Rotasi Koordinat

Misalkan vektor \(\mathbf{A}\) dinyatakan dalam koordinat \(O(X,Y)\) sebagai \(\mathbf{A} = \hat{\mathrm{e}}_i A^i = x\hat{\imath}+y\hat{\jmath}\). Jika dilakukan transformasi koordinat berupa rotasi, \(O \xrightarrow[]{\mathrm{rot}(\theta)} O'\), maka komponen vektor A akan bertransformasi menjadi \( (A^i)'=A'^j=\binom{x'}{y'}\). Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar berikut.

Gambar 1  Rotasi bidang terhadap sumbu tegak lurus.

Meskipun jalinan komponen vektor dalam kedua koordinat tersebut berbeda, namun vektor \(\mathbf{A}\) sendiri tidak berubah (inverian). dapat kita tuliskan

\begin{align} \mathbf{A} = \hat{\mathrm{e}}_i A^i = \hat{\mathrm{e}}_{j}' A'^{j} \label{invA} \end{align}

Berdasarkan Gambar 1, diperoleh jalinan

\begin{align} x'&= \overline{OB} + \overline{BC} = \overline{OB} + \overline{DE} \nonumber \\
&= x \cos \theta + y \sin \theta \label{x'} \\
y'&= \overline{AD} - \overline{AB} \nonumber \\
&= y \cos \theta - x \sin \theta \label{y'} \end{align}

Kedua persamaan di atas dapat diringkas ke dalam persamaan matriks,

\begin{align} \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta\\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \nonumber \\
A'^j &= R A^i \label{P1} \end{align}

Lantas bagaimana dengan basisnya? Bayangkan vektor satuan pada sumbu \(X\) dan \(Y\) diputar sebesar \(\theta\). Tentunya vektor satuan baru, \((\hat{\imath}',\hat{\jmath}') \) juga memenuhi transformasi

\begin{align} \left.\begin{matrix} i' & = & \hat{\imath} \cos \theta + \hat{\jmath} \sin⁡ \theta \\ j' & = & -\hat{\imath} \sin \theta + \hat{\jmath} \cos \theta \end{matrix} \, \right\} \label{P2} \end{align}

Apakah ini berarti transformasi berupa rotasi koordinat tidak memenuhi persamaan (\ref{invA})? Mari kita coba nyatakan transformasi basis di atas dalam notasi matriks.

\begin{align} \begin{pmatrix} \hat{\imath}' & \hat{\jmath}' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \nonumber \\
\mathbf{\hat{e}}_j &= R_e \, \mathbf{\hat{e}}_i \label{P3} \end{align}

Perhatikan bahwa

\begin{align} \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta\\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} = 1 \nonumber \end{align}

Ternyata operator transformasi basis adalah invers dari operator transformasi komponen vektor. Dengan demikian, diperoleh hasil yang konsisten,

\begin{align} \mathbf{A} = \hat{\mathbf{e}}_j' A'^j = (\hat{\mathbf{e}}_i R_e) (R A^i) = \hat{\mathbf{e}}_i A^i \label{P4} \end{align}

Jelas bahwa \(R_e R\) harus bernilai sama dengan 1.

Lalu bagaimana dengan rotasi dalam ruang tiga dimensi? Misalkan kita telah memiliki sembarang vektor \(\mathbf{P}=x \mathbf{\hat{\imath}}+y\mathbf{\hat{\jmath}}+z\hat{k}\) yang disajikan dalam koordinat kartesian \(K\). Kemudian, kita perlu menyatakan jalinan \(\mathbf{P}\) dalam koordinat baru \(K'\) yang memiliki orientasi yang berbeda dari \(K\). Misalkan kita nyatakan perbedaan orientasi kedua kerangka tersebut dalam selisih sudut azimut \(\phi\) dan sudut polar \(\theta\). Untuk menyelesaikan problem ini, perlu dilakukan dua kali rotasi. Pertama ialah rotasi sumbu \(X\) ke arah sumbu \(Y\) sebesar \(\phi\) untuk mendapatkan sumbu \(X^*\) dari koordinat perantara \(K^*\), kemudian kita rotasikan lagi sumbu \(X^*\) ke arah sumbu \(Z\) sebesar \(90^\circ-\theta\) untuk mendapatkan sumbu \(X'\) dari koordinat \(K'\).

Gambar 2  Rotasi kerangka dalam ruang 3 dimensi.

Pada rotasi pertama \(K \rightarrow K^*\) dengan transformasi \(K^* = R^{(1)} K\), sumbu \(X\) dan \(Y\) bertransformasi seperti pada kasus 2-dimensi sebelumnya sedangkan sumbu \(Z=Z^*\). Dengan demikian, matriks transformasinya ialah

\begin{align} R^{(1)}=\begin{pmatrix} \cos \phi & \sin \phi & 0\\ -\sin \phi & \cos \phi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \label{P5} \end{align}

Pada rotasi ke-2, \(K^*→K'\) dengan transformasi \(K'=U^{(2)} K^*\), sumbu \(X^*\) dan \(Z^*\) bertransformasi seperti kasus 2-dimensi sebelumnya, serta sumbu \(Y^*=Y'\). Mengingat \(\sin⁡(90-\theta)=\cos ⁡\theta\) dan \(\cos⁡(90-\theta)=\sin \theta\) maka matriks transformasinya ialah

\begin{align} R^{(2)}=\begin{pmatrix} \sin \theta & 0 & \cos \theta\\ 0 & 1 & 0\\ -\cos \theta & 0 & \sin \theta \end{pmatrix} \label{P6} \end{align}

Dengan demikian, transformasinya totalnya, \(K \rightarrow K'\), memenuhi

\begin{align} K' = R^{(2)} K^* = [R^{(2)} R^{(1)}] K = R K \label{P7} \end{align}

Menyulihkan persamaan (\ref{P5}) dan (\ref{P6}) ke dalam persamaan (\ref{P7}), didapatkan sajian eksplisit matriks transformasi \(K \rightarrow K'\).

\begin{align} R &= R^{(2)} R^{(1)} \nonumber \\
&=\begin{pmatrix} \sin \theta & 0 & \cos \theta\\ 0 & 1 & 0\\ -\cos \theta & 0 & \sin \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \phi & \sin \phi & 0\\ -\sin \phi & \cos \phi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \nonumber \\
&=\begin{pmatrix} \sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \theta\\ -\sin \phi & \cos \phi & 0\\ -\cos \theta \cos \phi & -\cos \theta \sin \phi & \sin \theta \end{pmatrix} \label{P8} \end{align}

Selengkapnya...

Bumi Datar: Bantahan dalam Aspek Geometri

Gerakan kampanye Bumi Datar (Flat Earth, FE) kontemporer sudah mulai berkembang pesat di Indonesia setidak-tidaknya sejak tahun 2015. Mereka mengkampanyekan paham Bumi datar melalui berbagai media, mulai dari forum dan blog web, kanal Youtube, media sosial, buku, hingga ceramah (yang kebanyakan menggunakan pendekatan keagamaan). Sebelumnya saya pernah sekali memberikan presentasi mengenai paham Bumi datar disertai bantahan terhadap model tersebut di kampus. Di luar itu, saya sangat jarang meladeni para pengikut Bumi datar di dunia nyata maupun maya. Saya pikir, hal itu buang-buang waktu serta paham tersebut perlahan-lahan akan kehilangan pamornya. Ternyata saya keliru. Mereka masih rajin mengkampanyekan teori-teori konyol mereka di sana-sini hingga saat ini. Beberapa hari lalu saya temui, mereka bahkan telah banyak mengisi forum-forum keilmuwan di internet; sesuatu yang membuat saya cukup gerah.

Sebenarnya, saya tidak menyarankan Anda untuk gampang terlibat perdebatan dengan mereka. Kemungkinan besar Anda akan buang-buang waktu semenjak sebagian besar penganut paham Bumi datar menerima paham itu sebagai bagian dari keimanan. Mereka tidak akan menggunakan nalarnya untuk mencerna dan mempelajari data dan argumen yang kita berikan. Padahal, paham Bumi datar sendiri bahkan tidak memiliki model yang jelas. Jika Anda menemukan penganut paham Bumi datar yang mengajak debat atau mencoba merekrut Anda, mintalah mereka memberikan model mereka secara rinci. Berapa ukuran Bumi, Matahari, Bulan, planet-planet, dan kubah langit berdasarkan model mereka? Berapa jarak benda-benda langit tersebut dari Bumi? Berapa periode peredaran Matahari, Bulan, dan planet-planet? Berapa massa Matahari dan berapa daya radiasinya? Jika mereka tidak mampu memberikan keterangan kuantitatif mengenai model yang mereka sendiri anut, acuhkan saja mereka.

Sejauh yang saya ketahui setelah mengakses sumber-sumber internal paham Bumi datar, mereka bahkan tidak memiliki model yang sistematis, rinci, dan konsisten. Parameter model mereka yang cukup konsisten ialah Bumi berbentuk piringan dengan diameter sekitar 40.000 km (sama dengan keliling Bumi) dan ketinggian Matahari dari permukaan Bumi sekitar 6.000 km. Angka ketinggian Matahari mereka dapatkan menggunakan metode triangulasi, tentunya dengan mengasumsikan bahwa Bumi berbentuk datar. Selain itu, mereka tidak mampu memberikan data-data lainnya. Dalam tulisan kali ini, saya akan sedikit menunjukkan ketidakkonsistenan model Bumi datar dengan realita dalam aspek geometri atau yang berkaitan dengan geometri.

Gambar 1  Posisi matahari pada saat tengah hari, senja, dan tengah malam bagi pengamat di ekuator berdasarkan model bumi datar. Pada saat tengah malam, Matahari diklaim tidak tampak karena jaraknya jauh, padahal bintang-bintang pada arah yang sama masih dapat diamati.

