Paradoks Archimedes

Paradoks Archimedes menyatakan kita bisa mengapungkan suatu benda besar dengan sejumlah kecil cairan (jauh lebih kecil dari volum benda), asalkan rapat jenis benda lebih kecil daripada rapat jenis cairan. Ekstrimnya, kita dapat mengapungkan sebuah kapal perang dengan beberapa liter air, asalkan air itu cukup untuk melapisi permukaan kapal (yang dibawah level air). Lho?

Hukum Archimedes kalau nggak salah bunyinya gaya apung yang diderita suatu objek sama dengan berat air yang didesak oleh objek itu. Nah, sekarang amati kedua gambar di atas, tentu tidak ada perbedaan prinsipil antara keduanya. Pada gambar di kanan (ah.. saya gambarnya kebalik) ialah kondisi normal kapal mengapung di lautan, sedangkan pada gambar di sebelah kiri kapal berada dalam sebuah cetakan yang coplanar dengan lambung kapal. Seandainya gap antara lambung kapal dengan cetakan dibuat setipis mungkin, berarti kapal raksasa sekalipun dapat dibuat mengapung hanya dengan sekian liter air. Nah, sekarang kita buat kasus ekstrim dari contoh yang sudah ekstrim: Basahi seluruh lambung kapal dan kapal akan mengapung di cetakan (dimaksudkan lapisan air sedikit mungkin). Mungkinkah?? Silakan dicoba..

 

sumber gambar kedua: http://www.wiskit.com/marilyn/battleship.jpeg

pustaka: en.wikipedia.org/wiki/Archimedes_paradox

Selengkapnya...

Paradoks Gayus

Sudah dengar pledoi yang dibacakan Gayus Tambunan dalam sidangnya yang lalu?  Gayus mengatakan ingin dijadikan staf ahli kepolisisan, kejaksaan, atau ketua KPK. Gayus ingin memberantas para koruptor, bukan hanya kelas kakap, tetapi juga kelas hiu dan paus. Maaf, mungkin ini agak basi, tapi baru tadi saya kepikiran ini sebenarnya mirip dengan paradoks tukang cukur seperti postingan saya yang lalu.

Sebagai pemberantas koruptor, Gayus, dan juga institusi lain harus memberantas segala koruptor dan tidak boleh menghambat kinerja pihak-pihak yang juga memberantas koruptor. Jadi, ada dua syarat penting di sini:

1.   Gayus memberantas semua koruptor, tapi Gayus dan institusi pemberantas koruptor tidak menghambat kerja pemberantas koruptor lainnya.

2.   Gayus juga merupakan koruptor.

Nah, pertanyaannya, siapakah yang akan menagkap Gayus?

Selengkapnya...

Paradoks Galileo

Waktunya Kuis!! Kita akan mengambil bilangan bulat positif. Di antara bilangan-bilangan bulat positif itu, ada yang merupakan kuadrat sempurna (memiliki akar kuadrat yang bulat) semisal dalam rentang 1 – 100 ialah 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, dan 100, sedangkan sisanya bukan kuadrat sempurna.  Sekarang kita membahas seluruh bilangan yang ada.

Pertanyaannya:

1.  Manakah yang lebih banyak, kuadrat sempurnya atau bilangan bulat positif yang bukan kuadrat sempurna?

2.  Manakah yang lebih banyak, kuadrat sempurna atau bilangan bulat positif?

Oke, sudah punya jawaban?

Jika kita lihat sekilas dalam rentang 1 – 100, hanya terdapat sepuluh kuadrat sempurna dan sembilan puluh bilangan bulat yang bukan kuadrat sempurna. Jika rentang ini diperbesar selebar apapun selama masih berhingga akan tetap didapatkan jumlah bilangan kuadrat sempurna, n_K, lebih kecil dibanding jumlah bilangan bulat positif yang bukan kuadrat sempurna, n_BK. Sekarang kita perhatikan korespondensi satu-satu pada bilangan bulat positif, BP, terhadap bilangan kuadrat sempurna, K. Tiap elemen bilangan bulat positif tepat memiliki satu pasangan pada himpunan bilangan kuadrat sempurna. Dengan demikian, jumlah elemen bilangan bulat positif haruslah tepat sama dengan jumlah elemen bilangan kuadrat sempurna, n_BP = n_K. Jadi soal nomor (2) sudah terjawab.

