Operator Nabla pada Koordinat Kartesian 3 Dimensi

Operasi nabla pada medan vektor/skalar dapat berupa gradien, $\nabla f$, divergensi, $\nabla \bullet \textbf{F}$ atau curl, $\nabla \times \textbf{F}$. Operator nabla sendiri didefinisikan sebagai:

$$\begin{align} \nabla \equiv \widehat{\textbf{i}} \frac{\partial }{\partial x} + \widehat{\textbf{j}} \frac{\partial }{\partial y} + \widehat{\textbf{k}} \frac{\partial }{\partial z} \label{nabla} \end{align}$$

Operator nabla dapat dioperasikan pada fungsi skalar $f$ maupun fungsi vektor $\mathbf{F}$. Dalam ruang-3, fungsi skalar $f$ dan fungsi vektor $\mathbf{F}$ dalam koordinat kartesian 3 dimensi secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk

$$\begin{align} f &= f(x,y,z) \nonumber \\ \mathbf{F} &= F_x(x,y,z)\widehat{\textbf{i}} + F_y(x,y,z)\widehat{\textbf{j}} + F_z (x,y,z)\widehat{\textbf{k}} \nonumber \end{align}$$

Berikut ini diberikan secara ringkas operasi $\nabla$ pada fungsi skalar dan vektor dalam koordinat kartesian.

1. Gradien Medan Skalar

Gradien dari suatu fungsi skalar $f$ ialah fungsi kemiringan dari $f$ di sembarang titik pada setiap arah.

$$\begin{align} \mathrm{grad}(f) \equiv \nabla f \label{graddef} \end{align}$$

Mengingat produk antara vektor dan skalar merupakan vektor maka gradien dari $f$ adalah vektor. Misalkan untuk $f = f(x,y,z)$,

$$\begin{align} \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\hat{\mathbf{i}}+\frac{\partial f}{\partial x}\hat{\mathbf{j}}+\frac{\partial f}{\partial x}\hat{\mathbf{k}} \label{grad} \end{align}$$

Contoh untuk medan skalar $f(x,y,z)=x^2y^3+x^3y^2-y^2z^4$.

$$\begin{align} \frac{\partial f}{\partial x} &= f_x(x,y,z)=2xy^3+3x^2z^2 \nonumber \\ \frac{\partial f}{\partial y} &= f_y(x,y,z)=3x^2y^2-2yz^4 \nonumber \\ \frac{\partial f}{\partial z} &= f_z(x,y,z)=2x^3z-4y^2z^3 \nonumber \end{align}$$

dengan demikian, didapatkan

$$\begin{align} \nabla f(x,y,z) = (2xy^3+3x^2z^2)\hat{\mathbf{i}} + (3x^2y^2-2yz^4)\hat{\mathbf{j}} + (2x^3z-4y^2z^3)\hat{\mathbf{k}} \label{gradfC} \end{align}$$

2. Divergensi Medan Vektor

Divergensi dari suatu fungsi vektor $\mathbf{F}$, $\mathrm{div}(\mathbf{F})$ didefinisikan sebagai dot product antara $\nabla$ dan $\mathbf{F}$.

$$\begin{align} \mathrm{div}(\mathbf{F}) \equiv \nabla \bullet \mathbf{F} \label{divdef} \end{align}$$

Mengingat dot product dari dua vektor adalah skalar maka divergensi dari $\mathbf{F}$ adalah skalar.

$$\begin{align} \nabla \bullet \mathbf{F} &= \left [\widehat{\textbf{i}} \frac{\partial }{\partial x} + \widehat{\textbf{j}} \frac{\partial }{\partial y} + \widehat{\textbf{k}} \frac{\partial }{\partial z} \right ] \bullet \left [\widehat{\textbf{i}} F_x + \widehat{\textbf{j}} F_y + \widehat{\textbf{k}} F_z \right ] \label{div0} \end{align}$$

Mengingat $\hat{\mathbf{e}_i}\bullet\hat{\mathbf{e}_i} = \hat{\mathbf{i}}\bullet\hat{\mathbf{i}} = \hat{\mathbf{j}}\bullet\hat{\mathbf{j}} = \hat{\mathbf{k}}\bullet\hat{\mathbf{k}} = 1$ dan $\hat{\mathbf{e}_i}\bullet\hat{\mathbf{e}_j} = 0$ jika $i \neq j$, maka persamaan ($\ref{div0}$) dapat dituliskan ulang sebagai.