Mula-mula, kita gambarkan model alam semesta Bumi datar seperti pada Gambar 1. Karena kita berada di Indonesia, dipilih pengamat terletak di dekat katulistiwa. Jadi, jarak Matahari dari pengamat pada saat tengah hari (pukul 12) ialah sekitar 6.000 km, jarak Matahari pada saat fajar/senja (pukul 06/18) ialah \(\sqrt{6.000^2+(10.000\sqrt{2})^2}=15.400\) km, dan jarak Matahari pada saat tengah malam (pukul 00) ialah \(\sqrt{6.000^2+20.000^2} = 20.900\) km. Jadi, pada saat Matahari baru terbit/menjelang terbenam, jaraknya dari pengamat sekitar 2,6 kali dibandingkan saat tengah hari. Dengan demikian, diameter sudut Matahari yang teramati pada saat tengah hari mestinya 2,6 kali lebih besar dibandingkan saat fajar/senja hari! Apakah penganut paham Bumi datar mengamati bahwa ukuran Matahari berubah sedemikian dramatis setiap hari? Selanjutnya, perhatikan pula Gambar 2. Tampak jelas bahwa bagi pengamat di sekitar katulistiwa, Matahari “terbit” dari arah timur laut, berbelok menuju zenit (titik di langit tepat di atas kepala), dan kemudian berbelok lagi hingga “terbenam” di barat laut. Apakah penganut Bumi datar melihat faktanya seperti itu?

Gambar 2  Pada model Bumi datar, Matahari selalu terbit dari arah timur laut dan terbenam di arah barat laut bagi pengamat di sekitar katulistiwa.

Kekonyolan lain model Bumi datar yang telah umum menjadi guyonan orang-orang bernalar adalah sorotan cahaya Matahari dalam model tersebut tidak wajar serta Matahari semestinya tidak akan pernah terbenam bagi semua pengamat di muka Bumi. Penganut Bumi datar mencoba berkilah dengan menggunakan argumen yang tidak masuk akal, seperti efek atmosfer, elektromagnetisme, dan sebagainya. Jika kita lihat berdasarkan model Bumi datar seperti pada Gambar 1, jelaslah ketinggian Matahari pada pukul 6 dan pukul 18 waktu lokal ialah

$$ a_{06} = a_{18} = \tan^{-1}⁡ \left ( \frac{y}{x} \right ) = \tan^{-1}⁡ \left ( \frac{6.000}{10.000 \sqrt{2}} \right ) = 23^\circ $$

Sedangkan ketinggian Matahari pada saat tengah malam ialah

$$ a_{00} = \tan^{-1}⁡ \left ( \frac{6.000}{20.000} \right ) = 16,7^\circ $$

Jika kita mengamati realitas, jelaslah bahwa pada saat pukul 6 atau pukul 18, ketinggian Matahari dari horizon sekitar 0°, makanya disebut terbit dan terbenam. Apakah penganut Bumi datar melihat ketinggian Matahari sekitar 23° pada saat fajar/senja dan 17° pada saat tengah malam? Lalu mereka mengklaim efek refraksi membuat posisi Matahari yang teramati menjadi berubah. Padahal, indeks bias udara di dekat permukaan Bumi cukup kecil, sekitar 1,0003 (indeks bias vakum tepat bernilai 1), sehingga tidak akan memberikan perubahan yang sedemikian drastis. Dengan menggunakan hukum Snell yang dapat dengan mudah dibuktikan di laboratorium sekolah, pergeseran posisi tampak Matahari dapat dihitung. Pada saat ketinggian Matahari sesungguhnya \(a_0=16,7^\circ\), jarak zenitnya ialah \(\zeta_0 = 90^\circ-16,7^\circ = 73,3^\circ\). Dengan demikian, jarak zenit Matahari yang tampak ialah

$$ \zeta' = \sin^{-1}⁡ \left ( \frac {n_0 \cdot \sin⁡ \zeta_0}{n'} \right ) = \sin^{-1} \left [ \frac {\sin⁡(73,3^\circ)}{1,0003} \right ] = 73,2^\circ $$

Atau \(a'= 90^\circ - \zeta' = 16,8^\circ \). Diperoleh bahwa refraksi semestinya justru membuat ketinggian Matahari menjadi tampak lebih tinggi!

Gambar 3  Perbandingan lintasan Matahari sepanjang hari pada bola langit bagi pengamat di katulistiwa saat ekuinoks berdasarkan model Bumi bola dan Bumi datar. Lingkaran abu-abu merupakan horizon pengamat. Noktah diberikan untuk menandai posisi Matahari pada pukul 06 dan pukul 18 waktu lokal.

Penganut Bumi datar juga mengklaim bahwa meskipun Matahari tetap di atas Bumi pada malam hari, jaraknya yang semakin jauh membuah cahayanya lebih redup sehingga malam akan tampak lebih gelap. Padahal, berdasarkan hukum pancaran, intensitas radiasi berbanding terbalik dengan kuadrat jarak. Berdasarkan model Bumi datar di atas, diketahui jarak Matahari saat tengah malam sekitar 3,5 kali dari jaraknya saat tengah hari. Dengan demikian, intensitasnya semestinya berkurang menjadi seperduabelasnya. Kenyataannya, pada saat tengah malam, langit gelap total bila Bulan tidak muncul. Lagipula, bila argumen mereka itu benar, lantas mengapa kita masih dapat melihat bintang saat tengah malam pada posisi Matahari semestinya (arah utara, 17° dari horizon) atau bahkan lebih rendah? Bukankah berdasarkan model mereka, bintang-bintang juga lebih jauh dan redup dibandingkan Matahari?

Gambar 4  Sorotan cahaya Matahari pada model Bumi datar yang tidak realistis.

Model Bumi datar juga menghasilkan distorsi geodesik. Distorsi ini semakin signifikan pada belahan Bumi selatan (ukurannya semakin membesar dibandingkan ukuran sesungguhnya). Sebagai contoh, lebar benua Australiah (timur–barat) ialah sekitar 4.000 km, sedangkan jarak terpendek dari Lisbon (Portugal) ke Naukan (ujung timur Rusia) ialah sekitar 8.200 km. Padahal, pada model Bumi datar, jarak keduanya terlihat hampir sama (lihat Gambar 2).

Satu tambahan lagi, dalam model Bumi datar, setiap pengamat di Bumi, di manapun dia berada, semestinya dapat melihat seluruh rasi bintang dalam rentang satu tahun. Pada kenyataanya, hanya pengamat di ekuator saja yang dapat melihat seluruh rasi bintang. Pengamat di dekat kutub utara maupun selatan hanya dapat mengamati setengah bagian langit yang bersesuaian (belahan langit utara/selatan). Hal ini dikarenakan belahan Bumi selatan berada di balik belahan Bumi utara dan Bumi berotasi dari barat ke timur. Sebagai contoh, pengamat di pulau Jawa tidak akan pernah dapat mengamati bintang Polaris. Demikian pula pengamat di benua Eropa, Amerika Utara, dan sebagian besar Asia tidak akan dapat melihat rasi Crux dan Alpha Centauri terbit di langit. Di era globalisasi dan kemudahan akses komunikasi saat ini, sebenarnya tidaklah sulit bagi penganut Bumi datar untuk bertanya pada rekan mereka di belahan dunia lain untuk membuktikan ketidaksesuaian model Bumi datar dengan realita.

Tentunya masih banyak lagi inkonsistensi model Bumi datar dengan realita, namun saya kira penjelasan di atas sudah cukup untuk tulisan ini. Jika Anda tertarik untuk mendapatkan informasi lebih jauh, silakan kunjungi https://bumidatar.id.

Gambar 5  Rasi bintang Crux (berbentuk seperti salib di tengah gambar), Rigel Kentaurus (α Centauri, bintang paling terang pada gambar), dan Hadar (β Centauri, sebelah kanan atas Rigel Kentaurus) hanya dapat dilihat oleh pengamat pada belahan Bumi selatan dan di sekitar katulistiwa. Bintang-bintang tersebut dijadikan simbol belahan Bumi selatan seperti dalam bendera Australia dan Selandia baru.
Sumber: http://cs.astronomy.com/asy/m/starclusters/490720.aspx

Selengkapnya...

Memperbaiki Berkas MS Word yang Rusak (Corrupt)

Jika sedang sial, Anda bisa saja menemukan berkas MS Word di komputer Anda tidak dapat terbuka akibat kesalahan skrip pada berkas (corrupt). Bila berkas itu adalah berkas penting, tentu saja hal ini dapat membuat hari Anda menjadi suram. Bila dokumen hanya berisi teks saja, kemungkinan besar fitur "Open and Repair" atau membuka berkas menggunakan WordPad dan menyalinnya dapat dijadikan solusi. Namun, bila berkas Anda penuh dengan objek seperti grafik, persamaan, gambar, dan lain-lain, tentu langkah di atas tidak akan cukup untuk menyelamatkan berkas Anda. Jasa perbaikan daring yang saya temukan juga memberikan hasil yang jauh dari kata memuaskan. Jika Anda mengalami hal itu, jangan putus asa terlebih dahulu! Berikut ini saya berikan langkah-langkah untuk menyelamatkan berkas *.docx yang rusak secara manual.

Gambar 1. Laporan dokumen bermasalah.

Berkas MS Word yang berekstensi *.docx sebenarnya adalah berkas ZIP yang dapat dieksekusi oleh WINWORD.exe. Berkas ZIP itu berisi berkas XML serta objek-objek yang disisipkan dalam dokumen. Jadi, kita dapat memperbaiki kerusakan dokumen dengan mencari letak kesalahan skrip pada berkas XML kemudian menghapusnya. Pada Gambar 1, diperlihatkan laporan “unspecified error” pada baris ke-2 “document.xml”. Jadi, bersiaplah menjadi “detektif” yang bertugas mencari dan menangani “unspecified error” itu.

Sebagai langkah persiapan, Anda perlu memasang Notepad++. Anda dapat mengunduhnya melalui tautan ini (pilih jenis yang sesuai dengan spesifikasi sistem operasi Anda). Setelah Notepad++ terpasang, buka aplikasinya kemudian klik menu “Plugins” → “Plugins Admin…”. Cari dan centang “XML Tools” kemudian klik tombol “Install”. Setelah XML Tools terpasang, Anda dapat mulai memperbaiki berkas *.docx yang rusak. Untuk itu, ikuti langkah-langkah berikut.