Sekarang, perhatikan bahwa bilangan kuadrat sempurna dan bilangan bulat positif non-kuadrat sempurna merupakan  himpunan bagian dari bilangan positif, sehingga

n_BP = n_K + n_BK

padahal n_BP = n_K dan jelas n_BK ≠ 0.

Jadi, mungkinkah jumlah bilangan kuadrat sempurna lebih banyak daripada yang bukan kuadrat sempurna? Bingung? Yang seperti ini selalu muncul jika kita membahas infinity sets.

∞ + (100 × ∞) = ∞

Selengkapnya...

Pembahasan Soal Essai OSP Astronomi 2010

1.   Pada suatu hari, dua hari setelah purnama, Bulan melintasi Pleiades. Saat itu asensiorekta matahari 14^h30^m. Jika periode sideris Bulan adalah 27.33 hari, berapa asensiorekta Pleiades?

Penyelesaian:

Untuk soal ini saya kurang jelas, karena tidak disebutkan tanggalnya mengingat asensiorekta matahari tidak tetap. Asensiorekta bulan bertambah sekitar 49º tiap hari dan saat bulan baru asensiorekta bulan sama dengan matahari. Jadi dua hari setelah purnama (hari ke-16)

α = (16/29,5)*24^h + 14^h30^m = 27^h31^m

bawa dalam format 24 jam, α = 3^h31^m.

2.   Dua kamera diletakkan 50 km terpisah sepanjang khatulistiwa pada arah Timur-Barat danmerekam citra sebuah satelit meledak pada saat yang bersamaan. Kamera di sebelah Barat mengamati ledakan di zenit, sementara kamera di sebelah Timur mengamati ledakan pada ketinggian 55 dari horison Barat. Pada ketinggian berapakah dari permukaan Bumi satelit tersebut meledak?

Penyelesaian:

Mengingat keliling Bumi di ekuator ialah 40000 km, maka jarak 50 km hanya menghasilkan sudut pusat 0,45º, cukup kecil sehingga kita dapat menganggap permukaan lokasi sebagai benda datar. Mengingat rumus trigonometri didapatkan:

h = s × tan θ

h = 50 × tan 55 º = 71,41 km

3.   Dari warnanya, diketahui temperatur sebuah bintang 3000 K (bandingkan dengan temperature matahari yang besarnya 6000 K), tapi luminositasnya 400× luminositas matahari.

a.  Berapa radiusnya ?

b.  Termasuk jenis apakah bintang ini?

c.  Dalam panjang gelombang berapa ia memancarkan energi yang paling banyak?

Penyelesaian:

a.   Berdasarkan rumus radiasi Stefan-Boltzmann, L = 4πR²eσT⁴, didapatkan perbandingan R=√(L/T⁴). Jadi, radius bintang itu ialah

R=√(400/(3000/6000)⁴) = 80 R¤

b. Dari temperaturnya, bintang ini memiliki kelas spektrum M (hal. 202) dan kelas luminositasnya mungkin kelas II atau III.

c.  Gunakan hukum pergeseran Wien

λ = C/T = 0,2898/3000 = 9,66×10^-5 cm

4.   Koordinat α Centaury adalah α=14 jam 40 menit, δ= 60°50’ dan jaraknya 4,4 tahun cahaya. Hitung jarak sudut antara Matahari dan α Centaury, dilihat dari bintang Polaris yang berjarak 430 tahun cahaya dari Bumi.