$$\begin{align} \nabla \bullet \mathbf{F} &= \begin{pmatrix} F_x & F_y & F_z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix} \nonumber \\ &= \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} \label{div} \end{align}$$

Contoh untuk fungsi medan vektor $\mathbf{F}(x,y,z)=(y+xe^{yz})\hat{\mathbf{i}}+(z+ye^{yz})\hat{\mathbf{j}}+(xy+ze^{yz})\hat{\mathbf{k}}$, sehingga

$$F_x = (y+xe^{yz}),\: F_y=(z+ye^{yz}),\: F_z=(xy+ze^{yz})$$

Diperoleh

$$\begin{align} \nabla \bullet F = e^{yz}+(e^{yz}+yz\, e^{yz})+(e^{yz}+yz\, e^{yz})=(3+2yz)e^{yz} \label{divFC} \end{align}$$

3. Curl Medan Vektor

Curl dari suatu fungsi vektor $\mathbf{F}$, $\mathrm{curl}(\mathbf{F})$ didefinisikan sebagai cross product antara $\nabla$ dan $\mathbf{F}$.

$$\begin{align} \mathrm{curl}(\mathbf{F}) \equiv \nabla \times \mathbf{F} \label{curldef} \end{align}$$

Mengingat cross product antara dua vektor juga merupakan vektor maka curl dari $\mathbf{F}$ adalah vektor.

$$\begin{align} \nabla \times \mathbf{F} &= \left [\widehat{\textbf{i}} \frac{\partial }{\partial x} + \widehat{\textbf{j}} \frac{\partial }{\partial y} + \widehat{\textbf{k}} \frac{\partial }{\partial z} \right ] \times \left [\widehat{\textbf{i}} F_x + \widehat{\textbf{j}} F_y + \widehat{\textbf{k}} F_z \right ] \label{curl0} \end{align}$$

Mengingat $\hat{\mathbf{e}_i}\times\hat{\mathbf{e}_i} = 0$, $\hat{\mathbf{i}}\times\hat{\mathbf{j}} = -\hat{\mathbf{j}}\times\hat{\mathbf{i}} = \hat{\mathbf{k}}$, $\hat{\mathbf{j}}\times\hat{\mathbf{k}} = -\hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{j}} = \hat{\mathbf{i}}$, dan $\hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{i}} = -\hat{\mathbf{i}}\times\hat{\mathbf{k}} = \hat{\mathbf{j}}$, maka persamaan ($\ref{curl0}$) dapat dituliskan ulang sebagai.

$$\begin{align} \nabla \times \mathbf{F} &= \begin{vmatrix} \widehat{\textbf{i}} & \widehat{\textbf{j}} & \widehat{\textbf{k}} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix} \nonumber \\ &= \left ( \frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z} \right )\widehat{\textbf{i}} + \left ( \frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x} \right )\widehat{\textbf{j}} + \left ( \frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y} \right )\widehat{\textbf{k}} \label{curlF} \end{align}$$

Contoh untuk medan vektor yang sama dengan contoh sebelumnya, diperoleh,/p>

$$\begin{align} \nabla \times F = (x-1+z^2\, e^{yz}-y^2\, e^{yz})\hat{\mathbf{i}}+(xy\, e^{yz}-y)\hat{\mathbf{j}}-(1+xz\, e^{yz})\hat{\mathbf{k}} \label{curlFC} \end{align}$$

4. Laplacian Medan Skalar

Laplacian dari fungsi skalar $f$, dinotasikan $\bigtriangleup f$ atau $\nabla^2 f$ didefinisikan sebagai.

$$\begin{align} \bigtriangleup f \equiv \nabla \bullet (\nabla f) \label{Laplaciandef} \end{align}$$

Dengan demikian, Laplacian suatu fungsi skalar adalah skalar.

Misalkan untuk medan skalar $f$ pada contoh sebelumnya. Berdasarkan definisi ($\ref{Laplaciandef}$), Laplacian dari $f$ dapat diperoleh dengan mengambil divergensi dari persamaan ($\ref{gradfC}$).

$$\begin{align} \bigtriangleup f &= (2y^3+6xz^2) + (6x^2y-2z^4) + (2x^3-12y^2z^2) \nonumber \\ &= 2(x^3+y^3) + 6(x^2y+xz^2) - 2z^4 - 12y^2z^2 \nonumber \end{align}$$