Paradoks Kembar

Menurut relativitas khusus waktu bagi pengamat bergerak mengalir lebih lambat dibanding pengamat diam yang dikenal sebagai dilasi waktu (time dilation). Kuantitas dari perbedaan waktu dari dua kerangka yang berbeda yaitu:

dengan γ merupakan koreksi relativistik. Mengingat mustahil suatu objek melaju lebih cepat dibanding cahaya dalam ruang hampa, maka otomatis nilai γ ≥ 1.

Misalkan dua orang anak kembar, Ketut dan Rabittut, segera setelah lahir Rabittut pergi ke suatu bintang dengan roket berkelajuan konstan, v (agar efek relatifistik nampak, anggap v > 0,5 c). Sekian puluh tahun kemudian, Rabittut pulang kembali ke Bumi menemui saudara kembarnya, Ketut. Pertanyaannya, siapakah yang nampak lebih muda? Menurut kerangka inersial Ketut, Rabittutlah yang bergerak dengan kecepatan v, sehingga usia Ketut tentulah lebih tua dari usia Rabittut. Namun Rabittut juga dapat mengklaim berdasarkan kerangka inersialnya (dengan mengabaikan percepatan dan perlambatan saat roket berangkat dan berbalik ke Bumi) Ketutlah yang bergerak, sehinggak Rabittut dapat mengklaim Ketutlah yang lebih muda. Manakah yang benar?

Sebelum kita melakukan penghitungan, penting untuk diketahui Jarak antara Bumi dan bintang menurut Rabittut ialah D_R = D_K/ γ.

Oke, mari kita mulai melakukan penghitungan dengan kerangka Ketut. Menurut kerangka Ketut, Rabittut menempuh perjalanan sejauh 2d_K (pulang-balik) dengan kecepatan v. Perjalanan ini memakan waktu 2d_K/v. Transformasi  Lorentz  untuk waktu memberikan hubungan antara waktu yang ditunjukkan jam milik Ketut (t_K) dan jam milik Rabittut (t_R) sebagai:

dengan x_K ialah jarak antara mereka. Selama perjalanan Rabittut ke bintang, berlaku persamaan

x_K = v × t_K

Dengan melakukan substitusi dari kedua persamaaan di atas didapatkan:

atau

Dari persamaan ini kita dapatkan Jam milik Rabittut bergerak lebih lambat dari jam milik Ketut dengan faktor 1/γ. Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa hal ini juga berlaku dalam perjalanan Rabittut pulang ke Bumi, sehingga umur Ketut, A_K

dan umur Rabittut, A_R

Jadi, selisih umur mereka ialah

Sekarang kita melakukan penghitungan dengan kerangka Rabittut. Transformasi  Lorentz memberikan hubungan antara waktu miliki Ketut dan Rabittut menurut Rabittut

Yang mana memberikan

Hasil di atas menunjukkan Jam milik Ketut bergerak lebih lambat dari jam miliki Rabittut dengan faktor 1/γ. Nampak adanya kontradiksi dengan penjelasan sebelumnya yang menyatakan jam milik Rabittut lebih lambat daripada milik Ketut. Namun, sebenarnya tidaklah demikian, kita tidak dapat membandingkan penunjukan waktu dari dua kerangka di tempat yang berbeda hingga mereka bertemu kembali. Ketika mereka bertemu kembali barulah nampak siapa yang lebih tua atau lebih muda. Jika diteruskan akan didapatkan selisih usia antara Ketut dan Rabittut menurut Rabittut ialah

Saat Rabittut sampai ke Bintang kemudian berbalik ke Bumi, ia merubah kerangka inersialnya. Sebelum Rabittut tiba ke bintang, hubungan antara jam Ketut dan jam Rabittut diukur oleh Rabittut ialah

Dan setelah ia menuju Bumi, hubungan keduanya ialah:

Dua persamaan terakhir menunjukkan perbedaan  pengukuran jam miliki Ketut oleh Rabittut yang selisihnya ialah

Selisih ini terjadi akibat perubahan kerangka inersial milik Rabittut. Akhirnya, setelah melakukan koreksi, selisih usia antara Ketut dan Rabittut diukur oleh Rabittut

Mengingat 1/γ² + v²/c² = 1, didapatkan selisih umur mereka menurut kerangka Rabittut

Hasil di atas sesuai dengan pengukuran berdasarkan kerangka Ketut sebelumnya.

comicstrip:

Selengkapnya...