Penyelesaian:

Karena koordinat Polaris tidak diberikan, kita anggap saja Matahari dan α Centaury berada pada bidang tangensial. Menggunakan perbandingan trigonometri untuk diameter sudut (hal. 24):

sin δ = D/d

δ = tan^-1(4,4/430) = 0º,58

5.   Sebuah galaksi spiral yang bermassa 10¹¹ M¤ dan radius 15 kpc memiliki dua komponen yaitu bulge (tonjolan pusat) dan piringan. Bulge galaksi berbentuk bola dengan radius 2 kpc dan memiliki massa 10 % dari massa total galaksi. Piringan galaksi memiliki ketebalan yang dapat diabaikan dibandingkan dengan diameternya, dan massanya terdistribusi seragam. Jika terdapat sebuah bintang pada jarak 10 kpc dari pusat galaksi, hitung berapa massa yang mempengaruhi gerak bintang tersebut dan berapa kecepatan bintang tersebut mengelilingi galaksi ? (lihat gambarnya pada soal di download)

Penyelesaian:

R = radius galaksi, R_b = radius bulge, r = radius orbit bintang

Massa bulge = 10% * 10¹¹ = 10¹⁰ M¤

Massa piringan tersebar merata pada luasan π(R² – R_b²) yang massanya 90% dari massa total dan yang terletak sebelum bintang (yang mempengaruhi gerak bintang) ialah luasan π(r² – R_b²). Jadi, massa yang memperngaruhi bintang, m’:

(10¹⁰) + ((15² – 2²)/(10² – 2²)) × (9×10¹⁰) = 4,91×10¹⁰ M¤

Kecepatan orbit, v = √(GM/r)

v = √((6,67×10^-11 N kg^-2 m²)(4,91×10¹⁰)(1,99×10³⁰ kg)/(10000×206265×1,496×10¹¹m))

v = 145315 m/s = 145,3 km/s

6.   Pecat sawed (dalam bahasa Jawa) adalah saat posisi Matahari cukup tinggi (tinggi bintang, h = 50 derajat dari cakrawala timur) dan hari sudah terasa panas. Para petani di Jawa biasanya beristirahat dan melepaskan bajak dari leher kerbau (melepas bajak dari leher kerbau=pecat sawed). Jika para petani melihat gugus bintang Pleiades (α₂₀₀₀ = 3^h 47^m 24^s , δ₂₀₀₀ = +24° 7’) berada pada posisi pecat sawed pada saat Matahari terbenam (sekitar pukul 18:30 waktu lokal), maka saat itu adalah waktu untuk menanam padi dimulai. Tentukan kapan waktu menanam padi dimulai (tanggal dan bulan) ! Petunjuk : petani berada pada posisi lintang 7°LS dan bujur 110° BT.

Penyelesaian:

(hal. 103)

t = 18^h30^m = 277º,5

α = 3^h47^m24^s = 56º,85 (ingat 1 jam = 15º)

tinggi bintang, h = 50º dari timur, berarti HA = 90º – 50º = -40º (ingat di timur berarti belum kulminasi, HA-nya negatif)

Untuk patokan pada pukul 00.00 waktu lokal, LST = HA₀₀ + α, atau

LST = HA_t + α – t

LST = -40º + 56º,85 – 277º,5

LST = -260°,65 = 99°,35

Mengingat LST = 0° pada 23 September dan kembali lagi tiap tahun, maka 99°,35 setara dengan 99,35 × 365,25 hari : 360° = 100,8 atau 101 hari. Nah, silakan berhitung 101 hari mulai dari tanggal 23 September, saya dapatnya 2 Januari (kira-kira begitulah), jadi waktu menanam padi itu tanggal 2 Januari.

Selengkapnya...

