Panjang Busur Spiral

Spiral (di sini dimaksudkan spiral Archimedes) dapat dinyatakan dengan fungsi dalam koordinat polar sebagai berikut.

$$ r(\theta)=a\: \theta $$

Bentuknya mirip dengan obat nyamuk, seperti gambar berikut ini (dicomot dari wikipedia).

Di mana \(0 < \theta < \infty\), dan \(a\) merupakan selang/jarak antara point-point berselisih sudut \(2\pi\) radian. Dengan menggunakan kalkulus, kita akan menghitung panjang busur dari spiral dalam selang 0 hingga \(\theta\) dapat dinyatakan dengan

\begin{align} s &= \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r(\theta)^2+\left (\frac{dr(\theta)}{d\theta}\right )^2}\: d\theta \nonumber \\
&= \int_{0}^{\theta} \sqrt{a^2\theta^2+a^2}\: d\theta \nonumber \\
&= \int_{0}^{\theta} \sqrt{\theta^2+1}\: d\theta \nonumber \end{align}

Karena tidak dapat diselesaikan dengan cara biasa, kita lakukan substitusi atau pemisalan

$$ \theta=\tan x \rightarrow d\theta=\sec^2 x\: dx $$ $$ \sqrt{\theta^2+1}=\sqrt{\tan^2 x + 1}=\sqrt{\sec^2 x}=\left | \sec x \right |=\sec x $$

Persamaan kita sebelumnya kini menjadi,

\begin{align} s &= a\int_{0}^{\theta} \sqrt{\theta^2+1}\: \sec^2 x\: dx \nonumber \\
&= a\int_{0}^{\theta} \sec^3 x\: dx \nonumber \end{align}

Bentuk integral dari \(\sec^3 x\) dapat kita turunkan atau lihat langsung di tabel (^^), yaitu:

$$ \int \sec^3 x\: dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2} \ln\left | \sec x + \tan x \right | + C $$

Untuk penjelasannya silakan klik di sini. Akhirnya kalkulasikan batas integrasinya dan lakukan substitusi balik sebagaimana pemisalan sebelumnya, dan didapatkan

\begin{align} s &= \frac{1}{2}a \left [ \sec x \tan x + \ln(\sec x + \tan x) \right ]_0^\theta \nonumber \\
&= \frac{1}{2}a \left [ \theta\sqrt{\theta^2+1} + \ln(\theta+\sqrt{\theta^2+1}) \right ] \nonumber \end{align}

Selesai..

Lihat juga:
Panjang busur heliks

Selengkapnya...

Γ(½)

Berhubung lagi tidak ada ide dan sedang keranjingan latex, jadi saya posting-posting sembarang saja, Mmm.... kali ini mengenai nilai \(\Gamma (1/2)\) [bacanya gamma seperdua]. Fungsi Gamma merupakan bentuk integral tak wajar yang didefinisikan sebagai:

$$ \Gamma (\alpha )=\int_{0}^{\infty} x^{(\alpha -1)}e^{-x}\: dx $$

Sehingga dapat kita cari \(\Gamma (1/2)\) yaitu:

$$ \Gamma \left ( \frac{1}{2} \right )=\int_{0}^{\infty} x^{-\frac{1}{2}}e^{-x}\: dx $$

substitusikan \(x = u^2\), sehingga \(dx = 2u\: du\), didapatkan:

\begin{align} \Gamma \left ( \frac{1}{2} \right ) &= \int_{0}^{\infty} (u^2)^{-\frac{1}{2}}\: e^{-u^2}\: 2u\: du \nonumber \\
&=2 \int_{0}^{\infty} e^{-u^2}\: du \nonumber \end{align}

kuadratkan kedua ruas agar dapat ditransformasi ke koordinat bola:

$$ \left \{ \Gamma \left ( \frac{1}{2} \right ) \right \}^2=\left\{2 \int_{0}^{\infty} e^{-u^2}\: du\right\}\left\{2 \int_{0}^{\infty} e^{-v^2}\: dv\right\}=4\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-(u^2+v^2)}\: dudv $$

