Pembahasan Soal Essai OSN Astronomi 2009

1. (DND) Koordinat Antares adalah α= 16^h 29^m 24,40^s , δ = -26° 25′ 55.0″. Tentukanlah waktu sideris pada saat bintang Antares terbit dan terbenam di Jakarta (ϕ = -6° 10′ 28″), dan abaikan refraksi oleh atmosfer Bumi.

Penyelesaian:

α = 16^h 29^m 24,40^s = 16^h,49

δ = -26° 25′ 55.0″ = -26°,43

ϕ = -6° 10′ 28″ = -6°,17

cos h = - tanδ tanϕ = - tan(-26,43) tan(-6,17) = -(-0,4970)(-0,1081) = -0,0537

h = ± 93°,0782 = 6^h,21 = 6^h 12^m,3

Waktu sideris saat Antares terbit:

Θ = α + h = 16^h,49 – 6^h,21 = 10^h 17^m

Waktu sideris saat Antares terbenam:

Θ = α + h = 16^h,49 + 6^h,21 = 22^h 42^m

2. Untuk menentukan waktu menanam padi pada tahun ini, seorang petani yang berada di kota A (λ = 7^h 10^m 27^s BT dan φ = -6° 49′) menggunakan posisi gugus bintang Pleiades (α = 3^h 47^m dan δ = 20° 7′) yang diamati pada jam 7 malam waktu lokal.
   Kebiasaan ini telah dilakukan oleh para petani di pulau Jawa sejak abad ke-17. Pengamatannya dilakukan dengan menggunakan selongsong bambu yang diisi penuh dengan air, dan diarahkan ke gugus bintang Pleiades di arah timur. Volume air yang tumpah akan menandai posisi Pleiades cukup tinggi untuk dimulai musim menanam padi pada tahun tersebut. Jika panjang selongsong bambu adalah 100 cm dan diameternya 10 cm, dan selongsong tersebut diisi air sampai penuh. Kemudian diarahkan ke Pleiades, dan ternyata air yang tumpah sebanyak 0,785 liter. Tentukan kapan waktu pengamatan Pleiades yang dilakukan petani tersebut?

 

Penyelesaian:

Volume awal air = π × 5² × 100 = 7854 cm³ = 7,854 liter

Vtumpah = V₁

V₂ = 7,854 liter – 2V₁ = 7,854 – 2(0,785) = 6,284 liter

πr²l₂ = 6,284 liter, dengan memsukkan nilai di dapatkan:

l₂ = 6,284/(π×0,5²) = 8 dm = 80 cm

Δl = l – l₂ = 100 – 80 = 20 cm, sehingga sudut θ:

tan θ = 10/20 = 0,5

θ = 26°,577

Dengan menggunakan segitiga bola:

cos HA = (cos(90 – h) – cos(90 – φ) cos(90 + δ))/(sin(90 – φ) sin(90 + δ))

Dengan h = 26°,577, φ = -6°49’ dan δ = 20°7’ diperoleh HA = 3^h 54^m, namun karena Pleiades masih di timur (belum kulminasi), maka HA = -3^h 54^m.

Mengingat definisi HA = HA₀₀ + t, atau LST = α + HA – t, dengan memasukkan t = 19h (pukul 7 malam) didapatkan LST = -19^h 7^m atau 4^h 53^m (ingat periodik a = 24+a). Jika kita hitung, maka harinya ialah:

Tanggal = ((4^h 53^m)/(24^h)) (365 hari) = 74 hari dihitung dari 23 September, atau sekitar tanggal 5 Desember.

3. Angin matahari yang isotropik (sama ke segala arah) menyebabkan laju kehilangan massa matahari 3×10^-14 M_Matahari setiap tahunnya.
1. Berapa massa yang di’tangkap’ setiap hari oleh Bumi ketika mengelilingi matahari?
2. Berapa persen pertambahan berat badan kita setiap hari akibat pertambahan massa bumi yang disebabkan oleh angin matahari ini?