Grandfather Paradox

Grandfather paradox atau paradoks kakek merupakan suatu teori yang menarik dalam kosmologi utamanya mengenai time traveling. Dalam relativitas khusus kemungkinan pergi ke masa depan tidaklah mustahil, namun pergi ke masa lalu tidaklah semudah pergi ke masa depan, ada banyak problema yang muncul jika wisata waktu ke masa lalu benar-benar dapat dilakukan. Salah satu masalah terbesar dalam wisata ke masa lampau diungkapkan dalam paradoks kakek ini: Si A pergi ke masa lalu dan tanpa sengaja membunuh kakeknya (waktu masih kecil) di sana. Karena kakeknya telah meninggal, berarti ayahnya tidak akan eksis, berarti si A juga tidak akan eksis di dunia, tetapi kita tahu di masa depan si A eksis (yang melakukan time traveling).

Pada postingan lalu mengenai paradoks Schrodinger saya telah menyinggung sedikit mengenai semesta kuantum. Semesta-semesta kuantum berdiri sendiri setelah percabangan, dapat memiliki kejadian awal yang persis sama namun kelanjutannya dapat saja berbeda dan tidak saling mempengaruhi. Semesta kuantum ini tidak dapat digambarkan dalam model kosmos dimensi 4 (3 dimensi ruang dan 1 dimensi waktu: x, y, z, w = t), tetapi dapat diinterpretasikan dalam model kosmos dimensi 5 (3 dimensi ruang dan 2 dimensi ruang/waktu: x, y, x, w = t₁, v = t₂). Patut kita ingat bahwa sumbu keempat (sumbu w) yang merupakan sumbu waktu menurut pengamat 3 dimensi dapat saja menjadi sumbu ruang bagi pengamat 4 dimensi. Jadi rangkaian semesta dengan aliran waktu yang saling terikat disebut rangkaian semesta seri, sedangkan rangkaian semesta yang memiliki sejarah waktu yang berlainan (meskipun bersesuaian) disebut semesta kuantum. Jadi kejadian antara semesta-semesta kuantum dapat saja memiliki sejarah yang sama sampai waktu tertentu, kemudian mulai terpisah dan memiliki kejadian yang sendiri-sendiri yang berbeda.

Jika menggunakan model bola dimensi lima dengan dua ekspansi (ekspansi dimensi empat dan lima) kita akan memperoleh gambaran rangkaian semesta kuantum tersebut. Jika ternyata teori relativitas hanya bekerja pada ruang-waktu dimensi empat (dilasi waktu hanya berkaitan dengan sumbu waktu w = t) maka didapatkan wisata waktu tidak memungkinkan kita untuk maju dan mundur dalam waktu semesta asal kita (secara seri), tetapi kita hanya dapat pergi ke masa depan atau ke masa lalu dari semesta-semesta kuantum yang lain, semesta yang berbeda dengan asal kita.

Secara sederhana, larangan ini dapat digambarkan dalam grafik berikut:

Seseorang yang berasal dari semesta B dalam semesta dimensi empat S pada tahun 2010 berusaha untuk melakukan wisata waktu ke tahun 2000 dan 2020. Patut diingat bahwa kita mustahil memintasi sumbu v, sehingga jelas dalam grafik kita tidak akan pernah pergi ke masa depan dan masa lalu semesta kita sendiri, melainkan ke masa depan dan masa lalu semesta kuantum lain yang bersesuaian.

Kesimpulannya, meskipun si A membunuh kakeknya, itu tidak akan mempengaruhi eksistensinya, si A dan ayahnya dari semesta asalnya akan tetap eksis, sedangkan “si A” dan “ayahnya” di semesta yang dia kunjungi tidak akan eksis. Ini tidak akan berpengaruh pada semesta asalnya karena kedua semesta itu memiliki masa depannya sendiri-sendiri.

Penting: Penjelasan ini didasarkan model kosmos lima dimensi dan multiverse yang merupakan salah satu teori yang diajukan oleh para ilmuwan, namun sama sekali bukan teori yang telah mapan atau diterima secara luas.

Selengkapnya...