Terdapat dua buah roda yang tersusun seporos dan melekat, yang satu berjejari lebih besar daripada yang lain. Jika sistem roda ini digelindingkan tanpa slip sebesar satu putaran, maka lintasan yang ditempuh oleh roda akan sama panjangnya dengan keliling roda itu. Coba perhatikan gambar, jika sistem roda itu diputar, maka nampak lintasan roda kecil (merah) sama panjangnya dengan lintasan roda besar (biru) – artinya keduanya memiliki keliling yang sama. Padahal jelas jejari roda merah lebih kecil dari jejari roda biru. Hmm, sebuah paradoks.
Kok bisa begitu ya? Apa ada yang salah?
Coba dipikir dulu…
Oke, mari kita selesaikan paradoks ini. Untuk sistem roda seporos yang saling melekat, kecepatan sudut kedua roda pastilah sama, karena jika roda satu diputar 360° maka roda yang lain juga pasti akan berputar 360°.
Kelajuan linier roda didefinisikan sebagai panjang lintasan yang ditempuh suatu titik pada tepi roda terhadap perubahan waktu. Jadi kelajuan linier dari masing-masing roda setara dengan panjang lintasan tepi roda dibagi dengan periodenya.
Jika kita namakan jejari roda kecil dengan RA dan roda besar dengan RB, maka jelaslah kelajuan linier dari roda kecil lebih kecil daripada kelajuan linier dari roda besar
Jadi ketika kedua roda diputar satu periode, lintasan yang ditempuh oleh kedua roda pastilhah perbeda, yakni 2πRA dan 2πRB. Karena kedua roda melekat, maka pastilah salah satu atau kedua roda itu mengalami slip – artinya lintasan yang ditempuh itu tidak mesti setara dengan keliling roda. Paradoks terselesaikan…
Rapat peluang atau rapat probabilitas biasa kita kenal direpresentasikan dengan kurva distribusi dalam statistik. Well, karena saya menemukan misteri ini saat belajar kembali mengenai fisika kuantum, jadi di sini akan saya gunakan rapat peluang keberadaan partikel (semisal elektron) dalam suatu daerah. Untuk memudahkan, saya pilih kasus yang sederhana saja, yakni partikel dalam sumur potensial tak hingga satu dimensi.
Jadi, dalam kasus ini, partikel terletak dalam ruang satu dimensi (satu derajat kebebasan) yakni pada sumbu-X. Selanjutnya, nilai potensial digambarkan dalam sumbu-Y sehingga sumur potensial berbentuk seperti gambar di bawah ini.
Daerah \(x \lt -a\) dan \(x \gt a\) dipengaruhi potensial yang sangat besar, dan untuk kemudahan matematis kita anggap tak hingga. Adapun daerah \(-a \lt x \lt a\) potensialnya = 0. Jika partikel memiliki energi kinetik \(E\) (berhingga tentunya), padahal potensial di daerah kiri dan kanan “sumur” didera potensial tak hingga maka pastilah partikel tak akan mampu berada di daerah itu. Dengan demikian partikel akan terperangkap dalam sumur.
Selanjutnya, mari kita panggil persamaan Schrödinger untuk fungsi gelombang bebas-waktu,
Untuk daerah \(x \lt -a\) dan \(x \gt a\) yang kita sebut “zona terlarang”, fungsi gelombangnya sama dengan nol karena partikel tak mungkin berada di situ. Adapun untuk daerah \(-a \lt x \lt a\), persamaan Schrödinger-nya menjadi:
Mengingat bentuk persamaan gelombang maka dengan mudah didapati konstanta \(\frac{2mE}{\hbar^2}\) berperan sebagai kuadrat bilangan gelombang, \(k^2\), sehingga diperoleh:
yang solusinya
Setelah menerapkan syarat batas yakni syarat kontinuitas di x = -a dan di x = a,
Dari syarat total peluang harus sama dengan 1, koefisien A dan B (amplitudo gelombang) dapat diperoleh dengan normalisasi fungsi \(\int_{-\infty}^{\infty}\left |\psi \right |^2 dx = 1\) yang memberikan hasil \(A = B = \frac{1}{\sqrt{a}}\).
Akhirnya diperoleh solusi
Mengapa dipilih problem yang sederhana dan penjelasan ringkas ialah karena yang ingin saya tunjukkan bukan penyelesaian persamaan gelombangnya, melainkan rapat distribusinya. Dengan menggunakan Matlab saya membuat skrip untuk menggambarkan solusinya di bawah ini.
