Paradoks Xeno (Zeno)

Paradoks ini pertama kali dikemukakan oleh Xeno, seorang matematikawan asal… saya lupa. Misalkan seorang tentara melarikan diri dari kejaran musuhnya. Ia berada pada jarak 100 meter dari musuhnya dan berlari lurus mejauh dengan kecepatan 10 m/s. Disaat yang bersamaan, si musuh yang notabene pemanah ahli melepaskan anak panahnya dengan kelajuan 100 m/s. Akankah sang tentara yang malang berhasil meloloskan diri? Tentunya kita bisa langsung tahu bahwa tidak lama setelah berita ini diturunkan sang tentara telah terkena panah. Namun demikian Xeno mengemukakan paradoksnya yang kedengarannya logis, yang kemudian dikenal sebagai Paradoks Xeno.

Menurut Xeno:

Setelah satu detik semenjak panah dilepaskan dan tentara berlari, panah menempuh jarak 100 meter dan tentara telah menempuh jarak 110 meter (jarak awal 100 meter + 10 meter), dengan demikian, jarak antara panah dan tentara tinggal 10 meter lagi. Setelah waktu bertambah 0,1 detik lagi, kini panah telah mencapai jarak 110 meter, namun si tentara masih memimpin dengan 111 meter dan ketika waktu bertambah 0,01 detik lagi, panah menempuh jarak 111 meter namun lagi-lagi tentara memimpin dengan 111,1 meter, begitu seterusnya. Asumsi Xeno, panah tidak akan mampu melukai tentara asalkan si tentara mampu mempertahankan arah dan laju larinya sampai akhirnya gerak panah makin melambat dan akhirnya jatuh. Meskipun demikian Xeno tetap yakin ini tidak mungkin terjadi dalam kenyataan. Jadi, manakah yang benar?

Tentunya Paradox ini menyembunyikan kesalahan pemikirannya dengan cukup baik. Kesalahannya adalah, bagaimana panah bisa mengenai tentara jika waktu yang dipilih merupakan pendekatan manual limit jumlah deret konvergen, sedangkan waktu yang diperlukan sama dengan nilai limit itu?

Jarak titik X’, yaitu lokasi ditemukannya korban (TKP) terhadap titik 0, titik tempat panah dilepaskan dapat dicari jika estimasi waktu diketahui. Waktu yang diperlukan panah dari titik 0 ke titik X’ tentunya sama dengan waktu yang diperlukan tentara dari titik X ke titik X’, sedangkan persamaan jarak tempuh tentara, s_t dan panah s_p, yaitu:

s_t = 100 + v_t t

s_p = v_p t

Sehingga estimasi waktunya

100 + v_t t = v_p t

100 + (10)t = 100 t

t = 10/9 detik

Jadi waktu yang diperlukan sampai tentara terkena panah yaitu 10/9 atau 1,11111…..detik, dengan kata lain Xeno harus mengulang kalkulasinya sampai tak hingga. Adapun jarak titik X’ itu adalah

s = 100 + v_t t
s = 100 + (10)(10/9)
s = 1000/9 meter

Atau dengan kerangka anak panah

s = 100(10/9)
s = 1000/9 meter

Atau dengan metode sederhana kita dapat dengan mudah menyatakan kesalahan paradoks ini, yaitu: Setelah dua detik panah menempuh jarak 200 meter, sedangkan tentara menempuh jarak 120 meter, dengan kata lain pada suatu selang dalam perjalanannya panah akan bertemu dengan tentara pada satu titik sebelum laju panah terhenti akibat tertancap di tubuh tentara.