Misteri Rapat Peluang

Rapat peluang atau rapat probabilitas biasa kita kenal direpresentasikan dengan kurva distribusi dalam statistik. Well, karena saya menemukan misteri ini saat belajar kembali mengenai fisika kuantum, jadi di sini akan saya gunakan rapat peluang keberadaan partikel (semisal elektron) dalam suatu daerah. Untuk memudahkan, saya pilih kasus yang sederhana saja, yakni partikel dalam sumur potensial tak hingga satu dimensi.

Jadi, dalam kasus ini, partikel terletak dalam ruang satu dimensi (satu derajat kebebasan) yakni pada sumbu-X. Selanjutnya, nilai potensial digambarkan dalam sumbu-Y sehingga sumur potensial berbentuk seperti gambar di bawah ini.

Daerah \(x \lt -a\) dan \(x \gt a\) dipengaruhi potensial yang sangat besar, dan untuk kemudahan matematis kita anggap tak hingga. Adapun daerah \(-a \lt x \lt a\) potensialnya = 0. Jika partikel memiliki energi kinetik \(E\) (berhingga tentunya), padahal potensial di daerah kiri dan kanan “sumur” didera potensial tak hingga maka pastilah partikel tak akan mampu berada di daerah itu. Dengan demikian partikel akan terperangkap dalam sumur.

Selanjutnya, mari kita panggil persamaan Schrödinger untuk fungsi gelombang bebas-waktu,

Untuk daerah \(x \lt -a\) dan \(x \gt a\) yang kita sebut “zona terlarang”, fungsi gelombangnya sama dengan nol karena partikel tak mungkin berada di situ. Adapun untuk daerah \(-a \lt x \lt a\), persamaan Schrödinger-nya menjadi:

Mengingat bentuk persamaan gelombang maka dengan mudah didapati konstanta \(\frac{2mE}{\hbar^2}\) berperan sebagai kuadrat bilangan gelombang, \(k^2\), sehingga diperoleh:



yang solusinya


Setelah menerapkan syarat batas yakni syarat kontinuitas di x = -a dan di x = a,


Dari syarat total peluang harus sama dengan 1, koefisien A dan B (amplitudo gelombang) dapat diperoleh dengan normalisasi fungsi \(\int_{-\infty}^{\infty}\left |\psi \right |^2 dx = 1\) yang memberikan hasil \(A = B = \frac{1}{\sqrt{a}}\).

Akhirnya diperoleh solusi

Mengapa dipilih problem yang sederhana dan penjelasan ringkas ialah karena yang ingin saya tunjukkan bukan penyelesaian persamaan gelombangnya, melainkan rapat distribusinya. Dengan menggunakan Matlab saya membuat skrip untuk menggambarkan solusinya di bawah ini.

Untuk n = 1 saya tampilkan khusus gambarnya

Grafik di kanan ialah rapat peluang (peluang keberadaan, |ψ|²) partikel sepanjang selang [-5.5]. Jika dihitung, peluang partikel berada dalam selang [-5,5] = 1, karena partikel tidak mungkin berada di luar selang itu. Pada grafik kita temukan pula bahwa peluang menemukan partikel paling besar di sekitar x = 0, dengan kata lain si partikel paling mungkin berada di tengah-tengah. Nah, berapakah peluang partikel berada di x = 0? Ayo, ayo, silakan dijawab.

...
...

Jawabannya bukan 0,2, tetapi nol! Atau setidaknya secara matematis begitu. Jika Anda menjawab 0,2, dengan metode serupa coba bayangkan peluang partikel berada di x = 0,001. Hampir 0,2, kan? Di x = 0,002 juga hampir 0,2, di x = 0,003 juga hampir 0,2 —— kalau dijumlahkan sepanjang selang, total peluangnya pasti akan jauh lebih besar daripada 1. Sangat tidak logis, bukan? Jadi, jangan salah paham dengan angka rapat peluang. Peluang sebenarnya ialah rapat peluang dikalikan dengan ruang (analog dengan massa sama dengan rapat massa dikalikan volumenya). Jadi, dalam kasus ini peluang adalah luas daerah di bawah kurva. Sebagai contoh untuk selang (0,1). Kita lakukan pendekatan saja di sini, didapatkan luas daerah di bawah kurva dalam selang (0,1) ialah \(\frac{0,2+0,18}{2}\) dikalikan lebar selang (yakni 1) sehingga peluang partikel berada dalam selang (0,1) ialah sekitar 0,19. Contoh lainnya, peluang partikel berada dalam selang selang (-2,2) ialah (0,13+0,2)/2 dikalikan lebar selang (yakni 4) ialah 0,66. Terakhir, peluang partikel berada dalam selang (-5,5) ialah (0+0,2)/2 dikalikan dengan 10 sama dengan 1. Perhatikan bahwa luas persegi di kanan = 10 × 0,2 = 2 atau tepat dua kali luas daerah di bawah kurva.

Nah, sekarang kita kembali ke pertanyaan sebelumnya: berapa peluang partikel berada tepat di x = 0? Peluangnya ialah 0,2 dikalikan dengan lebar selangnya (lebar dari titik ialah 0) menghasilkan nol. Jadi peluang partikel tepat berada di titik x = 0 (atau di titik mana pun) secara matematis sama dengan nol. Kok bisa? Sederhanyanya, bayangkan saja dadu bersisi enam dilemparkan. Berapa peluang munculnya mata dadu satu?

Jadi peluang munculnya mata dadu satu ialah 1/6. Dalam kasus partikel tadi, ada tak hingga banyaknya titik dalam selang [-5,5], sehingga peluang sebuah partikel berada di sembarang satu titik ialah 1/∞ = 0. Dengan demikian peluang keberadaan partikel harus diberikan dalam suatu selang, bukan titik.

Timbullah suatu paradoks:

Andaikan suatu partikel harus berada dalam selang [-5,5] sedangkan tiap titik dalam selang itu memiliki peluang ditemukannya partikel, p = 0, jadi di mana partikel itu harus berada?

Skrip Matlab:

% Grafik Solusi Sumur Potensial Tak Hingga
% @ Sunkar E.G.
clear;
y=1;t=0;
jenis=input('mode input?(y/t)');
a=input('batas = ');
x=linspace(-a,a,200);
if jenis==1
n=input('n = ');
if mod(n,2)==0
psi=(1/sqrt(a))*sin(n*pi*x/(2*a));
else
psi=(1/sqrt(a))*cos(n*pi*x/(2*a));
end
psi2=psi.^2;
subplot(121)
plot(x,psi);
xlabel('x');ylabel('y');
title('Fungsi Gelombang (\Psi)');
subplot(122)
plot(x,psi2)
xlabel('x');ylabel('rapat peluang');
title('|\Psi|^2');
subplot(111)
else
psi1=(1/sqrt(a))*cos(1*pi*x/(2*a));
psi3=(1/sqrt(a))*cos(3*pi*x/(2*a));
psi2=(1/sqrt(a))*sin(2*pi*x/(2*a));
psi4=(1/sqrt(a))*sin(4*pi*x/(2*a));
psi12=psi1.^2;psi22=psi2.^2;psi32=psi3.^2;psi42=psi4.^2;
subplot(121)
plot(x,psi1,x,psi2,x,psi3,x,psi4)
xlabel('x');ylabel('y');
title('Fungsi Gelombang (\Psi)');
legend('n=1','n=2','n=3','n=4')
subplot(122)
plot(x,psi12,x,psi22,x,psi32,x,psi42)
grid on
xlabel('x');ylabel('rapat peluang');
title('|\Psi|^2');
subplot(111)
end