Paradoks Tahanan

Waspadalah…! Waspadalah…!!
- Kata bang Napi.

Oke, ini nggak ada hubungannya dengan bang Napi, tapi ada hubungannya dengan Monty Hall Problem yang telah saya posting terlebih dahulu. Paradoks tahanan (Prisoner’s Paradox) menceritakan masalah peluang dalam konteks verbal, yang mana pemecahannya terlihat tidak sesuai dengan rasio kita pada umumnya.

Ada tiga orang tahanan (sebut Ambo, Bono, dan Charles) sedang menunggu putusan pengadilan terhadap nasib mereka. Saat itu putusan pengadilan ditunda tiga hari setelah persidangan karena para hakim perlu waktu lebih untuk berdiskusi mengenai putusan terhadap Ambo, Bono, dan Charles.

Bang Napi

Malamnya, seorang sipir lewat di depan ruang tahanan Ambo. Ambo pun bertanya, “Maaf pak, saya dengar putusannya telah selesai.” “Bagaimana hasilnya?”.

“Salah satu dari kalian akan divonis bebas, dua yang lain dihukum mati.”

“Siapa yang dihukum mati pak?”

“Wah, itu rahasia.” “Dengar saja langsung lusa.”

“Ayolah pak, bagaimana nasib saya?”

“Nanti juga Anda pasti tahu kok.”

Karena tak sabar dengan nasibnya, Ambo memelas agar diberi tahu nasibnya. Karena sipir bersikeras tidak memberitahu, Ambo pun meminta diberi klu saja.

“Kalau begitu pak, beri saja saya salah satu nama yang dihukum mati.”

Karena terus didesak, akhirnya pak sipir menyebutkan nama Bono akan divonis mati. Saat itu merasa senanglah Ambo karena merasa peluangnya bebas meningkat dari 1/3 menjadi 1/2. Pada jam makan malam, Ambo menceritakan pembicaraannya dengan sipir kepada Charles, dan Charles pun merasa senang. Tetapi Charles berkata, “Bodoh, jika memang begitu berarti peluangku bebas menjadi 2/3 dan peluangmu bebas tetap 1/3.”

Lho, mana yang benar? Menurut Ambo atau menurut Charles? Ternyata versi Charleslah yang benar. Dengan diketahuinya Bono pasti dihukum mati, peluang Ambo bebas tetap 1/3 dan peluang Charles bebas meningkat menjadi 2/3. Penjelasannya sebagai berikut:

Sipir tidak ingin memberitahukan siapa yang bebas secara langsung, dan dia hanya menyebutkan salah satu nama yang divonis mati kepada Ambo. Jika Ambo yang bebas, sipir dapat memilih untuk menyebutkan nama Bono atau Charles. Jika Bono yang bebas, sipir hanya mungkin menyebutkan nama Charles, karena dia tak ingin memberi tahu nasib Ambo secara langsung. Begitu pula jika Charles yang bebas, maka sipir hanya mungkin menyebutkan nama Bono. Jadi terdapat perbedaan perilaku sipir jika Ambo yang bebas dengan Bono atau Charles yang bebas. Ingat bahwa sebelum sipir mengatakan apa-apa, peluang Ambo, Bono, dan Charles untuk bebas masing-masing adalah 1/3.

nama yang bebas	yang dikatakan sipir	peluang kejadian
Ambo	Bono	1/6
	Charles	1/6
Bono	Charles	1/3
Charles	Bono	1/3

Mengingat nama Bono disebut dihukum mati, maka ia tidak mungkin bebas sehingga peluangnya berubah menjadi:

nama yang bebas	yang dikatakan sipir	peluang kejadian
Ambo	Bono	1/6
Charles	Bono	1/3

Lihat? Saat sipir menyebutkan nama Bono (divonis mati), maka peluang baru yang tercipta adalah Ambo bebas peluangnya 1/6 dan Charles bebas peluangnya 1/3 dari total peluang 1/6 + 1/3 = 1/2. Mengingat lazimnya semua peluang yang mungkin dinyatakan dengan satu, maka peluang Ambo bebas ialah 1/6 × 2 = 1/3 dan peluang Charles bebas adalah 1/3 × 2 = 2/3.

Q.E.D.