p a r a d o k s: Problem Basel dan Paradoks Deret Basel-Harmonik

Pada postingan sebelumnya telah beberapa kali disinggung mengenai Terompet Toricelli dan deret harmonik, yakni deret yang berbentuk

$\zeta(1)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+...$

Deret harmonik tidak lain ialah deret zeta riemann orde satu. Deret zeta riemann sendiri adalah deret tak hingga yang berbentuk

$\small \zeta(p)=\sum_{n=1}^{\infty}\left (\frac{1}{n} \right )^p$

Ada pun deret zeta riemann orde-2, ζ(2) dikenal juga sebagai deret Basel yakni

$\small \zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\left (\frac{1}{n} \right )^2=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+\frac{1}{36}+...$

Telah dibuktikan pada postingan mengenai infinity series paradoks, jumlahan dari deret harmonik adalah tak hingga (divergen). Sekarang kita akan mencari jumlahan dari deret Basel yang pertama kali dilakukan oleh Leonhard Euler. Pertama, panggil ekspansi Taylor/Mac Laurin untuk sinus

$\small \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$

Lalu bagilah dengan x

$\small \frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+...$

Bentuk (sin x)/x bernilai 0 untuk x = nπ dengan n = ±1, ±2, ±3, … . Dengan demikian, dapat dikatakan nπ adalah akar-akar dari deret (sin x)/x. Seperti halnya polinomial dapat dinyatakan sebagai perkalian akar-akarnya, begitu pula dengan deret tak hingga.

$\small \frac{\sin x}{x}=\left (1-\frac{x}{\pi} \right )\left (1+\frac{x}{\pi} \right )\left (1-\frac{x}{2\pi} \right )\left (1+\frac{x}{2\pi} \right )\left (1-\frac{x}{3\pi} \right )\left (1+\frac{x}{3\pi} \right )...$

Ingat, bentuk ini sama saja dengan akar-akar polinomial, misal (1-x/π)=0, berarti salah satu akarnya adalah x = π, dan seterusnya. Kemudian ingatlah lagi pemfaktoran (a + b)(a – b) = a² – b², sehingga diperoleh

$\small \frac{\sin x}{x}=\left (1-\frac{x^2}{\pi^2} \right ) \left (1-\frac{x^2}{4\pi^2} \right )\left (1-\frac{x^2}{9\pi^2} \right )...$

Jika ruas kanan diperkalikan, lalu kita kumpulkan koefisien-koefisien dari variabel x², didapatkan koefisien itu berbentuk deret

$\small -\left (\frac{1}{\pi^2}+\frac{1}{4\pi^2}+\frac{1}{9\pi^2}+... \right )=-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$

Hal ini dengan mudah diperoleh jika kita melakukan pengandaian dengan suku terbatas, misalkan $\small \left (1-\frac{x^2}{a} \right )\left (1-\frac{x^2}{b} \right )\left (1-\frac{x^2}{c} \right )$ . jika dijabarkan menghasilkan bentuk:

$\small \left (1-\frac{x^2}{a} -\frac{x^2}{b}+\frac{x^4}{ab} \right ) \left (1-\frac{x^2}{c} \right )=1-\frac{x^2}{a}-\frac{x^2}{b}-\frac{x^2}{c}+\frac{x^4}{ab}+\frac{x^4}{bc}+\frac{x^4}{ac}-\frac{x^6}{abc}$

Jika dikumpulkan koefisien dari variabel x², diperoleh $\small -\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$ . Dengan menggunakan analogi, kita juga bisa memperoleh hasil untuk deret tak hingga (bandingkan dengan yang di atas). Bagaimana, paham kan?

Karena kedua deret di atas (deret Mac Laurin dan perkalian faktor) nilainya sama-sama (sin x)/x, maka jelas keduanya sama. Dengan demikian kita dapat mempersamakan koefisien dari x2 pada deret Mac Laurin dan deret perkalian faktor kita menjadi

$\small -\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=-\frac{1}{3!}$

Akhirnya, diperoleh nilai dari ζ(2) alias jumlahan deret Basel yaitu

$\small \zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$

Jadi telah terbukti bahwa ζ(2) = π²/6, dengan kata lain deret Basel memiliki jumlah berhingga (konvergen). Sekarang, perhatikanlah ilustrasi berikut.

Persegi-persegi di atas mewakili tiap suku dalam deret harmonik (yakni panjang rusuknya) dan deret Basel (luasnya). Dengan demikian jika diterukan sampai tak hingga, panjang sumbu merupakan jumlahan deret harmonik dan luas bangun merupakan jumlahan deret Basel. Perhatikanlah panjang bangun sama dengan ζ(1) = ∞, padahal luasnya berhingga, ζ(2) = π²/6. Kok bisa?

Penjelasannya hampir serupa dengan terompet Toricelli, jadi silakan Anda simpulkan sendiri.

p a r a d o k s

Laman

Sabtu, 07 Juli 2012

Problem Basel dan Paradoks Deret Basel-Harmonik

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Daftar Bacaan Saya

Entri Populer Bulan Ini