1. Ubah ekstensi berkas *.docx menjadi *.zip. Untuk itu, Anda perlu masuk ke menu “View” Windows Explorer dan mencentang “File name extensions” kemudian mengganti “.docx” menjadi “.zip” pada nama berkas file yang rusak.
2. Buat folder baru dan ekstrak berkas ZIP tadi ke dalamnya. Anda segera akan mendapatkan sebuah berkas XML dan beberapa folder.
3. Buka folder “word” kemudian buka/sunting “document.xml” menggunakan Notepad++.
4. Anda akan melihat bahwa “document.xml” hanya terdiri dari dua baris. Baris ke-1 berisi deklarasi dan instruksi sedangkan baris ke-2 berisi semua isi dokumen.
5. Berdasarkan laporan sebelumnya, kesalahan terletak pada baris kedua yang teramat panjang itu. Untuk mengisolasi lokasi kesalahan skrip, kita perlu memecah baris ke-2 menjadi lebih banyak baris. Untuk itu, pilih menu “Plugins” → “XML Tools” → “Pretty print (XML only – with line breaks)”.
6. Simpan kembali berkas XML menggunan ikon “save” atau memencet “[Ctrl]+[S]” kemudian tutup berkas.
7. Sorot semua berkas yang sebelumnya diekstrak kemudian klik kanan, “Add to archive”, dan simpan kembali ke dalam berkas ZIP.
8. Ganti kembali ekstensi berkas ZIP yang barusan dibuat menjadi *.docx kemudian buka kembali dengan MS Word. Jangan dulu menghapus berkas-berkas sebelumnya.
9. Pada Gambar 2 diperlihatkan bahwa kesalahan kini terletak pada baris 91671. Buka kembali “document.xml” menggunakan Notepad++ dan cek baris 91671 (gunakan [Ctrl]+[G]). Selanjutnya, hapus semua teks pada bagian (section) yang diawali dari baris 91671 (perhatikan tag pembuka dan penutupnya). Contohnya dapat dilihat pada Gambar 3.

   

   Gambar 2. Posisi baris yang error setelah pemberian pemutus baris.

10. Simpan kemudian tutup berkas ”document.xml”, arsipkan kembali ke dalam ZIP, dan ubah ekstensi berkas ZIP menjadi *.docx (hapus saja berkas *.docx yang dibuat sebelumnya).
11. Buka berkas *.docx yang baru menggunakan MS Word. Jika berkas Anda telah dapat terbuka dengan sempurna, berarti pekerjaan telah selesai. Bila masih ditemukan kesalahan, catat lokasi kesalahan kemudian ulangi kembali langkah (9) – (11) hingga tidak ada lagi kesalahan yang ditemukan.

Gambar 3. Daerah yang diraster merupakan bagian (section) yang bermasalah.

Setelah berkas berhasil diselamatkan, coba dibaca kembali untuk mengetahui lokasi kerusakan yang dihapus (kemungkinan besar adalah bagian yang terakhir Anda tambahkan sebelumnya). Jangan kuatir, biasanya begian yang menyebabkan kesalahan itu hanya satu baris saja pada dokumen. Akhir kalimat, selamat bekerja dan semoga tutorial yang diberikan di atas dapat membantu Anda.

Selengkapnya...

Prinsip Fermat dan Hukum Snell

Pada suatu hari Muin berjalan-jalan ke pantai bersama kekasihnya. Saat tengah berenang, ia melihat sebuah batu berbentuk seperti tinja di dasar laut. Muin pun berbalik ke arah pantai, hendak menunjukkan batu berbentuk unik itu kepada kekasihnya yang sedang berjemur di pantai. Betapa terkejutnya ia ketika melihat seorang pria mencurigakan yang cukup keren duduk di samping kekasihnya. Pria bernama Syahrul itu kemudian terlihat menggenggam pergelangan tangan kekasih Muin, seperti hendak membawanya ke suatu tempat. Berang, Muin berniat segera menghampiri Syahrul sesegera mungkin. Ia menyadari kelajuan maksimalnya di air lebih lambat daripada kelajuan maksimalnya di darat. Jika posisi Muin mula-mula di \(A\) dan posisi kekasihnya dan Syahrul di \(B\) (lihat Gambar 1), seperti apakah lintasan yang harus ditempuh Muin agar bisa mendamprat Syahrul sesegera mungkin?

Gambar 1: Masalah Muin.

Tentunya, bila kelajuan Muin selalu tetap sepanjang perjalanan (medium tempat ia berjalan seragam), lintasan berbentuk garis lurus memberikan waktu tempuh tersingkat. Hal ini dikarenakan garis lurus memberikan jarak terpendek (geodesik) antara dua titik; bila kelajuan selalu seragam otomatis jarak terpendek memberikan waktu tempuh tersingkat. Nah, untuk gerak dalam dua medium berbeda ini, apakah garis lurus juga memberikan waktu tempuh tersingkat?

Untuk memecahkan masalah pertama yang dihadapi Muin, mari kita gambarkan ulang posisi keduanya dan batas kedua medium dalam suatu sistem koordinat. Di sini, kita asumsikan garis batas medium berbentuk garis lurus yang berimpit dengan sumbu-X. Koordinat titik \(A\) diberikan sebagai \((0,y_A)\) dan koordinat titik \(B\) ialah \((x_B,y_B)\) sebagaimana diberikan pada gambar berikut.

Gambar 2: Skema perjalanan dari A ke B dengan waktu tempuh tersingkat.

Semenjak Muin bergerak dari medium 1 menuju medium 2, maka lintasannya pastilah berpotongan dengan garis batas di suatu titik, namakan titik itu sebagai \(M\). Kita belum tahu posisi titik M pada sumbu X, jadi kita gambarkan saja secara sembarangan. Perhatikan bahwa bagian pertama lintasan (dari \(A\) ke \(M\)) seluruhnya berada pada satu medium (medium 1). Oleh karena itu, kelajuan pada potongan lintasan itu seragam. Berdasarkan teorema sebelumnya, lintasan dengan waktu tempuh terpendek dari \(A\) ke \(M\) mestilah garis lurus. Hal serupa berlaku untuk bagian kedua lintasan (dari \(M\) ke \(B\)) yang juga berbentuk garis lurus. Dengan demikian, pertanyaannya sekarang adalah di manakah posisi titik \(M\)?

Waktu tempuh dari \(A\) ke \(B\) dapat dituliskan sebagai jumlahan dari waktu tempuh dari \(A\) ke \(M\) (medium 1) dengan waktu tempuh dari \(M\) ke \(B\) (medium 2).

\begin{align} T=t_1+t_2 \label{T} \end{align}

dengan waktu tempuh pada tiap medium adalah panjang lintasan dibagi dengan kelajuannya,

\begin{align} t = \frac{s}{v} \label{t} \end{align}

Semenjak nilai dari \(y_A\), \(x_B\), dan \(y_B\) telah diketahui, waktu tempuh dari \(A\) ke \(B\) melalui \(M\) memenuhi,

\begin{align} T(x_M) = \frac{1}{v_1} \sqrt{x_M^2+y_A^2} + \frac{1}{v_1} \sqrt{(x_B-x_M )^2+y_B^2} \label{TM} \end{align}

dengan \(v_1\) dan \(v_2\) masing-masing adalah kelajuan di medium 1 dan 2. Sekarang, kita perlu mencari nilai minimal dari fungsi \(T(x_M)\). Jika Anda telah mempelajari kalkulus dasar, tentunya Anda telah mengetahui prosedur yang harus dilakukan. Dalam tulisan ini, saya akan kembali membahasnya sedikit.

Misalkan terdapat suatu fungsi \(f(x)\). Bila \(A\) adalah titik ektremum (titik balik atau titik belok) dari fungsi \(f(x)\) di \(x=a\) maka gradien garis singgung dengan \(f(x)\) di titik \(A\) pastilah nol, \(f'(a)=0\).

Gambar 3: Kurfa f(x) dengan titik minimal (lokal) di A (a, f(a)).

Secara intuitif, bila \(f(x)\) bernilai maksimum/minimum lokal di \(x=a\) maka nilai fungsi di sebelah kiri-kanan \(a\) pastilah lebih kecil/besar dari pada \(f(a)\) sehingga titik \(A\) berlaku seperti titik balik. Dengan demikian, garis singgung kurva di titik \(A\) pastilah horizontal. Karena gradien atau kemiringan garis singgung suatu kurva tidak lain adalah turunan pertama dari fungsi kurva itu maka jelaslah \(f(a)=0\).

Dengan menerapkan teorema di atas ke dalam persoalan Muin, didapatkan nilai \(x_M\) yang memberikan nilai \(T(x_M)\) minimal (atau maksimal) memenuhi,

\begin{align} \frac{dT}{dx_M} = 0\label{KT} \end{align}

Mendiferensialkan persamaan (\ref{TM}) terhadap \(x_M\), didapatkan

\begin{align} \frac{1}{v_1} \frac{1}{2} (x_M^2+y_A^2)^{-1/2} \cdot (2x_M) + \frac{1}{v_2} \frac{1}{2} \left [ (x_B-x_M)^2+y_B^2 \right ]^{-1/2} \cdot 2(x_B-x_M ) \cdot (-1) = 0 \nonumber \\
\frac{1}{v_1} \frac{x_M}{\sqrt{x_M^2+y_A^2}} - \frac{1}{v_2} \frac{x_B-x_M}{\sqrt{(x_B-x_M )^2+y_B^2}} = 0 \label{p1} \end{align}

Menguadratkan kedua ruas dan mengatur susunannya,

\begin{align} x_M^2 \left [(x_B-x_M )^2+y_B^2 \right ] = \left (\frac{v_1}{v_2}\right )^2 (x_M^2+y_A^2) (x_B-x_M )^2 \nonumber \end{align} \begin{align} x_B^2 x_M^2 + x_M^4 - 2x_B x_M^3 + y_B^2 x_M^2 = \left (\frac{v_1}{v_2}\right )^2 \left [x_B^2 x_M^2 + x_M^4 - 2x_B x_M^3 + x_B^2 y_A^2 + y_A^2 x_M^2 - 2x_B y_A^2 x_M \right ] \nonumber \end{align} \begin{align} \left (1-\frac{v_1^2}{v_2^2}\right ) x_M^4 - 2x_B \left (1-\frac{v_1^2}{v_2^2}\right ) x_M^3 + \left (x_B^2+y_B^2-\frac{v_1^2}{v_2^2} x_B^2 - \frac{v_1^2}{v_2^2} y_A^2 \right ) x_M^2 + 2 \frac{v_1^2}{v_2^2} x_B y_A^2 x_M - \frac{v_1^2}{v_2^2} x_B^2 y_A^2 = 0 \label{p2} \end{align}

Akar riil positif dari persamaan (\ref{p2}) memberikan nilai \(x_M\) untuk lintasan dengan waktu tempuh terpendek. Hmm… karena tidak ada metode universal untuk mencari akar-akar dari polinomial orde-4 secara analitik, kita serahkan saja perhitungannya kepada Muin. Barangkali ia bisa mengeceknya sendiri di WolframAlpha.