Sekarang lakukan transformasi, mengingat \(u^2 + v^2 = r^2\) dan \(du\:dv = r\: dr\: d\theta\) sehingga:

\begin{align} \left \{ \Gamma \left ( \frac{1}{2} \right ) \right \}^2 &= 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\infty}r e^{-r^2}\: dr\: d\theta \nonumber \\
&= 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left [ -\frac{1}{2}e^{-r^2} \right ]^{\infty}_0\: d\theta \nonumber \\
&= 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}\: d\theta \nonumber \\
&= 4\times \frac{1}{2}\times \frac{\pi}{2}=\pi \nonumber \end{align}

Akhirnya diperoleh

$$ \Gamma \left (\frac{1}{2} \right ) = \sqrt{\pi} $$ Selesai.

Selengkapnya...

Volum Kerucut Terpancung

Saya tahu ini cukup mudah, tapi nyatanya di beberapa situs menuliskan rumus yang salah, jadi saya posting saja. Kita mulai soal ini dengan kasus mencari volume dari kerucut terpancung, seperti pada gambar.

Misalkan radius dari lingkaran dasar, r₁ = r dan radius dari lingkaran penutup r₂ = r/3, tinggi t, berapa volumenya? Dengan mudah (meskipun agak ribet) kita dapat menemukan solusinya dengan kalkulus. Dengan mempresentasikan apotema kerucut dalam koordinat kartesian dan generalisasi r₁/r₂ = k sebagai berikut:

Dengan menggunakan persamaan garis lurus y = mx + b, dengan m merupakan gradien atau kemiringan garis, maka didapatkan persamaan garisnya.

Dengan menggunakan kalkulus (volume benda putar), diperoleh:

sehingga:

Dengan r > 1. Rumus di atas bisa kok diubah menjadi variabel r₁ dan r₂, mengingat r₁ = r₁/k.

Adapun untuk luasnya, tambahkan saja luas alas, luas tutup dan luas selimut, di mana luas selimut dengan panjang apotema s diberikan dalam:

Oke, yang tadi memang tidak begitu sulit. Nah, bagaimana dengan yang ini?

Baca juga:
Volum limas terpancung
Volum limas/kerucut terpancung miring Contoh soal mengenai limas terpancung miring Selengkapnya...

Jawaban

Jawaban dari pertanyaan fans (ups.. maksudku pembaca)

1.    Jarak sumbu panjang dan pendek dari elips lntasan merkurius masing2 a dan b (phi=22/7) sedang periode revolusi merkurius=88 hari, mk luas petak bidang yg disapu jari2 arah(garis hubung planet dan matahari) selama 14 hari adalah...

2.    Andaikata bumi beredar melengkapi orbitnya dalam 360 hari bumi dan venus 225 hari, jk pada suatu ktk matahari, bumi dan venus satu garis dan keduanya bergerak dalam arah yang sama, maka kala berikutnya mereka terletak segaris lagi setelah... 

Jawab:

1.    Ingat hukum Keppler 2, garis hubung planet-matahari menempuh luasan yang sama dalam waktu yang sama (hal. 73). Nah, luas elips, L = πab, jadi luas yang ditempuh selama 14 hari ialah (14/88) × (22/7)ab.= ab/2.

2.    Ini tentang periode synodis (S), yaitu periode yang diperlukan agar dua objek berevolusi yang coplanar kembali membentuk satu garis lurus (hal. 59).

S = (T₁×T₂)/(T₁–T₂)

Ingat, jika T₂ berlawanan arah, nilainya negative, karena revolusi Venus dan Bumi searah maka:

S = (360×225)/(360–225) = 600 hari

Selengkapnya...