Paradoks Monty Hall

Misalkan Ada sebuah kuis (mungkin semacam superdeal 2 milyar, judul paradoks ini sendiri berasal dari pembawa acara kuis sejenis di AS), terdapat tiga buah pintu yang dua di antaranya terdapat kambing dan salah satunya mobil. Anda telah memilih satu pintu, dan Monty si pembawa acara – yang mengetahui isi di balik semua pintu – membuka salah satu pintu yang berisi kambing. Jadi tinggal dua pintu yang tersisa, yang Anda pilih dan satunya lagi, lalu pembawa acara menawarkan Anda untuk menukar pintu, jika mau. Berapakah peluang Anda mendapatkan mobil jika Anda bertahan dan jika Anda pindah ke pintu lainnya?

Tentu kita akan langsung menjawab 50:50, karena yang tersisa satu mobil dan juga satu kambing. Tapi tunggu dulu, coba perhatikan tabel kemungkinan di bawah ini, ada tiga kemungkinan urutan hadiah dan anggap pintu yang Anda pilih adalah pintu 1. Monty akan membuka salah satu pintu yang berisi kambing dan kita lihat, peluang mendapatkan mobil jika bertahan ialah 1/3 dan peluang mendapatkan mobil jika pindah ialah 2/3.

Pintu 1 (dipilih)	Pintu 2	Pintu 3	Yang didapat jika bertahan	Yang didapat jika pindah
mobil	kambing	kambing	mobil	kambing
kambing	mobil	kambing	kambing	mobil
Kambing	kambing	mobil	kambing	Mobil

Sudah lihat kan? Berarti akan lebih tinggi peluang kita mendapatkan mobil jika kita mengganti pintu…

…

…

…

…

…

…

Betulkah? Kok bisa ya? Paradoks kah?

Perhatikan lagi penjelasan dari teman saya berikut: peluang mendapatkan mobil  jika bertahan atau mengganti tepat 50:50. Terdapat kesalahan intuisi dalam model di atas, apa itu? Kemungkinan hadiah dalam pintu disusun menggunakan aturan permutasi, berbeda urutan berarti tak sama, sedangkan pintu yang dibuka oleh Monty menggunakan kombinasi, tidak mempedulikan urutan. Di sinilah letak kesalahannya. Ingat bahwa Monty hanya akan membuka pintu yang berisi kambing, jadi jika pintu yang kita pilih ternyata di dalamnya mobil, maka ada dua kemungkinan pintu yang di buka oleh Monty. Berikut tabelnya.

No.	Pintu 1 (dipilih)	Pintu 2	Pintu 3	Pintu yang dibuka	Yang didapat jika bertahan	Yang didapat jika pindah
1.	mobil	kambing	kambing	Pintu 2	mobil	kambing
2.	"	"	"	Pintu 3	mobil	kambing
3.	kambing	mobil	kambing	Pintu 3	kambing	mobil
4.	kambing	kambing	mobil	Pintu 2	kambing	mobil

Bagaimana? Jelaskah peluang mendapatkan mobil jika bertahan atau mengganti pintu ialah sama, 2:2?
Tidak sampai di situ, ternyata teman saya salah, masih ada counter explanation-nya lagi.

Misalkan kita mengelompokkan pintu-pintu tersebut.

       

Perhatikan tiap pintu memiliki peluang berisi mobil 1/3. Jadi pintu yang kita pilih peluangnya 1/3 dan pintu yang tidak kita pilih peluangnya 2/3. Ketika salah satu pintu yang tidak dipilih dan berisi kambing (pintu 3) di buka, maka otomatis peluangnya menjadi nol, dan peluang pintu dua berisi mobil menjadi 2/3. Masih bingung? Coba andaikan saya punya 1000 kartu tertelungkup, dan hanya satu kartu joker (saya tahu letaknya). Anda mengambil satu kartu, jadi peluang sebuah kartu adalah joker  ialah 1/1000. Jika 998 kartu yang bukan Joker saya buka, apakah itu berarti Anda mengambil satu di antara 1000 kartu  yang peluangnya merupakan joker 50%? Wah kalau begitu Anda hebat sekali…

Jadi, peluang memenangkan mobil dan mendapat kartu joker bila memindah pilihan ialah 2/3 dan 999/1000.

Selengkapnya...