Penyelesaian:

Luasan bola yang ditempuh oleh angin matahari sampai ke Bumi ialah:

A = 4πr² = (4π)(1,496×10¹¹)² = 2,812×10²³ m².

Sedangkan luas penampang Bumi yang menghadap ke Matahari ialah:

A₂ = πR² = π(6,371×10⁶)² = 1,275×10¹⁴ m².

Laju aliran partikel matahari, Q = (3×10^-14)(1,99×10³⁰) = 5,97×10¹⁶ kg/tahun.

Massa yang ditangkap Bumi perhari = (A₂/A)(Q/365,25) = 74.110 kg

Pertambahan berat badan sesuai dengan pertambahan percepatan gravitasi Bumi karena pertambahan massa. Dengan berasumsi radius Bumi konstan, maka:

Δw/w = ΔM/M × 100% = (74.110)/(6×1024) = (1,235×10^-18)%

4. Pada saat sebuah bintang masif meledak menjadi sebuah supernova, maka bintang tersebut akan bertambah terang dalam waktu yang singkat dengan luminositasnya 40 milyar kali lebih besar daripada luminositas Matahari. Jika supernova seperti itu tampak di langit seterang Matahari, berapakah jarak supernova tersebut?

Penyelesaian:

E_S = E_M, L_S = 40.000.000.000 L_M, d_S = …?

Mengingat E = L/4πd²:

L_S/4πd_S² = L_M/4πd_M²

L_S/L_M = d_S²/d_M²      à  mengingat L_S = 4×10¹⁰ L_M dan d_M = 1 AU

d_S = √(4×10¹⁰×1) = 2×10⁵ AU = 0,967 pc.

5. Pengamatan pada panjang gelombang radio pada suatu awan gas yang berputar disekeliling sebuah lubang hitam (black hole) yang berada di pusat galaksi X memperlihatkan bahwa radiasi yang berasal dari transisi hidrogen (frekuensi diamnya = 1420 MHz) terdeteksi pada frekuensi 1421,23 MHz.
1. Hitunglah kecepatan awan ini dan apakah awan ini bergerak menuju atau menjauhi kita?
2. Jika awan gas ini berada 0,2 pc dari lubang hitam, dan orbitnya berupa lingkaran, hitunglah massa lubang hitam.

Penyelesaian:

a.       f₀ = 1420,41 MHz, f’ = 1421,23 MHz, jadi Δf = 0,82 KHz.

Gunakan pergeseran Doppler:

v = (Δf/f₀)×c = (0,82/1420,41)(3×10⁸ m/s) = 173.189 m/s

b.      Jika M adalah massa lubang hitam, v kecepatan awan, dan R radius orbit awan, maka:

M = Rv²/G

Mengingat 0,2 pc = 6,17×10¹⁵ m, v = 1,73×10⁵ m/s, dan G = 6,67×10^-11 N m² kg^-2 maka dengan memasukkan nilai didapatkan M = 2,78×10³⁶ kg.

Selengkapnya...

Paradoks Ulang Tahun

        Berapakah jumlah orang yang berulang tahun pada hari yang sama di kelasmu? Berapa peluang dua orang memiliki hari ulang tahun yang sama? Dengan berasumsi satu tahun sama dengan 365 hari (mengabaikan kelebihan hari pada bulan Februari) tentunya peluang agar terdapat dua orang yang berulang tahun pada hari yang sama mencapai 100 % jika terdapat 366 orang. Namun jika kita membicarakan peluang, kita dapat menghitung kemungkinan-kemungkinan dalam peluang tertentu. Paradoks ini mengatakan diperlukan cukup 23 orang agar peluang ada dua orang yang memiliki hari ulang tahun yang sama 50 %. Lho?