Tata Koordinat Bola Langit

         Berikut saya membahas mengenai tata koordinat horizon dan ekuator, yang juga merupakan perbaikan dari buku saya. Tata koordinat horizon dan ekuator sangat penting karena sangat sering digunakan untuk menyatakan letak benda langit. Oke, langsung saja disimak..

Tata Koordinat Horizon

Pada tata koordinat horizon, letak bintang ditentukan hanya berdasarkan pandangan pengamat saja. Tata koordinat horizon tidak dapat menggambarkan lintasan peredaran semu bintang, dan letak bintang selalu berubah sejalan dengan waktu. Namun, tata koordinat horizon penting dalam hal pengukuran adsorbsi cahaya bintang.

Ordinat-ordinat dalam tata koordinat horizon adalah:

1.      Bujur suatu bintang dinyatakan dengan azimut (Az). Azimut umumnya diukur dari selatan ke arah barat sampai pada proyeksi bintang itu di horizon, seperti pada gambar azimut bintang adalak 220°. Namun ada pula azimut yang diukur dari Utara ke arah timur, oleh karena itu sebaiknya Anda menuliskan keterangan tentang ketentuan mana yang Anda gunakan.

2.      Lintang suatu bintang dinyatakan dengan tinggi bintang (a), yang diukur dari proyeksi bintang di horizon ke arah bintang itu menuju ke zenit. Tinggi bintang diukur 0° – 90° jika arahnya ke atas (menuju zenit) dan 0° – -90° jika arahnya ke bawah.

Letak bintang dinyatakan dalam (Az, a). Setelah menentukan letak bintang, lukislah lingkaran almukantaratnya, yaitu lingkaran kecil yang dilalui bintang yang sejajar dengan horizon (lingkaran PQRS).

Tata Koordinat Ekuator

Tata koordinat ekuator merupakan sistem koordinat yang paling penting dalam astronomi. Letak bintang-bintang, nebula, galaksi dan lainnya umumnya dinyatakan dalam tata koordinat ekuator. Pada tata koordinat ekuator, lintasan  bintang di langit dapat ditentukan dengan tepat karena faktor lintang geografis pengamat (φ) diperhitungkan, sehingga lintasan edar bintang-bintang di langit (ekuator Bumi) dapat dikoreksi terhadap pengamat. Sebelum menentukan letak bintang pada tata koordinat ekuator, sebaiknya kita mempelajari terlebih dahulu sikap bola langit, yaitu posisi bola langit menurut pengamat pada lintang tertentu.

Sudut antara kutub Bumi (poros rotasi Bumi) dan horizon disebut tinggi kutub (φ) . Jika diperhatikan lebih lanjut, ternyata nilai φ = ϕ, dengan φ diukur dari Selatan ke KLS jika pengamat berada di lintang selatan dan φ diukur dari Utara ke KLU jika pengamat berada di lintang utara. Jadi untuk pengamat pada ϕ = 90° LU lingkaran ekliptika akan berimpit dengan lingkaran horizon,  dan kutub lintang utara berimpit dengan zenit, sedangkan pada ϕ = 90° LS lingkaran ekliptika akan berimpit dengan lingkaran horizon,  dan kutub lintang selatan berimpit dengan zenit

Ordinat-ordinat dalam tata koordinat ekuator adalah:

1.      Bujur suatu bintang dinyatakan dengan sudut jam atau Hour Angle (HA). Sudut jam menunjukkan letak suatu bintang dari titik kulminasinya, yang diukur dengan satuan jam (ingat,1^h = 15°). Sudut jam diukur dari titik kulminasi atas bintang (A) ke arah barat (positif, yang berarti bintang telah lewat kulminasi sekian jam) ataupun ke arah timur (negatif, yang berarti tinggal sekian jam lagi bintang akan berkulminasi). Dapat juga diukur dari 0° – 360° dari titik A ke arah barat.

