Volum Limas/Kerucut Terpancung Miring

Yang lalu pada postingan mengenai volume kerucut terpancung, saya memberikan problem jika kerucut terpancung miring. Ternyata setelah mencakar berlembar-lembar saya tetap tidak mendapatkan solusinya menggunakan kalkulus. Namun menggunakan geometri dengan sampel limas persegi, dapat kita generalisasi untuk mendapatkan solusi volume kerucut terpancung miring.

Oke, ambil sampel limas persegi terpancung, ABCD.EFGH

 

Terdapat dua buah limas terpancung (sebagai prisma miring), yang di bawah ABCD.GF dan yang di atas EFGH.DA. Di sini kita mendefinisikan Δs = (s₁ - s₂)/2. Pecah limas menjadi dua bagian, yaitu dua buah prisma miring

Alas dari kedua prisma tadi merupakan bagian dari trapesium KEFL, dengan alas prisma bawah, segitiga KFL:

dan alas prisma atas, segitiga KFE:

A.  Volume prisma bawah

Prisma ABCD.FG ini adalah bagian bawah dari limas yang terpancung miring. Pecah lagi menjadi tiga bagian, seperti gambar di atas, yaitu sebuah prisma segitiga tegak, dengan alas segitiga KFL dan tinggi = t, sehingga volumenya:

kemudian masih terdapat dua limas persegi panjang di bagian kiri dan kanan, keduanya tentu kongruen. Volume keduanya yaitu:

Jadi, volume total prisma bawah, V₁ didapatkan:

B.  Volume prisma atas

Bagian ini adalah bagian atas dari limas yang terpancung miring. Pecah lagi menjadi tiga bagian, seperti gambar di atas, yaitu sebuah prisma segitiga tegak, dengan alas segitiga KFE dan tinggi = t, sehingga volumenya:

Kemudian masih terdapat dua limas segitiga yang kongruen, salah satunya limas A.KFE yang luas alasnya sama dengan segitiga KFE dan tinggi = AK = Δs, volume keduanya ialah:

Jadi, volume total prisma atas, V₂ didapatkan:

Volume total keduanya V₁ + V₂, haruslah sama dengan volume limas terpancung yang telah didapatkan pada posting yang lalu. Kita coba jumlahkan

Ternyata sudah sesuai.

Bila irisan limas tidak sampai menyentuh dasar (di AD pada gambar di atas), maka volume irisan bawah limas terpancung miring dapat diperoleh dengan mengukur volume segmen limas terpancung paling bawah (misal namakan V₀) ditambah V₁. Demikian pula volume irisan atas limas terpancung miring dapat diperoleh dengan mengukur volume segmen limas paling bawah (misal namakan V₃) ditambah V₂.

Dari hasil yang telah kita peroleh di atas, dapatlah dilakukan generalisasi untuk mendapatkan volume segmen bawah kerucut terpancung miring:

Di mana r₀, r₁ dan r₂ merupakan radius lingkaran dan t₀ dan t₁ ialah tinggi tiap segmen (lihat gambar di bawah). Perbandingan t₀ dan t₀ terhadap tinggi total limas sebelum dipancung, t_lim dapat diperoleh dengan perbandingan segitiga. Dengan demikian, problem lanjut pada postingan volume kerucut terpancung dapat diselesaikan.

 

Baca juga:
Volum kerucut terpancung
Volum limas terpancung
Contoh soal mengenai limas terpancung miring