        Problem ini dapat diselesaikan dengan metode probabilistik statistik. Jika terdapat 23 orang, berarti ada  ₂₃C₂ = 253 pasangan yang bisa dibentuk. Peluang agar dua orang tidak memiliki ulang tahun yang sama ialah:

• Q = 365/365 × 364/365 × 363/365 × ... × 342/365
• Q = (1/365)²³ × (365 × 364 × 363 × ... × 343)
• Q = 365!/342! × (1/365)²³

 
^{Jika dihitung akan didapatkan 0,49270276, sehingga peluang dua orang memiliki hari ulang tahun yang sama, P = 1 - Q = 0,507297 = 50,7297%.}

         ^{Jika kita mengambil pasangan-pasangan yang ada, yaitu 253, sedangkan peluang dua orang berulang tahun sama, p = 1/365 dan peluang dua orang memiliki dua hari ulang tahun yang berbeda q = 364/365, maka:}

Q = (364/365)²⁵³  = 0,4995 sehingga P = 1 - Q = 1 - 0,4995 = 0,5005 = 50,05 %.  Hasil yang tidak jauh berbeda dengan perhitungan pertama.

Sumber gambar : http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/thumb/f/ff/Birthdaymatch.png/450px-Birthdaymatch.png Pustaka : http://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem, http://cryptoagi.blogspot.com/2010/01/birthday-paradox.html Selengkapnya...

Aproksimasi Keliling Elips

Menentukan keliling elips ternyata tidak semudah menentukan luasnya. Tidak ada persamaan eksak yang sederhana untuk mencari keliling suatu elips. Ada yang sederhana, tapi tidak eksak, dan yang eksak tidak sederhana, karena berbentuk infinity series yang tentunya dalam penghitungan dilakukan pemotongan suku yang jadinya tidak eksak juga, tapi keteitiannya bisa kita ubah sesuka hati. Penentuan keliling elips penting dalam bidang keteknikan seperti menghitung jumlah material yang diperlukan untuk membuat sebuah tangki beralas elips dan volum cairan di dalamnya. Beberapa rumus keliling elips yang mungkin pernah Anda lihat ialah:

$$K = \pi(a+b)$$ atau $$K = \pi \sqrt{2(a^2 + b^2)}$$

yang sama sekali tidak presisi.

Dalam koordinat kartesian, elips yang berpusat di \(P=(x_0,y_0)\) dengan sumbu panjang \(a\) dan sumbu pendek \(b\) (sudah saya bahas di sini) diperikan oleh persamaan

$$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$$

Di mana sumbu panjang elips sejajar sumbu-X. Bila elips berpusat di \((0,0)\), persamaan elips dapat dituliskan sebagai

$$ y = b \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} $$

Luas elips didefinisikan sebagai:

$$ L = 2\int_{-a}^{a} y(x)\: \mathrm{d}x = 2 \frac{b}{a} \int_{-a}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\: \mathrm{d}x = 2\frac{b}{a}\left ( \frac{\pi a^2}{2} \right )$$ $$ L = \pi a b$$

Adapun kelliling elips memenuhi

$$ K = 2\int_{-a}^{a} \sqrt{1+\left ( \frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x} \right )^2}\: \mathrm{d}x $$

yang solusinya tidak dapat diberikan dalam fungsi analitik yang dikenal. Oleh karena itu, keliling elips hanya dapat dihitung menggunakan jumlahan deret atau formula aproksimasi. Salah satu rumus aproksimasi keliling dari Ramanujan ialah sebagai berikut