Untuk n = 1 saya tampilkan khusus gambarnya
Grafik di kanan ialah rapat peluang (peluang keberadaan, |ψ|2) partikel sepanjang selang [-5.5]. Jika dihitung, peluang partikel berada dalam selang [-5,5] = 1, karena partikel tidak mungkin berada di luar selang itu. Pada grafik kita temukan pula bahwa peluang menemukan partikel paling besar di sekitar x = 0, dengan kata lain si partikel paling mungkin berada di tengah-tengah. Nah, berapakah peluang partikel berada di x = 0? Ayo, ayo, silakan dijawab.
...
...
Jawabannya bukan 0,2, tetapi nol! Atau setidaknya secara matematis begitu. Jika Anda menjawab 0,2, dengan metode serupa coba bayangkan peluang partikel berada di x = 0,001. Hampir 0,2, kan? Di x = 0,002 juga hampir 0,2, di x = 0,003 juga hampir 0,2 —— kalau dijumlahkan sepanjang selang, total peluangnya pasti akan jauh lebih besar daripada 1. Sangat tidak logis, bukan? Jadi, jangan salah paham dengan angka rapat peluang. Peluang sebenarnya ialah rapat peluang dikalikan dengan ruang (analog dengan massa sama dengan rapat massa dikalikan volumenya). Jadi, dalam kasus ini peluang adalah luas daerah di bawah kurva. Sebagai contoh untuk selang (0,1). Kita lakukan pendekatan saja di sini, didapatkan luas daerah di bawah kurva dalam selang (0,1) ialah \(\frac{0,2+0,18}{2}\) dikalikan lebar selang (yakni 1) sehingga peluang partikel berada dalam selang (0,1) ialah sekitar 0,19. Contoh lainnya, peluang partikel berada dalam selang selang (-2,2) ialah (0,13+0,2)/2 dikalikan lebar selang (yakni 4) ialah 0,66. Terakhir, peluang partikel berada dalam selang (-5,5) ialah (0+0,2)/2 dikalikan dengan 10 sama dengan 1. Perhatikan bahwa luas persegi di kanan = 10 × 0,2 = 2 atau tepat dua kali luas daerah di bawah kurva.
Nah, sekarang kita kembali ke pertanyaan sebelumnya: berapa peluang partikel berada tepat di x = 0? Peluangnya ialah 0,2 dikalikan dengan lebar selangnya (lebar dari titik ialah 0) menghasilkan nol. Jadi peluang partikel tepat berada di titik x = 0 (atau di titik mana pun) secara matematis sama dengan nol. Kok bisa? Sederhanyanya, bayangkan saja dadu bersisi enam dilemparkan. Berapa peluang munculnya mata dadu satu?
Jadi peluang munculnya mata dadu satu ialah 1/6. Dalam kasus partikel tadi, ada tak hingga banyaknya titik dalam selang [-5,5], sehingga peluang sebuah partikel berada di sembarang satu titik ialah 1/∞ = 0. Dengan demikian peluang keberadaan partikel harus diberikan dalam suatu selang, bukan titik.
Timbullah suatu paradoks:
Andaikan suatu partikel harus berada dalam selang [-5,5] sedangkan tiap titik dalam selang itu memiliki peluang ditemukannya partikel, p = 0, jadi di mana partikel itu harus berada?
Skrip Matlab:
% Grafik Solusi Sumur Potensial Tak Hingga
% @ Sunkar E.G.
clear;
y=1;t=0;
jenis=input('mode input?(y/t)');
a=input('batas = ');
x=linspace(-a,a,200);
if jenis==1
n=input('n = ');
if mod(n,2)==0
psi=(1/sqrt(a))*sin(n*pi*x/(2*a));
else
psi=(1/sqrt(a))*cos(n*pi*x/(2*a));
end
psi2=psi.^2;
subplot(121)
plot(x,psi);
xlabel('x');ylabel('y');
title('Fungsi Gelombang (\Psi)');
subplot(122)
plot(x,psi2)
xlabel('x');ylabel('rapat peluang');
title('|\Psi|^2');
subplot(111)
else
psi1=(1/sqrt(a))*cos(1*pi*x/(2*a));
psi3=(1/sqrt(a))*cos(3*pi*x/(2*a));
psi2=(1/sqrt(a))*sin(2*pi*x/(2*a));
psi4=(1/sqrt(a))*sin(4*pi*x/(2*a));
psi12=psi1.^2;psi22=psi2.^2;psi32=psi3.^2;psi42=psi4.^2;
subplot(121)
plot(x,psi1,x,psi2,x,psi3,x,psi4)
xlabel('x');ylabel('y');
title('Fungsi Gelombang (\Psi)');
legend('n=1','n=2','n=3','n=4')
subplot(122)
plot(x,psi12,x,psi22,x,psi32,x,psi42)
grid on
xlabel('x');ylabel('rapat peluang');
title('|\Psi|^2');
subplot(111)
end
Buku saya yang ke-dua mengenai kalkulus dasar hingga sedikit menyinggung kalkulus lanjut. Buku berjudul Kalkulus Dasar - Untuk Sekolah Menengah Atas dan Awal Universitas ini akhirnya kelar.
