Paradoks Galileo

Waktunya Kuis!! Kita akan mengambil bilangan bulat positif. Di antara bilangan-bilangan bulat positif itu, ada yang merupakan kuadrat sempurna (memiliki akar kuadrat yang bulat) semisal dalam rentang 1 – 100 ialah 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, dan 100, sedangkan sisanya bukan kuadrat sempurna.  Sekarang kita membahas seluruh bilangan yang ada.

Pertanyaannya:

1.  Manakah yang lebih banyak, kuadrat sempurnya atau bilangan bulat positif yang bukan kuadrat sempurna?

2.  Manakah yang lebih banyak, kuadrat sempurna atau bilangan bulat positif?

Oke, sudah punya jawaban?

Jika kita lihat sekilas dalam rentang 1 – 100, hanya terdapat sepuluh kuadrat sempurna dan sembilan puluh bilangan bulat yang bukan kuadrat sempurna. Jika rentang ini diperbesar selebar apapun selama masih berhingga akan tetap didapatkan jumlah bilangan kuadrat sempurna, n_K, lebih kecil dibanding jumlah bilangan bulat positif yang bukan kuadrat sempurna, n_BK. Sekarang kita perhatikan korespondensi satu-satu pada bilangan bulat positif, BP, terhadap bilangan kuadrat sempurna, K. Tiap elemen bilangan bulat positif tepat memiliki satu pasangan pada himpunan bilangan kuadrat sempurna. Dengan demikian, jumlah elemen bilangan bulat positif haruslah tepat sama dengan jumlah elemen bilangan kuadrat sempurna, n_BP = n_K. Jadi soal nomor (2) sudah terjawab.

Sekarang, perhatikan bahwa bilangan kuadrat sempurna dan bilangan bulat positif non-kuadrat sempurna merupakan  himpunan bagian dari bilangan positif, sehingga

n_BP = n_K + n_BK

padahal n_BP = n_K dan jelas n_BK ≠ 0.

Jadi, mungkinkah jumlah bilangan kuadrat sempurna lebih banyak daripada yang bukan kuadrat sempurna? Bingung? Yang seperti ini selalu muncul jika kita membahas infinity sets.

∞ + (100 × ∞) = ∞