$$K\approx \pi(a+b)(1+3h/(10+\sqrt{4+3h}\, ))$$

dengan

$$h=\frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}$$

Rumus dari Ramanujan di atas sangat teliti untuk eksentrisitas yang tidak begitu besar, tapi cukup melenceng pada elips yang sangat pepat. Dapat dibuktikan bahwa elips dengan eksentrisitas \(e = 0\) (lingkaran, \(a = b\)) kelilingnya akan menjadi \(K = \pi(a+b)\), sedangkan jika \(e = 1\) kelilingnya akan menjadi \(K = 4a\) karena b-nya menjadi nol. Berbagai rumus-rumus aproksimasi dan infinity series untuk keliling elips dapat Anda simak lebih jelas di http://www.numericana.com/answer/ellipse.htm. Persamaan aproksimasi lain yang lebih sederhana (namun lebih tidak teliti, tetapi cukup dapat diandalkan) serta contoh infinity seriesnya ialah:

$$K\approx \pi\sqrt{2\left ( a^2+b^2 \right )-\left ( a-b \right )^2/2}$$ $$K\approx 2a \pi\left [ 1-\left ( \frac{1!!}{2!!} \right )^2e^2-\left ( \frac{3!!}{4!!} \right )^2\frac{e^4}{3}-\left ( \frac{5!!}{6!!} \right )^2\frac{e^6}{5}-... \right ]$$

dengan \(e\) eksentrisitas elips, \(e = \frac{\sqrt{a²-b²}}{a}\) dan tanda '!!' merupakan operasi faktorial ganda (misal 7!! = 7×5×3×1, atau 8!! = 8×6×4×2). Bagi yang tidak suka repot, berikut program numerik buatan saya yang berbasis spreadsheet untuk memudahkan pekerjaan tanpa perlu ngitung. Silakan di unduh jika mau.

Selengkapnya...

Download file di Scribd tanpa hosting

        Banyak file-file keren bisa didapat dari scribd.com dan kalau mau bisa didownload gratis/tanpa hosting.Begini caranya:

1. Buka halaman scribd tempat file yang ingin Anda download dari scribd, lalu kopi kode filenya (delapan digit angka).
2. Ketikkan di adress bar: http://www.scribd.com/mobile/documents/xxxxxxxx/download?commit=Download+Now&secret_password= (ganti xxxxxxxx dengan kode file)
3. Jendela download akan muncul silakan di download.

        Atau bisa juga ke scribd mobile dulu.

Selengkapnya...

Problem Bulu-bulu Kaki

        Pertanyaan ini datang dari seorang rekan, sebut namanya Aldytia (nama tidak disamarkan) Oke, ini memang suatu misteri yang kelihatannya aneh. Bulu-bulu kaki (lebih tepatnya rambut-rambut kaki) setelah dicukur dan dibiarkan tumbuh lagi sepertinya kelihatan bertambah lebat, itu jika mata tidak menipu kita. Jangan berpikir itu adalah suatu reaksi gaib antara bulu kaki dan pisau silet, dan bagaimanapun jangan membayangkan pori-pori Anda berlipat akibat reaksi itu. 

        Mungkin anggapan ini muncul karena beranalog dengan dahan pohon yang kalau dipotong bakal tambah lebat dan bercabang-cabang. Bukan, pada tumbuhan terdapat hormon auksin yang dihasilkan oleh jaringan meristem apikal (pucuk) yang mengakibatkan dominasi apikal. Memangkas pucuk dahan berarti menghilangkan sebagian besar auksin pada dahan itu, akibatnya tunas-tunas lateral dapat tumbuh dengan leluasanya. Tapi pada rambut tidak ada auksin, jadi bagaimana ini bisa terjadi? Sebenarnya sederhana saja, rambut mamalia berbentuk kerucut panjang, besar di pangkal dan kecil di ujungnya. Saat pertama kali Anda memangkas rambut-rambut kaki sialan itu berarti Anda menghilangkan bagian yang berpenampang kecil. Akibatnya, saat rambut Anda kembali tumbuh, strukturnya akan akan menjadi tebal di ujung dan lebih tebal lagi di pangkalnya. Solusi sederhana untuk mengembalikan bentuk rambut alami Anda adalah dicabut sampai akar, meskipun itu tidak dianjurkan.

Selengkapnya...