Bagaimanapun, kita dapat menyederhanakan penulisan sajian di atas dengan mengganti variabel \(x_M\) menjadi sudut normal \(\theta_1\) dan \(\theta_2\) (keduanya berkorespondensi satu-satu) untuk mendapatkan suatu jalinan menarik. Memperhatikan Gambar 2, jelas bahwa:

\begin{align} \left. \begin{matrix} \frac{x_M}{\sqrt{x_M^2+y_A^2}} & = \sin \theta_1\\ \frac{x_B-x_M}{\sqrt{(x_B-x_M)^2+y_B^2}} & = \sin \theta_2 \end{matrix} \right \} \label{theta} \end{align}

Penyulihan nilai-nilai pada persamaan (\ref{theta}) ke dalam persamamaan (\ref{p1}) memberikan jalinan,

\begin{align} \frac{\sin \theta_1}{v_1} = \frac{\sin \theta_2}{v_2} \label{thetav} \end{align}

Semenjak \(0 \leq \theta_1 \leq 90^\circ\), berdasarkan persamaan (\ref{thetav}), jika \(v_1 < v_2\) maka \(\theta_1 < \theta_2\).

Hukum Snell

Hal serupa dengan permasalahan Muin di atas juga berlaku pada perjalanan cahaya dalam medium. Berdasarkan prinsip Fermat^(*), lintasan yang ditempuh antara dua titik oleh berkas cahaya adalah lintasan dengan waktu tempuh tersingkat. Dengan demikian, lintasan yang ditempuh cahaya dalam perambatan melalui dua medium juga memenuhi persamaan (\ref{thetav}). Dengan mendefinisikan indeks bias medium,

\begin{align} n \equiv \frac{c}{v} \label{n} \end{align}

maka persamaan (\ref{thetav}) dapat ditulis ulang sebagai,

\begin{align} n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_1 \label{Snell} \end{align}

Fenomena pembelokan cahaya ini dikenal sebagai pembiasan (refraksi). Adapun persamaan (\ref{Snell}) tidak lain ialah hukum Snell yang telah Anda kenal sejak di bangku SMP.

Seringkali terdapat fraksi berkas cahaya yang memantul dari permukaan batas. Dalam hal ini, berkas cahaya itu hanya merambat dalam satu macam medium saja sehingga kelajuaannya tetap konstan. Dengan demikian, untuk kasus pemantulan sinar (refleksi), persamaan (\ref{Snell}) tereduksi menjadi

\begin{align} \theta_1 = \theta_2\label{refl} \end{align}

dengan \(\theta_1\) adalah sudut datang cahaya mula-mula dan \(\theta_2\) tidak lain adalah sudut pantul.

*Prinsip Fermat tidak lain adalah prinsip aksi terkecil dengan pemilihan aksi \(S \propto T\).

Selengkapnya...

Ulat dan Kupu-kupu

Belakangan ini, media (utamanya media sosial) semakin ramai dengan berbagai kritik, makian, hingga fitnah. Well, tidak ada pembenaran bagi fitnah dan berita hoax, tapi memaki-maki itu tidak bisa disalahkan selama didasarkan pada data faktual dan dinalar secara rasional. Pemerintah memang inkompeten, tidak amanah, zalim. Parlemen bangsatnya tidak perlu dipertanyakan lagi. Hati mereka tidak berpihak pada rakyat, tidak membuat hidup kita menjadi lebih nyaman dan sejahtera. Oposisi juga sama brengseknya, segala aksinya didasarkan pada kepentingan golongannya sendiri. Tapi, tunggu dulu.... Mereka asalnya dari mana? Apakah mereka datang dari luar angkasa, menumpang asteroid lalu mendarat di Republik ini? Ataukah kita mengimpornya dari pasar loak di negara antah-berantah? Bagi yang lupa, ini jawabannya: mereka adalah rakyat Indonesia juga, dipilih oleh rakyat sendiri secara demokratis.

Ilustrasi ulat.
Kredit: Didier Descouens - Own work, CC BY-SA 4.0,
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=10996793

Tiap orang tentunya memiliki kepribadian dan karakter sendiri-sendiri, namun umumnya terdapat kesamaan karakter pada orang-orang yang hidup di lingkungan berdekatan. Hal ini dikarenakan pola pikir dan sikap seseorang sangat dipengaruhi oleh budaya masyarakat di mana dia hidup dan dibesarkan. Kesamaan karakter yang umum ini masih akan tampak ketika kita memperluas lingkup masyarakat yang ditinjau, meskipun jumlah kesamaan itu akan semakin sedikit. Kita bisa melihat karakter masyarakat dalam etnis hingga negara tertentu. Sekali lagi, yang kita bahas adalah kualitas umum yang dominan dalam distribusi karena tentu saja terdapat variasi hingga anomali.

Tentu saja kita berhak, bisa, atau bahkan selayaknya mengkritik pemerintah atau anggota dewan, yang mana mengemban amanat dari rakyat. Tapi, acapkali orang yang mengkritik terlalu asyik hingga lupa bahwa kualitas pejabat negara adalah presentasi dari kualitas rakyat negara itu. Ya, kualitas kita, rakyat biasa, dan pemerintah itu sebelas-dua belas. Apalagi di negeri yang masih banyak rakyatnya memilih pemimpin atas dasar kesamaan jenis di atas kualitas dan kompetensi. Rata-rata kita memiliki pola pikir dan sikap seperti ini, ya rata-rata mereka juga begitu. Bedanya, rakyat biasa hidup di kolam kecil, makannya sedikit. Mereka yang hidup di kolam besar ya makannya banyak juga. Mereka semata-mata memiliki lebih banyak jalan, fasilitas dan keleluasaan dalam melakukan gaya hidupnya.

Memangnya, bagaimana sih karakter rata-rata orang Indonesia? Kalau pengamatan saya tidak salah, kita cenderung malas dan sering datang telat jika tidak ada paksaan. Saat sekolah kadangkala bolos, tidur di kelas, menggosip sambil berbisik dengan teman, atau main game sembunyi-sembunyi. Banyak dari kita malas mengerjakan pekerjaan rumah sebagaimana mestinya. Begitu hari p.r. dikumpulkan, pagi harinya barulah kita sibuk mencari satu-dua teman rajin yang telah menyelesaikan pekerjaan rumahnya untuk disalin. Kita baru bersemangat saat lonceng tanda istirahat berbunyi atau dosen tidak masuk kelas. Jika kita beruntung jadi pejabat pemerintah atau anggota parlemen, kita membawa kebiasaan kerja malas-malasan pula. Masuk kantor telat, suka bolos atau tidur saat rapat, kerja ala kadarnya. Begitu kunjungan kerja ke luar negeri baru bersemangat.

Kita tidak jujur, suka berbuat curang. Saat masih sekolah, kita suka mencontek saat ujian, menitip absen pada teman. Kita kurang amanah. Saat meminjam uang atau barang dari teman, enggan mengembalikan kalau tidak ditagih. Kadangkala barang yang kita pinjam dipinjamkan lagi ke orang lain. Kalau kita beruntung jadi pejabat, kebiasaan ini bisa diterapkan ketika mengurus keuangan negara. Mark-up anggaran, korupsi, kolusi, ingkar dari janji kampanye. Hei, kebanyakan kita juga hobi menyuap. Siapa yang lebih suka ditilang daripada mengambil jalan damai ketika melanggar peraturan lalu-lintas? Kalau ada uang lebih, beri “uang rokok” pada pegawai kantor kecamatan agar berkas-berkas cepat selesai? Sayang sekali kita belum berkesempatan menjadi pengusaha besar yang bisa terlibat dalam proyek-proyek pemerintah. Kalau nanti jadi, hobi kita bisa disalurkan untuk menyuap pejabat.

Kita tidak peduli lingkungan. Sebagian besar karena kita jauh lebih mementingkan kemudahan jangka pendek daripada konsekuensi jangka panjang. Berapa banyak perokok dari rakyat jelata yang selalu mencari tempat sampah untuk membuang puntung rokoknya? Siapa yang anti buang sampah sembarangan? Pernah lihat ruang kelasmu bebas dari tisu dan kemasan makanan/minuman setelah kuliah selesai? Kita terbiasa buang sampah di jalan, pelataran ruang publik, hingga sungai. Setelah banjir baru menyesal, tapi tiga hari setelah banjir surut penyesalannya dilupakan kembali. Nanti kalau sudah jadi pejabat, bakat tidak mempedulikan lingkungan ini dilanjutkan. Proyek yang merusak lingkungan tanpa manfaat jangka panjang yang signifikan lebih besar diizinkan. Yang penting ada keuntungan bagi kita saat ini, konsekuensinya pada orang lain dan generasi masa depan ya urusan belakangan.

Kita tidak taat aturan. Sewaktu masih mahasiswa, aturan kampus dilanggar. Properti kampus dicorat-coret dan dirusak. Di jalan aturan lalu lintas dilanggar. Naik motor melawan arus hanya untuk memotong perjalanan beberapa puluh meter. Belum lagi trotoar pun dilintasi atau dijadikan tempat parkir. Lampu merah diterobos kalau jalan di depan sepi. Dinding terminal, prasarana publik atau prasaran kampus dijadikan objek vandalisme. Bahu jalan hingga sebagian jalan raya dan trotoar dijadikan lapak jualan.

Gila kuasa dan penghormatan? O..ho..ho.... Siapa yang tak senang menyuruh-nyuruh junior ketika di kampus? Memaksa mereka melakukan hal konyol hingga absurd? Hm, kita baru saja mendapat status sebagai mahasiswa senior, saatnya memanfaatkan status ini semaksimal mungkin. Tunggu..., jangan berpikiran buruk dulu. Kita melakukan hal itu pada adik-adik (gratis, tanpa wewenang dan tanpa diminta, barangkali dengan sedikit memaksa) untuk melatih mental mereka, karena kita peduli. Dengan begitu mental mereka jadi lebih kuat sehingga tahun-tahun depan telah memiliki keterampilan untuk merundung yang lebih lemah juga. Nah! Nanti kalau sudah jadi pejabat, kita juga harus melatih mental masyarakat kecil.

