Membahas paradoks ini berkaitan dengan dimensi geometri. Di dunia kita ini terdepat objek berdimensi nol (titik), satu (garis?), dua (bidang), dan tiga (ruang). Selain itu juga terdapat benda yang memiliki dimensi yang berada diantara bilangan-bilangan bulat tadi, atau berdimensi pecahan yang kita sebut dengan fraktal. Namun mari kita membahas geometri berdimensi bilangan bulat saja. Sebelumnya kita bahas dulu mengenai pembuatan geometri Dn melalui metode integral geometri Dn-1 terhadap panjang.
Ruang merupakan geometri dimensi tiga, memiliki tiga ukuran panjang berdasarkan sistem tiga sumbu (x,y dan z) dengan sumbu-sumbunya saling tegak lurus satu sama lain. Jika kita mampu menambahkan satu sumbu lain yang tegak lurus dengan sumbu x, y dan z, dan menumpuk bangun ruang-bangun ruang lain searah sumbu yang baru tadi maka kita akan mendapatkan geometri dimensi empat.
Bidang merupakan geometri dimensi dua atau memiliki dua ukuran yaitu panjang dan lebar yang diukur berdasarkan dua sumbu (x dan y) yang saling tegak lurus. Jika kita mampu menambahkan satu sumbu lagi (sumbu z) yang tegak lurus sumbu x dan y kemudian menumpuk bidang-bidang lain pada sumbu z akan kita dapatkan geometri dimensi tiga.
Garis(?) merupakan geometri dimensi satu yang hanya memiliki satu ukuran panjang diukur berdasarkan sumbu x (kalau kita menggunakan koordinat 1-manifold). Jika kita menambah satu sumbu lagi yang tegak lurus sumbu x, yaitu sumbu y dan menumpuk garis-garis lain menurut sumbu y maka akan didapatkan geometri dimensi dua.
Persamaan dari ketiga proses di atas yaitu kita hanya dapat membentuk geometri dengan dimensi lebih tinggi jika kita terus menumpuknya pada sumbu baru tadi. Misalkan pada proses 2, papak kertas yang memiliki ketebalan akan terbentuk jika kita menumpuk kertas terus-menerus ke atas (sumbu z), namun jika kita menjejerkannya bersisian (menurut sumbu x dan/atau y) yang kita dapatkan tetaplah geometri berdimensi dua. Demikian juga kita tidak akan bisa membuat geometri dimensi empat dengan menumpuk kardus-kardus begitu saja, tetapi kita harus menumpuknya terhadap sumbu ke-empat. Sayangnya kita tidak dapat menemukan sumbu yang saling tegak lurus dengan tiga sumbu yang sudah ada, berhubung kita hanyalah makhluk berdimensi tiga.
Tentunya dalam keadaan nyata kertas bukanlah dimensi dua, karena memiliki ketebalan meskipun sangat kecil (atau anggap saja merupakan fraktal dengan dimensi dua koma sekian). Jadi jika tebal kertas 0,01 mm, maka setelah 1000 tumpukan akan jadi geometri tiga dimensi dengan ketebalan 10 mm. Jika kita menggunakan objek yang benar-benar berdimensi dua yang ketebalannya nol, dan terus menumpuknya, akankah ketebalannya menjadi lebih besar dari nol? Bisakah jika kita menggambar dengan tinta di kertas dan men-dobelnya terus menerus, gambarnya menjadi tiga dimensi? Jika kita menumpuk seribu atau satu trilyun bahkan berapa pun objek tadi maka ketebalannya adalah satu trilyun kali nol sama dengan nol! Atau dengan kata lain objek tadi tetap saja menjadi geometri dua dimensi. Problem ini dapat diterapkan pada ketiga proses tadi. Paradoks ini telah ada pemecahannya secara metematis yang akan dibahas nanti, namun masih ada yang lain.
Permasalahan lain yang sama membingungkannya adalah titik. Namun sebelumnya lagi-lagi kita membahas dulu tentang geometri dimensi satu, yang biasa kita sebut dengan garis. Benarkah garis merupakan contoh dari geometri dimensi satu? Saya lebih suka menjawab bukan (sudah jelas dari sisipan tanda tanya pada bagian awal tadi), karena garis memiliki ketebalan. Sebagaimana kita tahu bahwa geometri dimensi satu hanya memiliki satu dimensi panjang yaitu ya… panjang, dengan kata lain yang berhak menyandang status sebagai geometri dimensi satu adalah JARAK. Ya bukan? Jarak memiliki satu dimensi panjang, tidak punya ketebalan, dengan kata lain tebalnya tidak ada (sama saja).
Jika kita membahas tentang ketidakkontinuan yang dapat dihapuskan dalam limit[1], mengapa ketidakkontinuan itu dapat dihapuskan? Tentu untuk “garis” x = a merupakan suatu geometri satu dimensi, dengan kata lain tidak memiliki ketebalan, atau ketebalannya sama dengan nol. Jadi untuk selang nol dalam domain yang tidak terpetakan dalam fungsi tidak masalah asalkan disebelah kiri dan kanan titik a tadi memperlihatkan kekontinuan dengan persamaan garis singgung di titik a.
Nah sampailah kita tentang titik. Titik merupakan geometri dimensi nol atau tidak memilii panjang, lebar dan tinggi, dengan kata lain titik itu……. tidak ada! Jadi jika titik itu tidak ada, dimanakah letak titik yang didefinisikan dalam koordidat kartesius itu berada?
[1] Kekontinuan yang dapat dihapuskan jika tidak terdefinisi namun .
Tidak ada komentar:
Posting Komentar