Energi Ikat Gravitasional Sistem Partikel

Berdasarkan hukum gravitasi Newton, telah diketahui energi potensial antara dua partikel yang bermassa \(m_1\) dan \(m_2\) yang terpisah pada jarak \(r\) memenuhi,

\begin{align} U = -\frac{G m_1 m_2}{r} \label{U0} \end{align}

Pada artikel ini akan dibahas energi potensial yang mengikat kumpulan partikel masif identik yang tersebar dalam distribusi bola berjejari \(R\). Misalkan kumpulan \(\mathcal{N}\) partikel sejenis bermassa \(m\) yang membentuk suatu distribusi dengan massa total \(\mathcal{M} = \mathcal{N} m\), maka total energi potansial antarpartikel disebut energi potensial internal atau energi ikat gravitasional.

\begin{align} U = -\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{\mathcal{N}}\sum_{j=1, j \neq i}^{\mathcal{N}} \frac{G m_i m_j}{r_{ij}} \label{U2} \end{align}

Karena gravitasi bekerja sebagai gaya sentral, sistem partikel itu mestilah memenuhi simetri bola sehingga kerapatan massanya dapat diberikan dalam bentuk \(\rho=\rho(r)\). Dengan demikian, dipenuhi fungsi massa (massa yang terdistribusi dari pusat hingga radius \(r\)):

\begin{align} dM = \rho(r) dV = 4 \pi \rho(r) r^2 dr \label{dM} \end{align}

dengan syarat batas \(M(0)=0\) dan \(M(R)=\mathcal{M}\).

Selanjutnya, dapat kita hitung energi potensial untuk tiap elemen kulit berjejari \(r\) dengan massa yang tercakup di bawahnya (interior); yang mana berdasarkan hukum gravitasi Newton dapat dianggap sebagai titik pada pusat bola dengan massa yang sama. Berdasarkan shell theorem, interaksi antara elemen massa dengan distribusi massa di atasnya diabaikan karena saling meniadakan. Dengan teorema itu, sajian (\ref{U2}) dapat ditulis ke dalam bentuk integral

\begin{align} dU_i = -\frac{GM_i(r)}{r_i} dM_i \label{U3} \end{align}

Dengan demikian, energi ikat gravitasional distribusi tadi adalah jumlahan energi potensial elemen massa kulit bola dari \(r=0\) hingga \(r=R\).

\begin{align} U &= -\int_{0}^{\mathcal{M}} \frac{GM(r)}{r} dM \label{U4} \\
& = -\int_{0}^{R} 4 \pi GM(r) \rho(r) r \: dr \label{U4b} \end{align}

Jika fungsi kerapatan objek diketahui maka energi ikat gravitasionalnya dapat dihitung dengan menyelesaikan \(M(r)\) persamaan (\ref{dM}) dan menyulihkannya ke dalam persamaan (\ref{U4b}). Sebagai contoh, kita akan menyelesaikan persamaan (\ref{U4b}) untuk kasus \(\rho=\mathrm{konstan}\). Dengan mengintegralkan persamaan (\ref{dM}), diperoleh fungsi massa

\begin{align} M(r) = \frac{4}{3}\pi \rho r^3 \label{M1} \end{align}

Dengan massa total sistem ialah

\begin{align} \mathcal{M} = \frac{4}{3}\pi \rho R^3 \label{M2} \end{align}

Menyulihkan fungsi massa (\ref{M1}) ke dalam persamaan (\ref{U4b}), didapatkan,

\begin{align} U &= -\int_{0}^{R} 4 \pi G \left ( \frac{4}{3}\pi \rho r^3 \right ) \rho r \: dr \nonumber\\
&= -\int_{0}^{R} \frac{16 \pi^2 G \rho^2 r^4}{3} \: dr \nonumber \\
&= -\frac{16 \pi^2 G \rho^2 R^5}{15} \: dr \label{U5} \end{align}

Selanjutnya, dengan menyulihkan balik nilai \(\mathcal{M}\) pada persamaan (\ref{M2}) ke dalam persamaan (\ref{U5}), didapatkan

\begin{align} U = -\frac{3 G \mathcal{M}^2}{5R} \label{U6} \end{align}