Hal-hal yang saya tulis di atas adalah suatu keumuman lho. Belum termasuk hal-hal yang lumayan jarang atau langka seperti pencurian bagian dari sarana umum untuk dijual kiloan. Belum termasuk sentimen pada kelompok suku, etnis, atau umat agama lain. Belum termasuk kebiasaan menyebar fitnah atas dasar kebencian (Well, meskipun belakangan ini semakin kerap). Belum termasuk aksi perundungan atau kekerasan atas motif agama dan politik.

Tentu saja opini ini sekedar opini receh dari saya saja. Tulisan ini sama sekali tidak dimaksudkan untuk mematikan semangat kepedulian kita kepada masyarakat, bangsa dan negara melalui kritik kepada pihak yang berwenang dan bertanggung jawab. Ini cuma ungkapan kejenuhan dengan yang sudah-sudah. Barangkali juga suatu sudut pandang pesimis melihat kubu-kubu yang mempromosikan balon pemimpin yang katanya sanggup merubah masa depan negeri ini menjadi jauh lebih baik. Pemerintah, parlemen, dan tokoh-tokoh nasional itu pantas menerima kritik hingga makian kita, meskipun sebagian besar dari mereka tak suka dikritik oleh yang lebih muda sebagaimana sebagian besar dari kita juga demikian. Jadi, tidak perlu pura-pura kaget. Kita sudah punya gambaran mengenai pemimpin baru kita nanti. Karena mereka adalah kupu-kupu. Kita ulatnya, dari spesies yang sama.

Selengkapnya...

Common Sense dalam Hal-hal yang Tidak Begitu Umum

Sepekan yang lalu muncul isu mengenai munculnya ikan jenis pirarucu (Arapaima gigas) di aliran Sungai Brantas di Sidoarjo dan Surabaya. Di media, diberitakan ikan ini ditangkap warga bersama suatu lembaga swadaya untuk kemudian dimusnahkan. Membaca komentar pengunjung adalah salah satu hal menarik yang hanya bisa ditawarkan oleh media daring. Beberapa pengunjung menyayangkan ikan yang katanya mahal dan langka itu dibunuh. Ada menyarankan dilepaskan kembali, ada yang menyarankan dipindahkan, ada yang menyarankan dijual, dan sebagainya.

Ikan pirarucu yang ditangkap warga di Surabaya.
Sumber: news.detik.com

Dengan hanya mengandalkan common sense, tanpa pengetahuan teknis sama sekali mengenai topik terkait, barangkali saya juga akan berpikiran serupa. “Ngapain ikannya dibantai?” “Kan sayang?” “Kan kasihan? Nggak dimanfaatkan juga”. Syukurlah saya nyaris selalu melek saat jam pelajaran biologi saat masih duduk di sekolah menengah dulu. Saya masih mengingat topik mengenai rumitnya jalinan dalam suatu ekosistem dan bagaimana spesies invasif dapat merusak keseimbangan ekosistem. Di buku saya dulu ada kolom “Tahukah Kamu?” yang memberikan informasi mengenai invasi bintang laut Pisaster yang merusak koral. Ya, memperkenalkan suatu spesies baru ke dalam suatu lingkungan dapat membawa banyak masalah. Spesies baru ini akan menciptakan jalinan biologis baru di ekosistem barunya seperti predasi, kompetisi, dan penyebaran parasit atau penyakit. Ketika suatu spesies asing dengan kondisi habitat asli yang lebih keras dibawa ke habitat baru yang lebih nyaman, mereka akan dengan mudah menyaingi spesies asli dalam memperoleh makanan. Spesies pendatang juga dapat membawa parasit dari kampung halamannya. Spesies ini sendiri telah memiliki sistem kekebalan hingga tingkat tertentu akibat telah lama hidup bersama sang parasit. Namun, ketika parasit ini menyebar di lingkungan baru, spesies-spesies di daerah itu akan sangat rentan oleh serangan penyakit yang belum pernah mereka kenal sebelumnya.

Hal semacam ini telah lama dikenal oleh ahli biologi sehingga banyak negara (termasuk Indonesia) telah menerapkan aturan tertentu mengenai pembatasan masuknya spesies asing (fauna maupun flora) ke dalam wilayahnya. Dari sudut pandang ilmu biologi dan hukum positif, pemberantasan predator asing yang mengancam ekosistem lokal dapat dibenarkan. Dalam kasus ini, yang salah adalah pehobi yang gemar memelihara dan mengoleksi spesies eksotis namun enggan mencari literatur yang cukup dan mempelajari hal-hal terkait aturan dalam memelihara spesies yang ingin dipeliharanya. Ketika sudah bosan memelihara atau ukuran peliharaannya sudah terlampau besar untuk diurus, satwa itu dilepasliarkan saja. Atau barangkali hewan itu tidak dipelihara dalam kandang yang sesuai sehingga memungkinkan mereka lepas ke alam.

Maksud saya membahas berita ini (di antara banyaknya berita lain yang lebih penting) semata-mata untuk menunjukkan bahwa kita tidak dapat mengandalkan common sense dalam hal-hal dengan jalinan teknis yang tidak kita pahami dengan baik. Kadangkala, kesimpulan yang tampaknya begitu wajar ternyata keliru karena esensi dari perkara itu luput dari perhitungan kita.

Sebagai contoh pribadi, saya dulu terbiasa menautkan berkas (seperti gambar) di blog saya langsung dengan menyematkan url aslinya dengan niat menghargai pemiliknya yang sah. Anggapan saya adalah, selain mengakui hak kepemilikan berkas, hal ini juga menjaga riwayat berkas asli dapat ditelusuri dengan mudah. Ternyata hal ini keliru. Aktivitas yang disebut sebagai hotlinking ini berpotensi merugikan pemilik berkas asli karena kita mencuri bandwith mereka. Ketika seseorang mengakses halaman blog saya yang memuat berkas yang di-hotlink, peramban mereka akan memanggil berkas terlampir dari situs host-nya. Jika aksi ini dilakukan banyak orang secara terus-menerus, bisa dibayangkan banyaknya bandwith yang terpakai. Pengunggah berkaslah yang harus membayarnya (jika ia memiliki akun berbayar), bahkan meski mereka tidak mendapatkan keuntungan apa-apa dari lalu lintas jaringan ini (situsnya sendiri tidak dikunjungi). Untuk itulah sebaiknya kita tidak sembarangan melakukan hotlinking, kecuali pemilik asli berkas mempersilakannya atau bahkan memberikan fitur pemuatan khusus untuk keperluan itu (seperti pada Scribd atau Youtube). Jika berkas yang ingin Anda gunakan memiliki atribut bebas-pakai, unggahlah kembali di akun Anda sendiri. Jika hak cipta berkasnya dilindungi, ya jangan diunggah lagi. Arahkan saja pembaca Anda ke situs sumber.

Saya juga pernah berdebat mengenai teori relativitas khusus dengan seorang pengajar yang mengklaim TRK keliru, postulatnya tidak valid dan memberikan konsekuensi yang inkonsisten berdasarkan common sense. Ia menyodorkan paradoks kembar sebagai argumentasi. Sebenarnya paradoks kembar tidak lagi bersifat paradoks jika dianalisa secara teliti. Dua orang saudara kembar A dan B; si A yang diam di Bumi dan si B yang dibawa ke dalam perjalanan antariksa ke suatu sistem bintang X pulang balik tidak memiliki kerangka yang simetri. Betul bahwa ketika B telah bergerak dengan kelajuan konstan, kerangka keduanya sama-sama inersial dan masing-masing dapat mengklaim saudaranyalah yang bergerak. Namun, ketika B berangkat dan berbalik arah kembali ke Bumi, ia harus melakukan percepatan untuk mengubah kecepatannya dari \(0\) ke \(v\) dan dari \(v\) ke \(–v\) berturut-turut. Hal ini menyebabkan kerangka si B tidak inersial dalam keseluruhan durasi perjalanan. Dengan memperhitungkan transformasi kerangka B pada kedua momen ini, perhitungan berdasarkan kerangka A maupun B akan konsisten: B akan lebih muda daripada A. Hal inilah yang tidak dipahami (dan tidak mau dipahami) oleh orang pintar yang berdebat dengan saya tadi.

Yah, membangun pendapat awal atau praduga atas suatu masalah atau isu yang kita dengar adalah hal yang wajar (bahkan seringkali perlu). Namun, dugaan haruslah diperlakukan sebagai dugaan. Selalu uji dan pertanyakan pendapat awal kita. Kita harus menginsafi bahwa common sense kita terkadang tidak cukup dalam memahami hal-hal kompleks yang sarat akan hal-hal teknis. Sebagai seorang intelek, sebaiknya kita menyatakan pendapat awal (tentang hal-hal yang bukan bidang kita) kita secara rendah hati dan bertanya pada pakar di bidangnya atau mendiskusikannya dengan orang lain. Dengan begitu, kita membuka pintu untuk mendapatkan pengetahuan baru yang berharga. Menyatakan pandangan kita atas suatu hal dengan penuh percaya diri tanpa dilandasi dengan pemahaman mengenai topik terkait hanya akan membuat kita terlihat bodoh. Anda dan saya tentu tidak mau terlihat bodoh.

Selengkapnya...

Tutorial MathJax Untuk Blogger

Untuk menuliskan persamaan Matematika dalam website atau blog Anda, Anda dapat menggunakan bantuan MathJax. Mathjax bekerja dengan menerjemahkan input berbasis \(\TeX{}\) menjadi Javascript yang kemudian ditampilkan oleh peramban Anda sebagai persamaan matematika yang apik. Pada postingan kali ini, saya akan sedikit membahas cara mengintegrasikan MathJax dengan blog berplatform Blogger.

Mula-mula, Anda perlu memasang konfigurasi MathJax ke dalam template blog Anda. Untuk mengedit template, klik menu "Tema" pada dashboard akun blogger Anda, kemudian plih "Edit HTML" pada menu drop down. Selanjutnya, salin dan tempel kode berikut ini setelah tag <head> dan sebelum segmen "skin" (sederhananya, tempel saja tepat di bawah tag <head>).