2.      Lintang suatu bintang dinyatakan dengan deklinasi (δ), yang diukur dari proyeksi bintang di ekuator ke arah bintang itu menuju ke kutub Bumi. Tinggi bintang diukur 0° – 90° jika arahnya menuju KLU dan 0° – -90° jika arahnya  menuju KLS.

Dapat kita lihat bahwa deklinasi suatu bintang nyaris tidak berubah dalam kurun waktu yang panjang, walaupun variasi dalam skala kecil tetap terjadi akibat presesi orbit Bumi. Namun sudut jam suatu bintang tentunya berubah tiap jam akibat rotasi Bumi dan tiap hari akibat revolusi Bumi. Oleh karena itu, ditentukanlah suatu ordinat baku yang bersifat tetap yang menunjukkan bujur suatu bintang pada tanggal 23 September pukul 00.00, yaitu ketika titik Aries ^ tepat berkulminasi atas pada pukul 00.00 waktu lokal (vernal equinox). Ordinat inilah yang disebut asensiorekta (ascencio recta) atau kenaikan lurus, yang umumnya dinyatakan dalam jam. Faktor gerak semu harian bintang dikoreksi terhadap waktu lokal (t) dan faktor gerak semu tahunan bintang dikoreksi terhadap Local Siderial Time (LST) atau waktu bintang, yaitu letak titik Aries pada hari itu. Pada tanggal 23 September LST-nya adalah pukul 00^h, dan kembali ke pukul 00^h pada 23 September berikutnya sehingga pada tanggal 21 Maret, 21 Juni, dan 22 Desember LST-nya berturut-turut adalah 12^h, 18^h, dan 06^h. Jadi LST dapat dicari dengan rumus :

Adapun hubungan LST, HA₀₀ dan asensiorekta (α)

LST = α + HA₀₀                                                                                                 

Dengan t adalah waktu lokal. Misal jika HA₀₀ = +3^h, maka sudut jam bintang pada pukul 03.00 adalah +6^h (sedang terbenam). Ingat, saat kulminasi atas maka HA = 00^h. Dengan demikian didapatkan hubungan komplit bujur pada tata koordinat ekuator

LST + t = α + HA_t

Patut diingat bahwa HA00 ialah posisi bintang pada pukul 00.00 waktu lokal, sehingga posisi bintang pada sembarang waktu ialah:

HA_t = HA₀₀ + t

Dengan α ordinat tetap, HA_t ordinat tampak, LST koreksi tahunan, dan t koreksi waktu harian. Contoh pada gambar di bawah. Pada tanggal 21 Maret, LST-nya adalah 12^h. Jadi letak bintang R dengan koordinat (α, δ) sebesar (16^h,-50º)akan nampak di titik R pada pukul 00.00 waktu lokal. Perhatikan bahwa LST diukur dari titik A kearah barat sampai pada titik Aries ^. Tampak bintang R berada pada bujur (HA₀₀) -60° atau -4 jam. Jadi, bintang R akan berkulminasi atas di titik Ka pada pukul 04.00 dan terbenam di horizon pada pukul 10.00. Asensiorekta diukur dari titik Aries berlawanan pengukuran LST sampai pada proyeksi bintang di ekuator. Jadi telah jelas bahwa.

HA = LST – α

Dengan -x^h = 24^h - x^h

Lingkaran kecil KaKb merupakan lintasan gerak bintang, yang sifatnya nyaris tetap. Untuk bintang R, yang diamati dari ϕ = 40° LS akan lebih sering berada pada di atas horizon daripada di bawah horizon. Pembahasan lebih lanjut pada bagian bintang sirkumpolar.

Tinggi bintang atau altitude, yaitu sudut kedudukan suatu bintang dari horizon dapat dicari dengan aturan cosinus segitiga bola. Tinggi bintang, a, yaitu

a = 90° - ζ

Dimana jarak zenit (ζ) dirumuskan dengan

cos ζ = cos(90° – δ) cos(90° – ϕ) + sin(90° – δ) sin(90° – ϕ) cosHA

Selengkapnya...