapat kita hitung panjang busur dari helix dari \(\theta=0\) hingga \(\theta'\) ialah
\begin{align} s &= \int_{0}^{\theta'} \sqrt{(-a \sin \theta)^2+(a \cos \theta)^2+c^2}\: d\theta \nonumber \\&= \int_{0}^{\theta'}\sqrt{a^2+c^2}\: d\theta \nonumber \\
&= \left [ \theta \sqrt{a^2+c^2} \right ]_0^{\theta'} \nonumber \end{align}
Perhatikan persamaan di atas, \(\frac{ds(\theta)}{d\theta} =\) konstan sehingga variasi panjang kurva terhadap nilai \(\theta\) selalu tetap. Artinya, panjang kurva dari suatu heliks dalam selang \(\Delta\theta\) selalu sama dengan dua kali panjang kurvanya dalam selang \(2\Delta\theta\). Dalam selang \([0,2\pi]\), didapatkan panjang kurva,
$$ s = 2\pi\sqrt{a^2+c^2} $$
Lihat juga: Panjang busur spiral
Tidak ada komentar:
Posting Komentar