<script src='http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js' type='text/javascript'> MathJax.Hub.Config({ HTML: ["input/TeX","output/HTML-CSS"], TeX: { extensions: ["AMSmath.js","AMSsymbols.js"], equationNumbers: { autoNumber: "AMS" } }, extensions: ["tex2jax.js"], jax: ["input/TeX","output/HTML-CSS"], tex2jax: { inlineMath: [ ["\\(","\\)"] ], displayMath: [ ['$$','$$'], ["\\[","\\]"] ], processEscapes: true }, "HTML-CSS": { availableFonts: ["TeX"], linebreaks: { automatic: true } } }); </script>

Setelah itu, klik "Simpan Tema". Sekarang, Anda telah dapat menampilkan persamaan matematika di blog Anda. Untuk menuliskan kode persamaan matematika, selalu lakukan dalam mode edit "HTML". Anjuran dari saya, kalau Anda selalu menulis dalam mode "Compose", mulailah membiasakan diri untuk menulis dalam mode "HTML" untuk ragam tulisan apapun. Tulisan Anda akan tampak lebih rapi dan konsisten.

Untuk menulis persamaan matematika dalam baris kalimat, Anda harus menuliskan kode \(\TeX{}\) persamaan diantara tanda \( dan \). Semisal \(\nabla^2 \Phi = 4 \pi G \rho\) akan ditampilkan sebagai \(\nabla^2 \Phi = 4 \pi G \rho\). Adapun untuk menuliskan persamaan dalam baris khusus, tuliskan kode persamaan Anda di antara tag $$ dan $$. Berikut ini contohnya.

$$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$$

yang akan ditampilkan menjadi:

$$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$$

Untuk menuliskan persamaan dengan fitur yang lebih lengkap, gunakan kode seperti berikut.

\begin{align} F_{12} = -F_{21} = \frac{G m_1 m_2}{r^2} \label{F} \end{align}

akan ditampilkan sebagai,

\begin{align} F_{12} = -F_{21} = \frac{G m_1 m_2}{r^2} \label{F1} \end{align}

Ingat bahwa untuk menulis subskrip atau superskrip dengan lebih dari satu karakter, Anda harus menuliskannya dalam kurung kurawal seperti "U_{rad}" atau "T^{16}". Dengan menggunakan label, Anda dapat memberikan nomor referensi yang dapat ditautkan pada persamaan Anda semisal (\ref{F1}). Untuk melakukannya, tuliskan (\ref{...}) dan ganti "..." menjadi label dari persamaan yang dimaksud. Perhatikan agar tidak memberikan label yang identik untuk dua atau lebih persamaan. Bila Anda tidak ingin memberikan nomor referensi pada persamaan, ganti elemen (\label{...}) dengan (\nonumber) tepat setelah persamaan. Bila ingin menuliskan set persamaan yang terdiri atas dua baris atau lebih, gunakan \\<br> untuk membuat baris baru. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.

\begin{align} \int_{0}^{V_s} P \: dV &= \int_{0}^{\mathcal{N}} \frac{\rho kT}{nm} \: dN = \mathcal{N} kT \nonumber \\<br> &= \frac{2}{3} U_{\mathrm{in}} \label{p5} \end{align}
Hasilnya,
\begin{align} \int_{0}^{V_s} P \: dV &= \int_{0}^{\mathcal{N}} \frac{\rho kT}{nm} \: dN = \mathcal{N} kT \nonumber \\
&= \frac{2}{3} U_{\mathrm{in}} \label{p5} \end{align}

Pada contoh di atas, gunakan "&=" alih-alih "=" untuk membuat tanda "=" pada setiap baris sejajar. Kode "\mathcal{}" digunakan untuk menuliskan huruf bergaya/kaligrafi (script) sedangkan kode "\mathrm{}" digunakan untuk menuliskan huruf tegak. Beberapa variasi stye lainnya diberikan dalam tabel berikut.

Fungsi	Sintaks	Tampilan
math bold	\(\mathbf{A}\)	\(\mathbf{A}\)
math blackboard	\(\mathbb{Z}\)	\(\mathbb{Z}\)
math fraktur	\(\mathfrak{R}\)	\(\mathfrak{R}\)
vector	\(\vec{F}\)	\(\vec{F}\)
hat	\(\hat{r}\)	\(\hat{r}\)
overline	\(\overline{PQ}\)	\(\overline{PQ}\)
tilde	\(\tilde{x}\)	\(\tilde{x}\)
dot	\(\dot{x}\)	\(\dot{x}\)
double dot	\(\ddot{x}\)	\(\ddot{x}\)

Jika Anda masih belum akrab dengan menuliskan persamaan matematika dalam format \(\TeX{}\), Anda dapat mempelajarinya dengan berlatih di https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php. Di sana, Anda dapat menulis persamaan matematika dengan alat UI dan melihat sintaks Latex untuk persamaan yang Anda tulis. Sebenarnya, equation pada MS Word juga mendukung format penulisan serupa dan langsung diterjemahkan setelah Anda memencet spasi. Untuk kemudahan, beberapa sintaks yang sering digunakan saya cantumkan dalam spoiler di bawah ini.

Contoh Sintaks:

Tanda Kurung dan Matriks

Sintaks	Tampilan
\(\left ( \frac{A}{B} \right )\)	\(\left ( \frac{A}{B} \right )\)
\(\left [ \frac{A}{B} \right ]\)	\(\left [ \frac{A}{B} \right ]\)
\(\left \{ \frac{A}{B} \right \}\)	\(\left \{ \frac{A}{B} \right \}\)
\(\left | \frac{A}{B} \right |\)	\(\left | \frac{A}{B} \right |\)
\(\left \| \frac{A}{B} \right \|\)	\(\left \| \frac{A}{B} \right \|\)
\(\left [ 0, \infty \right )\)	\(\left [ 0, \infty \right )\)
\(\left. \frac{A}{B} \right |\)	\(\left. \frac{A}{B} \right |\)
\(\left \langle \Psi | \Psi \right \rangle\)	\(\left \langle \Psi | \Psi \right \rangle\)
$$ A=\begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{pmatrix} $$	$$ A=\begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{pmatrix} $$
$$ x=\left\{\begin{matrix} 1 & ;\: i=j\\ 0 & ;\: i \neq j \end{matrix}\right. $$	$$ x=\left\{\begin{matrix} 1 & ;\: i=j\\ 0 & ;\: i \neq j \end{matrix}\right. $$

Untuk matriks dalam kurung siku, ganti tag "{pmatrix}" menjadi "{bmatrix}"; untuk matriks dalam kurung kurawal ganti menjadi "{Bmatrix}"; untuk matriks dalam kurung mutlak ganti menjadi "{vmatrix}"; dan untuk matriks dalam kurung mutlak ganda menjadi "{Vmatrix}".

Karakter Khusus

Sintaks	Tampilan	Sintaks	Tampilan	Sintaks	Tampilan
\(\: \)	\(\: \)	\(\rightarrow\)	\(\rightarrow\)	\(\Rightarrow\)	\(\Rightarrow\)
\(\longrightarrow\)	\(\longrightarrow\)	\(^\circ\)	\(^\circ\)	\(\times\)	\(\times\)
\(\bullet\)	\(\bullet\)	\(\bigtriangleup\)	\(\bigtriangleup\)	\(\cdot\)	\(\cdot\)
\(\cdots\)	\(\cdots\)	\(\pm\)	\(\pm\)	\(\mp\)	\(\mp\)
\(\angle\)	\(\angle\)	\(\perp\)	\(\perp\)	\(\parallel\)	\(\parallel\)
\(\approx\)	\(\approx\)	\(\equiv\)	\(\equiv\)	\(\neq\)	\(\neq\)
\(\leq\)	\(\leq\)	\(\geq\)	\(\geq\)	\(\exists\)	\(\exists\)
\(\forall\)	\(\forall\)	\(\cap\)	\(\cap\)	\(\cup\)	\(\cup\)
\(\in\)	\(\in\)	\(\varnothing\)	\(\varnothing\)	\(\partial\)	\(\partial\)
\(\nabla\)	\(\nabla\)	\(\infty\)	\(\infty\)	\(\sum_{}^{}\)	\(\sum_{}^{}\)
\(\prod_{}^{}\)	\(\prod_{}^{}\)	\(\int_{}^{}\)	\(\int_{}^{}\)	\(\lim_{x \to a}\)	\(\lim_{x \to a}\)

Selanjutnya, jika Anda telah selesai menulis dan mengirim postingan, ceklah tampilan blog Anda melalui peramban pada perangkat desktop dan seluler. Bila persamaan matematikanya tidak muncul pada perangkat seluler, masuk ke pengaturan tema Blogger. Pilih tema seluler "Khusus" dan simpan pengaturan. Anda bisa juga menonaktifkan tema seluler sehingga tampilan blog Anda di perangkat seluler tetap sama seperti pada perangkat desktop.

Referensi:
https://www.mathjax.org/
http://holdenweb.blogspot.com/2011/11/blogging-mathematics.html
http://irrep.blogspot.com/2011/07/mathjax-in-blogger-ii.html

Selengkapnya...

Standar Busana dan Potensi Serangan Seksual

Tulisan ini saya buat berdasarkan diskusi daring dengan beberapa kenalan mengenai hijab bagi wanita beberapa waktu lalu. Pembicaraan kami dimulai dari argumen kekecewaan kenalan beliau atas larangan berhijab bagi wanita di beberapa perusahaan/instansi yang dulu pernah menjadi topik hangat dan kemudian berlanjut ke berbagai hal yang berkaitan.

Saya, sebagai seorang humanis, selalu mendukung tiap orang untuk melakukan sesuatu untuk dirinya sendiri berdasarkan selera atau preferensinya (dengan latar ideologi atau apa pun) selama tidak melanggar hak atau berpotensi merugikan orang lain. Jadi, pada dasarnya saya sependapat dengan kenalan saya itu. Ia pun membahas mengenai keuntungan wanita mengenakan hijab untuk menghindari perbuatan tidak diinginkan dari pria mesum. Hal ini menarik saya untuk menggalinya lebih jauh.

Ilustrasi pelecehan seksual

Di lingkungan saya sekarang ini (dan saya rasa, kurang lebih sama dengan rata-rata masyarakat di negeri ini), umumnya standar berpakaian wajar bagi wanita di ruang publik ialah bawahan setidaknya sampai ke lutut dan atasan menutup perut, dada dan pangkal lengan. Karena kelaziman ini, umumnya pria tidak berpikiran tidak-tidak jika melihat wanita dengan pakaian semacam itu (tentu bisa jadi berbeda jika ada gerakan sensual atau semacamnya, tapi kita membatasi pembahasan ini dari aspek busana saja). Tentunya, pasti ada pria mesum yang tetap saja terangsang jika melihat wanita dengan pakaian yang masih tergolong wajar semacam itu (apalagi bila wanita itu cantik), dan kalau moralitasnya hanya sebesar spora mungkin ia terpicu untuk melakukan tindakan yang tidak terpuji.