Two Envelopes Paradox

Berhubung saya lagi malas ngetik, jadi saya langsung saja ya? Misalkan Amsar ditawarkan dua buah amplop berisi uang, salah satunya berisi dua kali amplop yang lain. Amsar hanya diperkenankan memilih dan mengambil satu. Beberapa menit kemudian, Amsar mengambil amplop pilihannya dan sesaat sebelum membuka amplop, dia ditawarkan lagi untuk menukar amplop jika mau. Anggap amplop yang dipilih A dan amplop lain B.  Berikut perhitungan yang muncul dalam kepala Amsar:

1.       Peluang amplop B lebih besar dari amplop A ialah 50:50.

2.   Anggap amplop saya berisi x, maka kemungkinan 50% amplop B berisi 2x dan 50% kemungkinannya amplop B berisi ½ x.

3.       Jadi perkiraan isi amplop B ialah

(½)(2x) + (½)( ½ x) = 5/4 x

Yang berarti lebih besar dari amplop A (isinya x)

4.       Jadi saya menukar amplop A dengan Amplop B.

Nah, setelah Amsar menukar amplop A dengan amplop B, ia ditawari lagi untuk menukar amplop, dan langkah-langkah tadi terulang, namun perkiraan amplop A lebih besar dari amplop B, yang bertentangan dengan hasil sebelumnya. Jadi, manakah yang benar?

Jelas ada kesalahan intuisi pada langkah-langkah tadi, jadi silakan Anda menemukannya…

Selengkapnya...

Barber Paradox

Barber Paradoks (Paradoks Tukang Cukur) adalah suatu paradoks klasik yang muncul akibat syarat-syarat yang menghasilkan  suatu pertentangan. Oke, kita langsung saja.

Di suatu kota terpencil (anggap kota pulau di tengah-tengah samudera) hanya terdapat seorang tukang cukur (pria). Di kota itu terdapat perda yang melarang tiap pria berambut panjang, jadi tiap pria harus rutin bercukur, apakah itu pergi ke tukang cukur atau mencukur sendiri. Si tukang cukur tidak diperbolehkan mencukur pria yang mencukur sendiri rambutnya sendiri.

Nah, dari kisah di atas, ada dua syarat yang harus dipenuhi yaitu:

1.       Tiap pria harus bercukur.

2.       Tukang cukur harus mencukur semua orang yang tidak mencukur rambutnya sendiri.

Pertanyaannya, siapakah yang mencukur rambut si tukang cukur? Bolehkah dia mencukur rambutnya sendiri? Jika dia mencukur dirinya sendiri, artinya dia bercukur di tukang cukur (dia kan tukang cukur), dan ini bertentangan dengan syarat 2.  Jadi, bagaimana solusinya?

Selengkapnya...

Pembahasan Soal Essai OSP Astronomi 2009

1. Sebuah teleskop dengan diameter bukaan 0,5 meter memerlukan waktu 1 jam untuk mengumpulkan cahaya dari obyek astronomi yang redup agar dapat terbentuk citranya pada detektor. Berapa waktu yang diperlukan oleh teleskop dengan diameter bukaan 2,5 meter untuk mengumpulkan jumlah cahaya yang sama dari obyek astronomi redup tersebut?

Penyelesaian :                                                                                                              

Berdasarkan hukum pancaran, fluks yang diterima oleh suatu penampang sebanding dengan luasnya, sehingga

t₂/t₁ = (D₁/D₂)²

didapatkan t₂ = 1/25 jam = 2 menit 24 detik

2. Pada suatu malam sekitar jam 21:00, seseorang yang ada di Ulanbator (Mongolia) yang berada pada bujur yang sama dengan Jakarta, melihat bintang Vega di atas kepalanya. Apabila pada saat yang sama seseorang yang berada di Jakarta juga melihat bintang tersebut, berapakah ketinggian bintang Vega dilihat dari Jakarta pada jam yang sama. (kedudukan Ulanbator ϕ = 47º55’ LU, sedangkan Jakarta ϕ = 6º14’ LS, bujur kedua kota dianggap sama yaitu sekitar λ = 106º BT)

Penyelesaian :                                                                                                              

ϕ_U = 47º55’

ϕ_J = -6º14’

___________  _

Δϕ = 53º69’   =   54º9’

Jadi tinggi bintang adalah 90º -  54º9’ = 31º51’ dari arah utara

3. Pada awal bulan Maret 2009 ada berita di media massa bahwa sebuah asteroid berdiameter 50 km melintas dekat sekali dengan Bumi. Jarak terdekatnya dari permikaan Bumi saat melintas adalah 74.000 km. Karena asteroid itu tidak jatuh ke Bumi Bahkan kemudian menjauh lagi, dapat diperkirakan kecepatannya melebihi suatu harga X. Berapakah harga batas bawah kecepatan itu?