Isi:
Himpunan dan Fungsi
Limit
Turunan
Integral
Turunan Parsial dan Turunan Berarah
Aplikasi Turunan dan Integral
Deret Tak Hingga
Pengantar Persamaan Diferensial
Buku ini berformat *.docx, tanpa proteksi apa pun. Anda berhak menggunakan dan mengedarkannya kepada siapapun sesukanya, tetapi tidak untuk dikomersilkan! Saya berterima kasih kepada saudara-saudari pengunjung blog ini, pengguna buku Astronomi dan Astrofisika, dan segenap teman-teman saya yang, meskipun Anda tidak tahu, Anda adalah orang-orang yang memotivasi terbitnya buku ke-dua saya ini. Buku-buku saya diterbitkan atas nama Paradoks Softbook Publisher, semacam yayasan penerbit dunia maya non profit yang kerjanya hanya untuk memajukan pendidikan di Indonesia. Dan karena itu, untuk sementara weblog paradoks77.blogspot.com akan menjadi laman resmi penerbit. Jika ada saudara-saudari yang ingin menawarkan bantuan, komentar saja ke sini atau lewat surel saya.
Akhirnya, selamat mengunduh dan menggunakan buku Kalkulus Dasar.
Halo para pembaca, kali ini admin hendak memamerkan hasil riset yang dimulai beberapa bulan lalu, yakni pembuatan mini dinamit sebagai sumber gelombang mekanik (source) untuk pengambilan data seismik. Dalam pengambilan data seismik biasanya digunakan source menggunakan dinamit (jika memerlukan gelombang yang besar) atau palu seismik (jika memerlukan gelombang yang kecil). Gelombang yang diciptakan palu sangat minim yang menembus tanah (keras sih keras, karena kebanyakan larinya ke udara) apalagi bila instrumen tidak begitu peka, sedangkan cukup sulit untuk memperoleh dinamit (segala perizinan dan harganya yang mahal). Lagi pula, untuk riset kelas mahasiswa gelombang yang dihasilkan dinamit terlalu besar untuk lapangan pengamatan yang cukup kecil sehingga bisa dikata mubazir.
Untuk memecahkan masalah ini, senior saya mahasiswa geofisika yang bernama Muhammad Hasby mempunyai ide membuat mini dinamit yang ukurannya bisa disesuaikan sesuka hati. Nah, untuk merealisasikannya admin dan saudara Aldytia melakukan riset ini. Tentunya dalam postingan ini tidak akan dibahas cara pembuatannya mengingat kemungkinan disalahgunakan. Jadi di sini saya hanya memberikan hasilnya saja. Hasil dibawah ialah ujicoba mini dinamit 250 gram dengan pemicu listrik DC 12 V via kabel.
Dalam ujicoba, bom ditanam dalam lubang berbentuk sumur sedalam 40 cm, lalu ditimbun lagi dan tanahnya dipadatkan. Tentu saja 250 gram itu cukup kecil, dan bisa diperbesar volumenya sesuai kebutuhan atau ditambah zat aditif untuk memperbesar daya ledaknya.
Jika ada mahasiswa yang ingin melakukan penelitian seismik tertarik dengan produk kami, silakan menghubungi admin. Tentunya kami hanya melayani untuk pekerjaan legal.
Perhatian! Semua tulisan pada blog ini merupakan karya intelektual admin baik dengan atau tanpa literatur, kecuali disebutkan lain. Admin berterima kasih jika ada yang bersedia menyebarkan tulisan-tulisan atau unggahan lain di blog ini dengan tetap mencantumkan sumber artikel. Pemuatan ulang di media online mohon untuk diberikan tautan/link sumber. Segala bentuk plagiasi merupakan pelanggaran hak cipta.