Di sisi lain, meskipun kelaziman busana wanita seperti yang disebutkan di atas, tidak sedikit pula wanita yang berbusana lebih minim daripada itu. Dalam kasus ini, pria yang tidak terhitung mesum pun bisa berpikiran kotor bila melihatnya. Oleh karenanya, berbusana sopan dan wajar dapat menghindarkan wanita dari potensi serangan “binatang buas”.

Sekarang mari kita tinjau daerah lain, dengan standar kewajaran berbeda. Di Bali, Sulut dan Papua misalnya, standar busana wajar bagi wanita tidak seketat itu. Oleh karenanya, pria papua umumnya tidak merasakan dorongan khusus jika melihat wanita berbusana yang terhitung superminim bagi kita. Mereka merasa biasa-biasa saja. Dari sini kita bisa melihat bahwa faktor yang dapat memicu dorongan seksual pada pria (saya sebut faktor S) bergantung pada kondisi sehari-hari lingkungan mereka.

Tentunya, dengan memakai busana yang lebih tertutup daripada standar wajar (seperti mengenakan hijab) secara signifikan dapat mereduksi potensi wanita mendapatkan serangan seksual. Lagi pula, katanya, daripada laki-laki repot-repot berlatih mengendalikan nafsunya, lebih baik wanita yang mencegah dengan membungkus dirinya. Hmpff….

Selanjutnya muncul pertanyaan, apa yang terjadi ketika berhijab mulai menjadi kelaziman di suatu lingkungan? Jawaban saya adalah, standar faktor S pun bergeser menyesuaikan. Jika dulu pria normal tidak berpikiran negatif ketika melihat betis wanita (ceteris paribus), kini menjadi mulai berpikiran negatif semenjak semakin jarang ia bisa melihat betis wanita. Ini bukan hal yang di luar dugaan. Di lingkungan saya tinggal, mengenakan hijab tampaknya tidak menghasilkan faktor repulsif bagi birahi kebanyakan laki-laki. Eksterimnya, cukup banyak orang yang saya ketahui yang justru memiliki semacam fetish pada wanita berhijab. Kalau Anda pernah tersesat (ataukah mampir secara berkala) ke situs-situs web dengan konten dewasa, Anda mungkin menemukan member atau utas khusus “hijab lovers” di sana.

Pada akhirnya, saya memperoleh kesimpulan atas pernyataan kenalan saya. Wajar saja seseorang mengenakan hijab semata-mata dengan alasan karena itu perintah agamanya. Hanya saja, kalau Anda beranggapan mengenakan hijab bisa secara signifikan menghindarkan Anda dari serangan seksual, itu hanya berlaku selama sebagian besar wanita di lingkungan Anda tidak mengenakannya. Mohon tidak menganggap tulisan ini berupaya mendemoralisasi wanita yang aktif mengenakan hijab, niqab, dan sejenisnya. Tulisan ini semata-mata mengkritik anggapan dan pandangan pria bejat serta pria (bahkan wanita) yang terlampau suci yang justru menyalahkan wanita yang menjadi korban serangan seksual karena memiliki preferensi berbusana yang berbeda dari mereka. Entah sejauh apa wanita menutup dirinya, pola pikir laki-laki akan beradaptasi dengan lingkungannya. Serangan seksual terhadap wanita tidak dapat dihentikan kecuali semua pria berlatih meningkatkan kualitas moralnya dan berhenti menyalahkan wanita karena memancing nafsu mereka. Seseorang membangun rumah mewah bukan agar pencuri lebih tertarik untuk menyatroninya, kecuali si empunya rumah sendiri secara eksplisit menyatakan undangan atau tantangannya. Tentu saja, sebagaimana Anda, saya berharap tidak ada hak-hak orang yang terampas akibat nafsu orang lain.

Selengkapnya...

Teori, Hukum, dan Hipotesa

Teori evolusi? Teori relativitas umum? Ah, itukan cuma teori! Pernah dengar ungkapan seperti itu dari seorang “pakar” yang berbicara tentang sains? Ya, katanya teori itu belum tentu benar; kalau sudah pasti benar mestinya disebut hukum. Pemahaman saya dulu pun juga seperti itu, karena guru saya mengajarkan demikian. Sebenarnya, pemahaman ini keliru. Tulisan ini adalah upaya saya untuk meluruskan miskonsepsi ini.

Penyebab utama kebingungan ini adalah dalam dunia ilmiah, teori memiliki pengertian yang agak berbeda dari pengertian umum yang digunakan sehari-hari. Berikut ini definisi teori menurut KBBI.

1. (n) pendapat yang didasarkan pada penelitian dan penemuan, didukung oleh data dan argumentasi
2. (n) penyelidikan eksperimental yang mampu menghasilkan fakta berdasarkan ilmu pasti, logika, metodologi, argumentasi: -- tentang kejadian bumi; -- tentang pembentukan negara
3. (n) asas dan hukum umum yang menjadi dasar suatu kesenian atau ilmu pengetahuan: -- mengendarai mobil; -- karang-mengarang; -- hitung dagang
4. (n) pendapat, cara, dan aturan untuk melakukan sesuatu: --nya memang mudah, tetapi praktiknya sukar

Definisi (1) dan (2) merujuk pada definisi teori ilmiah sedangkan definisi (4) adalah definisi teori secara umum. Di sini, kita akan bahas satu per satu dari hukum alam, hipotesa, teori ilmiah, dan level pembuktian suatu teori ilmiah.

Hukum Alam

Hukum alam adalah suatu pernyataan yang memberikan deskripsi dan jalinan objek atau peristiwa di alam didasarkan pada observasi atau eksperimen yang dilakukan secara berulang. Hukum alam mendeskripsikan suatu sistem dan memberikan jalinan antara dua atau lebih parameter dalam sistem itu dalam keadaan tertentu dan lazimnya dinyatakan dalam bentuk matematis. Misalnya sistem A didefinisikan oleh parameter v, w, x, y, dan z. Bila dalam eksperimen nilai x digandakan dan v, w, dan y dijaga tetap menyebabkan z berubah menjadi setengahnya maka dipenuhi jalinan

$$ z = \frac{x}{2} $$

Jalinan di atas sudah dapat disebut hukum bila dapat direduplikasi dan selalu memberikan hasil yang sama. Hukum alam juga dapat memberikan jalinan antarparameter pada sistem yang terdiri dari dua atau lebih objek yang berinteraksi. Bagaimanapun, hukum alam tidak memberikan penjelasan ataupun deskripsi mengenai mekanisme yang berlangsung di belakangnya. Nilai-nilai parameter dalam satu sistem serta jalinannya satu sama lain dapat diamati, diubah, dan diukur dengan relatif mudah serta dapat diuji berkali-kali. Namun, mengetahui mengapa jalinannya seperti itu dan bagaimana mekanismenya bukanlah sesuatu yang bisal diukur secara langsung. Penjelasan semacam itu dapat diperoleh melalui inferensi atau penalaran berdasarkan hukum yang telah diketahui. Produk dari upaya inilah yang disebut sebagai teori ilmiah.

Hipotesa dan Teori ilmiah

Dalam proses merumuskan suatu teori ilmiah umumnya diperlukan suatu hipotesa. Hipotesa adalah asumsi sementara atau dugaan awal berdasarkan data awal yang terbatas yang digunakan sebagai patokan dalam membangun argumen atau teori atas suatu perkara (problem). Dalam pengertian teori secara umum, hipotesa termasuk teori, namun hipotesa tidak sama dengan teori ilmiah. Hipotesa adalah kerangka dalam proses pembangunan teori ilmiah. Dalam proses membangun suatu teori dari hipotesa, kesahihan suatu hipotesa diuji secara logis (apakah self consistent) maupun secara empiris (apakah menghasilkankan suatu konsekuensi yang bertentangan dengan fakta empiris). Jika ternyata hipotesa itu tidak lulus uji maka kita mesti membuang bagian tertentu atau bahkan keseluruhan hipotesa tadi dan kembali merumuskan teori berdasarkan hipotesa yang baru.

Salah satu aspek umum dalam membangun hipotesa adalah penerapan asas atau postulat. Seperti yang kita tahu, asas (dalam disiplin ilmu apapun) berlaku pada ranah tertentu. Bila kita menganalisa suatu sistem (perkara) yang belum dikenal dengan baik, seringkali kita belum dapat memastikan apakah sistem tadi termasuk dalam ranah yang tunduk pada asas tadi. Dalam hal ini, untuk sementara kita dapat mengasumsikan suatu sistem tunduk pada asas tertentu bila bukti-bukti terbatas yang ada menuntun demikian. Dalam pemodelan suatu sistem seringkali pula dilakukan proses idealisasi, yang mana akan dibahas kemudian. Bila asumsi yang digunakan pertama kali ternyata keliru juga tidak apa-apa, karena hipotesa akan melewati pengujian yang telah disebutkan di atas.

Teori ilmiah adalah penjelasan mengenai aspek-aspek tertentu di alam (objek atau peristiwa) yang dibangun secara sistematis berdasarkan kriteria dan metodologi ilmiah. Suatu teori ilmiah otomatis memuat hukum. Agar suatu teori dapat disebut sebagai teori ilmiah, teori itu harus logis, dapat diuji secara empiris, dan memiliki prediksi yang falsifiabel. Cara paling ampuh dalam merumuskan teori ilmiah adalah menggunakan metodologi ilmiah. Secara ringkas, metodologi ilmiah adalah rangkaian kerja berupa perumusan masalah, melakukan kajian latar belakang, membangun hipotesa, melakukan eksperimen atau observasi lanjut, menganalisa data, dan mengambil kesimpulan. Kesimpulan yang diperoleh selanjutnya dapat menjadi fondasi bagi teori baru atau menjadi bagian atau sanggahan dari suatu teori yang sudah ada.

