Sepernol = ...?

Pertanyaan yang kelihatannya sederhana namun ternyata tak sesederhana kelihatannya. Jangankan orang awam, matematikawan pun bisa saja memiliki jawaban yang berbeda. Ada yang menjawab tak terdefnisi, tak hingga (infinity), dan ada juga yang menjawab tak tahu (yang penting sama-sama ‘tak’). Namun saya kira, bagi yang menjawab tak terdefinisi harus menjelaskan dulu definisi dari bilangan tak terdefinisi. Bilangan tak terdefinisi merupakan suatu bilangan irrasional yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk desimal. Nah, bukannya tak hingga juga tak terdefinisi? Yah, saya cenderung menjawab pertanyaan ini dengan pilihan kedua.

Tak hingga merupakan suatu bilangan yang luar biasa besarnya, di mana tidak ada bilangan lain yang lebih besar dari pada tak hingga. Nah, bagaimana dengan nol? Nol adalah suatu bilangan dengan tidak ada bilangan mutlak lain (positif) yang lebih kecil daripada mutlak nol.

Jika kita mengganti nilai |x| dengan bilangan real positif yang semakin kecil, akan kita dapatkan nilai y yang semakin besar. Jika kita mengganti nilai |x| dengan bilangan real positif sekecil mungkin, didapatkan y bilangan real yang sebesar mungkin. Terakhir jika kita mengganti |x| dengan bilangan real positif yang terkecil (0) didapatkan y bilangan real positif yang terbesar (∞).

Alternatif lain, yaitu membalikkan persamaan. Sepernol memang kelihatannya membingungkan, tapi kalau kita balik menjadi sepertakhingga, berapa hasilnya? Nol tentunya, jadi:

atau dengan kata lain ∞ × 0 = 1

Beberapa matematikawan tidak sepakat dengan penjelasan di atas dan menganggap bahkan limit sepernol itu tidak ada.

jadi tidak ada.

Permasalahannya adalah samakah +0 dan -0 itu? Saya akan menjawabnya beda, tetapi mereka berimpit sehingga nilainya sama. Misalkan begini, Anda menggambar koordinat kartesius pada sebuah kertas, lalu mengguntingnya menjadi dua sepanjang garis x = 0. Apa yang didapatkan? Tentu potongan kanan memuat barisan x positif dan potongan di kiri memuat barisan x negatif. Di manakah x=0 berada? Kanan atau kiri? Ternyata ada di keduanya. Jadi barisan positif dan negatif sama-sama memiliki nol, dan jika kita menggabungkan barisan ini nol dari masing-masing kubu akan berimpit. Bagaimana dengan tak hingga? Bedakah +∞ dengan -∞? Jika Anda menggunakan koordinat kartesian yang euklid, Anda akan mendapatkan jarak antar kedua titik ya dua kali tak hingga. Tapi ingat koordinat kartesian planar hanya berlaku untuk daerah lokal yang memuat bagian kecil dari koordinat, seperti halnya Bumi itu bulat, tapi jika kita memandang ke daerah lokal saja maka permukaan Bumi bisa dipresentasikan sebagai bidang datar. Jadi untuk melukiskan bilangan tak hingga kita harus menggunakan koordinat bola, dan didapatkan:

Jadi, dalam koordinat bola +∞ = -∞.