Penyelesaian :

Kecepatan minimal benda untuk lepas dari pengaruh gravitasi benda lain disebut kecepatan lepas atau escape velocity, v_esc.   

h = 74 000 000 m

r = R + h

r = 8,04×10⁷ m

Kecepatan lepas (escape velocity) dapat dihitung dengan rumus

v_e = √(2GM/r)

Dengan memasukkan nilai maka diperoleh v_e = 3155,2 m/s

4. Hitung energi Matahari yang jatuh pada selembar kertas dengan luas 1 m² di permukaan Bumi. Abaikan serapan dan sebaran oleh atmosfer Bumi dan gunakan hukum pelemahan radiasi. Apabila dibandingkan dengan sebuah balon lampu 100 W, maka haru diletakkan pada jarak berapa agar lampu tersebut setara dengan energi Matahari. (Luminositas Matahari L₈ = 3,86×10²⁶ W)

Penyelesaian :                                                                                                              

Luminositas Matahari L₈ = 3,86×10²⁶ W

Berdasarkan hukum pancaran:

E = L/4πd² = (3,86×10²⁶ W)/( 4π(1,496×10¹¹)²) = 1372 W/m²

Daya lampu, L_l = 100 W

Energi lampu = Energi Matahari, E_l = E = 1 372 W

Jarak lampu, d_l :

d_l = √(L_l/4πE_l)

Dengan memasukkan nilai, didapatkan d_l = 0,076 m

5. Sebuah awan molekular yang merupakan cikal bakal terbentuknya bintang-bintang, mempunyai bentuk bundar seperti bola yang berdiameter D = 10 pc. Apabila kerapatan awan molekular ini adalah ρ = 1,6×10^-17 kg/m³ dan apabila setengah dari awan molekular menjadi bintang seukuran Matahari (massanya sama dengan mass Matahari) maka akan ada berapa bintang yang terbentuk di awan molekular tersebut?

Penyelesaian :                                                                                                              

R = 5 pc = 1,543×10¹⁷ m

ρ = 1,6×10^-17 kg/m³

m₈ = 1,99×10³⁰ kg

V = 4/3 π R³

V = 1,539×10⁵² m³

o   Volume yang menjadi bintang adalah setengah dari volume total, yaitu.V = 7,694×10⁵¹ m³

o   Volume sebuah bintang adalah

      V_b = m/ρ

      V_b = (1,99×10³⁰ kg)/( 1,6×10^-17 kg/m³)

      V_b = 1,244×10⁴⁷ m³

o   Jumlah bintang yang terbentuk adalah

      n = V/V_b

      Dengan memasukkan nilai didapatkan sekitar 6,2×10⁴ buah bintang.

 

6. Kecepatan lepas dari sebuah objek adalah V_lepas = (2GM/r)^1/2. Untuk Bumi, kecepatan lepasnya adalah 1,1×10⁴ m/s.

a.)  Gunakan ini rumus tersebut untuk menjelaskan sebuah lubang hitam - obyek di mana cahaya tidak dapat lepas dari tarikan gravitasi.

b.)  Hitung berapa besar Bumi jika dia menjadi sebuah lubang hitam!

c.)  Apa yang akan terjadi jika sebuah lubang hitam dengan massa seperti Bumi menabrak Bumi

d.)  Jika cahaya tidak dapat melepaskan diri, apa yang terjadi pada cahaya ketika meninggalkan Bumi?

Penyelesaian :

a)      Karena pada lubang hitam cahaya pun tidak dapat lolos, maka kelajuan lepasnya lebih besar daripada kelajuan cahaya, dengan demikian radius lubang hitam ialah

R = 2GM/c²

Dengan c kelajuan cahaya dalam hampa, 2,998×10⁸ m/s

b)      Silakan hitung sendiri, massa Bumi = 5,9736×10²⁴ kg.

c)      Silakan bayangkan sendiri kehancurannya, dan blackhole tadi sudah tidak menjadi blackhole lagi.

d)     Seperti yang terjadi jika Anda melempar batu dari permukaan Bumi, kembali jatuh ke permukaan.     

Soal-soal lainnya:

1. Dua buah galaksi saling mengorbit satu sama lain dengan periode P = 50 milyar tahun dan jarak d = 0,5 juta pc. Tentukan massa gabungan kedua galaksi tersebut!

Penyelesaian :

Ingat 1 pc = 206265 AU

a = (0,5×10⁶)(206265) = 1,0313×10¹¹ AU

P = 5×10¹⁰ tahun

Dengan perbandingan Keppler 3:                                                                                 

a³/P² = M_tot, dengan a dalam AU, P dalam tahun dan M dalam satuan massa Matahari.

Didapatkan  M_tot = 4,387×10¹¹ M₈

2. Teleskop ruang angkasa Hubble mengedari Bumi pada ketinggian 800 km, kecepatan melingkar Hubble adalah....

Penyelesaian :                                                                                                              

h = 800 000 m

r = R + h

r = 6,4×10⁶ + 8×10⁵ = 7,2×10⁶ m

Kecepatan sirkular dapat dihitung dengan rumus

v_c = √(GM/r)

Dengan memasukkan nilai maka diperoleh v_c = 7455,4 m/s

Selengkapnya...