Bagan metodologi ilmiah.
Sumber: https://www.sciencebuddies.org/science-fair-projects/science-fair/steps-of-the-scientific-method

Suatu teori dapat disebut teori ilmiah selama memenuhi syarat yang disebutkan di atas. Hal ini berarti teori ilmiah bisa benar bisa juga salah, yang penting memenuhi syarat ilmiah. Di sinilah fungsi testabilitas dan falsifiabilitas dari teori ilmiah. Teori yang prediksinya terbukti salah oleh eksperimen/observasi lebih lanjut mestilah dikoreksi atau bahkan diabaikan. Adapun teori ilmiah yang prediksi-prediksinya telah terbukti disebut teori yang telah diverifikasi (verified theory). Teori yang telah diverifikasi, tidak pernah terbukti keliru selama bertahun-tahun serta telah menjadi landasan dari teori lain yang juga telah diverifikasi dikenal sebagai sebagai teori mapan (well established theory). Jadi, hanya karena dua teori sama-sama berpredikat sebagai teori ilmiah tidak berarti derajad kebenarannya juga sepantaran.

Berikut ini diberikan contoh proses konstruksi hukum alam dan teori ilmiah. Penyelidikan/investigasi mengenai sifat-sifat termodinamika gas bermula dari eksperimen untuk mengetahui jalinan antarparameter pada gas. Karakteristik fisis suatu gas umumnya diberikan oleh jumlah molekul (\(n\)), volume (\(V\)), tekanan (\(P\)), dan temperatur (\(T\)). Dari berbagai eksperimen yang dilakukan oleh para ilmuwan dan telah jutaan kali direplikasi, ditemukanlah hukum-hukum yang dikenal sebagai berikut.

• Hukum Avogadro: \(V \propto n\)
• Hukum Gay-Lussac: \(P \propto T\)
• Hukum Charles: \(V \propto T\)
• Hukum Boyle: \(P \propto 1/V\)

Tentunya, temuan itu tidak didapatkan sekali waktu. Setelah semuanya diketahui, kita dapat mengabungkan semua hukum tadi sebagai hukum gas ideal,

$$ PV = nkT $$

Hukum gas ideal memberikan jalinan lengkap mengenai parameter-parameter fisis gas ideal. Bagaimanapun, sampai di situ saja kita tidak akan mengetahui detail proses dan mekanisme yang terjadi dalam gas. Jika dibahasakan secara keren: pertanyaan ‘mengapa’ belum terjawab. Untuk itulah ilmuwan berupaya menemukan atau membangun teori yang bisa menjelaskan fakta-fakta di atas. Teori ini dikenal sebagai teori kinetik gas. Teori kinetik gas dibangun atas asumsi-asumsi sebagai berikut.

1. Gas terdiri atas molekul yang berukuran sangat kecil bila dibandingkan dengan jarak rerata antarmolekul (syarat kesahihan: tekanan cukup rendah).
2. Gas terdiri atas molekul yang sangat banyak sehingga dapat dilakukan pendekatan statistik.
3. Molekul-molekul gas bergerak secara acak.
4. Bila molekul bergerak sangat cepat, energi kinetik reratanya cukup tinggi sehingga interaksi antarmolekul selain melalui tumbukan dapat diabaikan (syarat kesahihan: temperatur cukup tinggi).

Teori kinetik gas menjelaskan secara kuantitatif proses yang terjadi pada gas (dalam batas kondisi tertentu sejauh yang diberikan dalam asumsi). Teori ini memberikan prediksi berupa distribusi energi dan momentum molekul-molekul dalam gas yang ternyata konsisten dengan hukum gas ideal.

Falsifiabilitas

Konsep falsifiabilitas pertama kali diperkenalkan oleh Karl Popper sebagai suatu kriteria ilmiah mengingat keterbatasan testabilitas dalam proses induksi. Suatu pernyataan disebut falsifiabel bila terdapat suatu cara untuk menyanggah pernyataan itu atau membuktikan bahwa pernyataan itu keliru. Contoh yang populer ialah pernyataan “Semua angsa berwarna putih” memenuhi syarat falsifiabilitas karena secara praktis (atau syarat yang lebih longgar: secara teoritis) dimungkinkan suatu cara untuk menyanggah klaim tersebut, dalam hal ini menunjukkan angsa yang memiliki warna selain putih. Semenjak angsa hitam telah ditemukan hidup di Australia, pernyataan tadi bernilai salah. Contoh pernyataan yang tidak falsifiabel secara praktis semisal “Sebuah teko teh mengorbit Matahari dalam orbit di antara orbit Bumi dan Mars”. Contoh ini dikenal sebagai Russell’s teapot, dinamakan menurut pengarangnya, Bertrand Russell. Secara praktis, mustahil mengecek ada teko teh (yang kita ketahui hanya dibuat oleh manusia) mengorbit Matahari pada jarak sejauh itu. Semenjak klaim itu tampaknya tidak memungkinkan (meskipun bisa jadi benar) dan tidak mempunyai manfaat apa-apa maka berdasarkan asas skeptisme tidak ada gunanya mempercayai pernyataan tadi . Adapun pernyataan “hujan di suatu lokasi di Bumi disebabkan oleh dewa hujan di surga yang bersin ke arah tertentu” adalah pernyataan yang tidak falsifiabel bahkan secara teoritis. Di mana surga dan dewa hujan itu? Bagaimana caranya mengecek hujan dapat terjadi meskipun dewa hujan tidak sedang bersin? Karena alasan itu, pernyataan semacam ini jelas jauh dari ranah ilmiah.

Ruang Lingkup Suatu Hukum dan Teori

Dalam membangun sebuah teori seringkali dilakukan idealisasi. Idealisasi adalah pembatasan suatu sistem pada kondisi tertentu saja, mengabaikan faktor-faktor yang tidak memiliki pengaruh besar (dalam level realitas tertentu) yang akan membuat tinjauan menjadi sangat kompleks. Artinya, dengan mengabaikan faktor-faktor minor, kita dapat membuat model yang lebih sederhana tanpa banyak mengorbankan akurasi teori atau model yang dibuat. Tentu saja, faktor yang diabaikan ini tidak berarti dilupakan. Suatu teori digunakan dengan tetap mengingat asumsi-asumsi yang mendasarinya. Bila ditemukan suatu sistem dengan perkara serupa namun berada di luar batas asumsi, permasalahan mesti diselesaikan dengan memperhitungkan faktor yang sebelumnya diabaikan.

Pembatasan inilah yang perlu dikenali saat menggunakan atau menguji suatu teori. Teori hanya ‘bertanggung jawab’ menjelaskan objek atau fenomena dalam cakupan yang didefinisikan oleh teori itu sendiri. Menyangkal teori kinetik gas dengan memberikan counterexample fenomena pada kondensat tentu saja konyol. Teori kinetik gas telah memberikan batasan hanya berlaku pada gas ideal sejak awal sehingga hanya memberikan hampiran yang bagus untuk gas yang mendekati gas ideal.

Kadangkala, hukum dan teori mapan pun bisa salah meskipun mustahil sepenuhnya salah. Kesalahan yang mungkin dialami oleh hukum dan teori mapan adalah bahwa cakupannya tidak seluas yang dikira sebelumnya. Hal ini mungkin terjadi karena dalam perumusannya, suatu faktor yang terkait dengan sistem benar-benar tidak teramati atau luput dalam level pengamatan yang dilakukan sebelumnya. Contoh populer dalam hal ini adalah hukum gravitasi Newton dan teori evolusi Darwin.

Hukum gravitasi Newton dirumuskan oleh Isaac Newton memberikan jalinan dinamis antara massa dan potensial gravitasi yang diciptakannya. Dalam hukum gravitasi Newton, interaksi gravitasi memenuhi jalinan

$$ \nabla^2 \Phi = 4πG\rho $$

Dengan \(\Phi\) adalah potensial gravitasi, \(G\) tetapan gravitasi universal, dan \(\rho\) adalah kerapatan massa per volume. Adapun gerak benda dalam pengaruh medan gravitasi dapat diberikan menggunakan ketiga hukum gerak Newton.

Ketika Einstein merumuskan teori gravitasinya, ia menggunakan tiga postulat: asas kesetaraan, asas kovariansi. Teorinya itu memuat jalinan antara potensial gravitasi dan materi-energi yang hadir dalam ruang.

$$ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = \frac{8πG}{c^4} T_{\mu\nu} $$

Kita dapat menyebut jalinan di atas sebagai hukum gravitasi Einstein, meskipun ungkapan itu jarang digunakan (jalinan di atas umumnya disebut persamaan medan Einstein). Sebagaimana mekanika Newtonian gagal dalam kasus benda dengan kelajuan mendekati kelajuan cahaya maka hukum gravitasi Newton juga gagal dalam kondisi itu. Teori relativitas umum (TRU) dirumuskan agar kompatibel dengan teori relativitas khusus (TRK), yang mana valid untuk sembarang nilai kelajuan. Berdasarkan teori relativitas umum, gravitasi adalah efek kelengkungan ruang yang diakibatkan oleh distribusi massa dan energi di dalamnya. Jadi, menurut TRU, sembarang bentuk energi juga memiliki potensial gravitasi! Hal ini luput di mata ilmuwan sebelumnya karena kesetaraan massa dan energi terkait dengan faktor yang sangat besar: kelajuan cahaya kuadrat. Oleh karenanya, efek gravitasi dari level energi yang umum teramati sehari-hari tidak ada apa-apanya dibandingkan efek gravitasi dari satu kilogram massa. Perbedaan postulat ini menyebabkan TRU memprediksi fenomena yang tidak sesuai dengan hukum gravitasi Newton dalam level kelajuan tinggi dan medan yang sangat kuat. Prediksi TRU sejauh ini telah banyak terbukti (pergeseran merah gravitasi, pelengkungan cahaya, presesi orbit planet, gelombang gravitasi) dan teori ini belum pernah terbukti salah. Meskipun demikian, kita tidak dapat mengatakan hukum gravitasi Newton sepenuhnya salah. Kita hanya perlu merevisi cakupannya: hukum gravitasi Newton valid dalam sistem nonrelativistik.

Pun demikian halnya dengan teori evolusi Darwin (TED). Meskipun teori ini memiliki banyak missing link, TED terbukti sukses menjelaskan variasi spesies di Bumi. Esensi dari TED: variasi acak, seleksi alam, dan survival of the fittest tetap kokoh melewati ujian. Perkembangan teori genetika dan teknologi biomolekuler memberikan pemahaman baru mengenai mekanisme yang berperan dalam variasi dan pewarisan sifat makhluk hidup. Berhubung teori evolusi Darwin adalah teori, bukan hukum, kita justru dapat terus merevisinya alih-alih membatasi cakupannya, selama pondasinya tidak tumbang. Teori evolusi Darwin pun kini juga berevolusi menjadi teori evolusi modern dan merupakan teori mapan dalam disiplin ilmu Biologi.

Selengkapnya...