p a r a d o k s: Volum Kerucut Terpancung

Senin, 31 Januari 2011

Saya tahu ini cukup mudah, tapi nyatanya di beberapa situs menuliskan rumus yang salah, jadi saya posting saja. Kita mulai soal ini dengan kasus mencari volume dari kerucut terpancung, seperti pada gambar.

Misalkan radius dari lingkaran dasar, r₁ = r dan radius dari lingkaran penutup r₂ = r/3, tinggi t, berapa volumenya? Dengan mudah (meskipun agak ribet) kita dapat menemukan solusinya dengan kalkulus. Dengan mempresentasikan apotema kerucut dalam koordinat kartesian dan generalisasi r₁/r₂ = k sebagai berikut:

Dengan menggunakan persamaan garis lurus y = mx + b, dengan m merupakan gradien atau kemiringan garis, maka didapatkan persamaan garisnya.

$y=\frac{\left ( 1-\frac{1}{k} \right )r}{t}x+\frac{r}{k}$
$y^2=\frac{\left ( 1+\frac{1}{k} \right )^2r^2}{t^2}x^2+\frac{r^2}{k^2}+\frac{2\left ( 1-\frac{1}{k} \right )^2}{kt}x$

Dengan menggunakan kalkulus (volume benda putar), diperoleh:

$\pi\int_{0}^{t}y^2\: dx=\left [\frac{\left ( 1-\frac{1}{k} \right )^2r^2x^3}{3t^2}+\frac{r^2x}{k^2}+\frac{\left ( 1-\frac{1}{k} \right )r^2x^2}{kt} \right ]_{0}^{t}$

$=\left (\frac{\left ( 1-\frac{1}{k} \right )^2r^2t}{3}+\frac{r^2t}{k^2}+\frac{\left ( 1-\frac{1}{k} \right )r^2t}{k} \right )-0$
$=\frac{\left ( 1-\frac{1}{k} \right )^2r^2t}{3}+\frac{r^2t}{k^2}+\frac{\left ( k-1 \right )r^2t}{k^2}$
$=\frac{\left ( 1-\frac{1}{k} \right )^2r^2t}{3}+\frac{r^2t}{k}$
$=\frac{r^2t}{3}\left ( \left ( 1-\frac{1}{k} \right )^2+\frac{3}{k} \right )$
$=\frac{r^2t}{3}\left ( 1+\frac{1}{k}+\frac{1}{k^2}\right )$

sehingga:

$V=\pi \int_{0}^{t}y^2\: dx=\frac{\pi r^2 t}{3}\left ( 1+\frac{1}{k}+\frac{1}{k^2} \right )$

Dengan r > 1. Rumus di atas bisa kok diubah menjadi variabel r₁ dan r₂, mengingat r₁ = r₁/k.

$V=\frac{1}{3}\pi t\left ( r_1^2+r_1r_2+r_2^2 \right )$

Adapun untuk luasnya, tambahkan saja luas alas, luas tutup dan luas selimut, di mana luas selimut dengan panjang apotema s diberikan dalam:

$L_{\textup{selimut}}=\pi (r_1+r_2)s$

Oke, yang tadi memang tidak begitu sulit. Nah, bagaimana dengan yang ini?

4 komentar:

Anonim23 Juni 2011 pukul 21.01
terima kasih mas.sangat membantu.anjar surabaya
BalasHapus
Balasan
Sunkar Gautama25 Juni 2011 pukul 09.52
@Anjar
sama-sama^^
BalasHapus
Balasan
Reds_bianconerri2 Juli 2011 pukul 20.25
mas... itukan kalo kerucutnya kalo diliat dari samping segitiga samakaki, gomana kalo kerucutnya itu tidur, jadi kalo diliat dari samping bentuknya segitiga siku2, itu persamaan umumnya gimana??? kirim ke emailq ya mas... rusfi.cool@gmail.com... trims....
BalasHapus
Balasan

Tambahkan komentar

p a r a d o k s

Laman

Senin, 31 Januari 2011

Volum Kerucut Terpancung

4 komentar:

Daftar Bacaan Saya

Entri Populer Bulan Ini