Operator sigma dan integral sama-sama merupakan operator sumasi, bedanya sigma digunakan untuk model diskrit dan integral untukmodel kontinu. Dengan demikian sigma lebih banyak digunakan dalam metode numerik (komputasional) dan integral banyak dijumpai dalam metode analitik.
Semua fungsi kontinu dapat diubah menjadi data diskret, namun data diskret tak dapat diubah menjadi fungsi kontinu dengan pasti. Konsep integral juga berawal dari konsep sumasi sigma, tetapi dengan selang diperkecil hingga mendekati nol (Δx→0).
Kita ambil contoh fungsi sederhana, f(x) = 2x. Jika kita melakukan sumasi untuk x=0 hingga x=5 diperoleh:
Operasi integral menghitung luas daerah segitiga yang dibentuk garis f(x), x=5, dan sumbu-X. Mirip dengan sumasi sigma, namun dalam selang yang sangat kecil.
Perhatikan untuk operator sigma, pada batas x = 0 hingga x = 5, karena bekerja pada ranah diskret, memiliki 'tepi' x = -0,5 dan x = 5,5 (Ingat, jika didiskretkan nilai 4,5<x<5,5 dihitung sama dengan 5). Sedangkan untuk integral, karena bekerja dalam ranah real, maka tepi daerahnya sama dengan batas integrasinya. Dengan demikian, pada operasi integral luas setengah balok terakhir (4,5<x<5,5) yang berada di kanan garis x = 5 tidak akan dihitung, sehingga kita dapatkan hubungan:
atau jika diperumum lagi
Diberi simbol hampir atau sama dengan karena nilainya bisa tidak sama (tapi tetap mendekati) akibat beda luas balok yang lebih dari garis f(x) dan luas balok yang kurang dari garis f(x) mungkin tidak sama (jelasnya hanya akan sama jika persamaannya linear). Jadi, dapat kita hitung luas daerah di bawah kurva dengan sumasi sigma maupun integral
Kita buktikan dengan persamaan kita sebelumnya
Betul kan?
Nah, kasus berikutnya yang cukup penting dalam fisika ialah nilai ln(a!). Aproksimasi yang terkenal untuk itu ialah aproksimasi Stirling, tapi di sini kita akan menggunakan penemuan kita di atas. Ingat salah satu sifat logaritma: log(a×b) = log(a) + log(b) sehingga kita dapatkan:
Dengan demikian, nilai ln(a!) sama dengan luas daerah di bawah kurva f(x) = ln(x) dan garis x = a.
Menggunakan integral parsial ∫ u dv = uv - ∫ v du, diperoleh ∫ ln(x) dx = x ln(x) - x + C, sehingga:
Tidak ada komentar:
Posting Komentar