Misalkan terdapat suatu balon yang ditiup sehingga berekspansi dengan kelajuan konstan v1, dan seekor semut berjalan sepanjang lingkaran besar pada balon dengan kelajuan konstan v2. Jika posisi awal semut ditandai dengan noktah O’ dan v2<v1, dapatkah semut mengelilingi balon?
Jika diperhatikan sekilas, bila v2<v1 terlihat seberapa jauh semut bergerak, lintasannya akan bertambah lebih panjang pula, dengan demikian semut tak akan dapat mengelilingi balon. Di sini akan saya tunjukkan bahwa berapa pun kelajuan semut, asal tidak nol, ia dapat mengelilingi balon berkali-kali.
Radius balon, R ialah:
Dengan menyatakan panjang lintasan (panjang lingkaran besar balon) dengan K,diperoleh:
Dan jarak yang ditempuh oleh semut
Sudut pusat dari garis hubung titik awal semut – pusat lingkaran – posisi semut kita sebut θ, yang besarnya:
Perubahan sudut pusat ini bergantung terhadap jarak yang ditempuh semut dalams elang waktu tertentu dibagi dengan radius bola saat itu
Untuk menyederhanakan perhitungan, kita ambil R0 = 0, sehingga
Untuk memudahkan kita ambil Δt = 1 s, atau t = 1 s, 2 s, 3 s, dan seterusnya sehingga persamaan di atas menunjukkan sudut pusat yang ditempuh selama satu detik pada waktu t. Dengan demikian dapat dituliskan total sudut pusat yang ditempuh oleh semut dalam waktu t = n ialah:
Atau jika dinyatakan dalam satuan derajat maka:
Perhatikan bahwa deret di atas merupakan deret harmonik yang divergen, sehingga makin besar nilai t sudut yang ditempuh juga akan semakin besar tanpa batas, meskipun kecepatan sudutnya makin kecil. Dengan divergennya nilai θ ini dapat ditarik kesimpulan semut dapat mengelilingi balon berkali-kali.
Hasil ini mungkin cukup membuat bingung, bagaimana mungkin semut bisa menempuh lintasan yang berekspansi lebih cepat daripada laju semut itu sendiri? Jawabannya sederhana, yaitu karena semut sendiri berada pada balon, maka kelajuan ekspansi berpengaruh juga pada si semut, sehingga kecepatan semut relatif terhadap titik O’ = C.v1+v2. Dalam bahasa yang sedikit berbeda, saat lintasan memanjang, bukan hanya lintasan di depan semut saja yang memanjang tetapi lintasan di belakang semut (yang sudah dilalui) juga ssemakin memanjang. Akibatnya, semut seolah-olah “terdorong” ke depan.
Dari hasil ini, jika diterapkan dalam model kosmos dimensi lima, maka kosmos dimensi empat (alam semesta kita) akan mengalami siklus Big Bang – Big Crunch berkali-kali, dengan kata lain semesta kita ini merupakan semesta tertutup.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar