Potensial dan Medan Elektrostatik pada Dipole

Salah satu metode khusus dalam penghitungan potensial listrik ialah metode ekspansi multipole, yakni suatu muatan non-titik pada jarak yang sangat jauh sehinggap bisa dianggap titik. Pada sebaran muatan itu terdapat kaitan-kaitan monopole (tunggal), dipole (ganda), quadrupole (kuartet), octopole (oktet), dan seterusnya, Jadi sebelum memahami muatan sebaran yang rumit (terdiri dari banyak muatan titik), perlu dipahami terlebih dahulu sistem dipole atau quadrupole. Untuk dipole, berikut gambarannya:

Sebuah dipol terdiri atas dua muatan yang sama besarnya (namun berbeda tanda) yang terpisah oleh jarak yang relatif kecil. Dalam artikel ini, akan dicari jalinan potensial dan medan listrik yang dihasilkan oleh suatu dipol dengan separasi \(d\) serta aproksimasinya untuk jarak \(z\gg d\). Secara umum, potensial listrik di sekitar dipol itu memenuhi,

\begin{align} V=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\left (\frac{Q}{r_+}-\frac{Q}{r_-} \right ) \label{V1} \end{align}

Dengan menggunakan aturan cosinus, diperoleh jalinan \(r_+\):

\begin{align} r_+^2 &= z^2 + d^2-2zd\: \cos \theta \nonumber \\
r_+^2 &= z^2 \left ( 1+\left ( \frac{d}{z} \right )^2 - \frac{2d\cos \theta}{z}\right ) \nonumber \\
\frac{z}{r_+} &= \left ( 1+\left ( \frac{d}{z} \right )^2 - \frac{2d \cos\theta}{z}\right )^{-1/2} \label{rz+} \end{align}

dengan cara yang sama, diperoleh \(r_-\):

\begin{align} r_-^2 = z^2 + d^2-2zd\cos (180^{\circ}-\theta) \nonumber \\
r_-^2 = z^2\left ( 1+\left ( \frac{d}{z} \right )^2 + \frac{2d \cos \theta}{z}\right ) \nonumber \\
\frac{z}{r_-} = \left ( 1+\left ( \frac{d}{z} \right )^2 + \frac{2d\cos\theta}{z}\right )^{-1/2} \label{rz-} \end{align}

Selanjutnya, mengingat ekspansi binomial;

$$ (a+b)^n = a^n+na^{n-1}b+\frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}b^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}a^{n-3}b^3+... $$

Menyulihkan ruas kanan persamaan (\ref{rz+}) ke dalam deret binomial dengan \(a=1\),   \(b = \left ( \frac{d}{z} \right )^2 - \frac{2d \cos\theta}{z}\),   dan \(n=-1/2\), diperoleh:

$$ \frac{z}{r_+} = 1-\frac{1}{2}\left (\frac{d^2}{z^2}-\frac{2d\cos\theta}{z} \right )+\frac{3}{8}\left (\frac{d^2}{z^2}-\frac{2d\cos\theta}{z} \right )^2-... $$

Untuk kasus \(d\ll z\), suku ke-3 dan seterusnya nilainya jauh lebih kecil daripada dua suku pertama sehingga dapat kita abaikan.

\begin{align} \frac{z}{r_+} &\approx 1-\frac{d^2}{2z^2}+\frac{d\cos\theta}{z}+\frac{3}{2}\frac{d^2\cos^2\theta}{z^2} \nonumber \\
&\approx 1+\frac{d\cos\theta}{z}+\frac{d^2}{2z^2}(3\cos^2\theta-1) \label{rz+2} \end{align}

Dengan cara serupa, persamaan (\ref{rz-}) dapat dihampiri sebagai,

\begin{align} \frac{z}{r_-} &= 1-\frac{1}{2}\left (\frac{d^2}{z^2}+\frac{2d\cos\theta}{z} \right )+\frac{3}{8}\left (\frac{d^2}{z^2}+\frac{2d\cos\theta}{z} \right )^2-... \nonumber \\
&\approx 1-\frac{d^2}{2z^2}-\frac{d\cos\theta}{z}+\frac{3}{2}\frac{d^2\cos^2\theta}{z^2} \nonumber \\
&\approx 1-\frac{d\cos\theta}{z}+\frac{d^2}{2z^2}(3\cos^2\theta-1) \label{rz-2} \end{align}

Menyulihkan persamaan (\ref{rz+2}) dan (\ref{rz-2}) ke dalam persamaan (\ref{V1}), diperoleh potensial listrik di titik P.

\begin{align} V &= \frac{Q}{4\pi \epsilon_0}\left (\frac{1}{r_+}-\frac{1}{r_-} \right ) \nonumber \\
&\approx \frac{Q}{4\pi \epsilon_0}\frac{1}{z} \left [\left (1+\frac{d\cos\theta}{z}+\frac{d^2}{2z^2}(3\cos^2\theta-1) \right )-\left (1-\frac{d\cos\theta}{z}+\frac{d^2}{2z^2}(3\cos^2\theta-1) \right ) \right ] \nonumber \\
&\approx \frac{2Qd}{4\pi \epsilon_0 z^2}\cos\theta \label{V2} \end{align}

Nampak untuk kasus \(\theta = 90^\circ\), didapatkan \(V = 0\).

Adapun untuk mencari medan listrik \(\mathbf{E}\), mula-mula kita menulis ulang persamaan (\ref{V2}) dengan mengganti notasi \(z\) menjadi \(r\) agar nampak jelas tersaji dalam koordinat bola.

\begin{align} V(r,\theta) \approx \frac{2Qd}{4\pi \epsilon_0 r^2}\cos\theta \label{V3} \end{align}

Jalinan antara medan dan potensial listrik memenuhi,

\begin{align} \mathbf{E} = -\nabla V = -\left (\hat{r} \frac{\partial V}{\partial r} + \hat{\theta} \frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial \theta} + \hat{\phi} \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial V}{\partial \phi} \right ) \label{E1} \end{align}

Dapat dituliskan komponen-komponen gradiennya:

\begin{align} E_r &= -\frac{\partial V}{\partial r} \approx \frac{Qd}{\pi \epsilon_0 r^3}\cos\theta \nonumber \\
E_\theta &= -\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial \theta} \approx \frac{2Qd}{4\pi \epsilon_0 r^3}\sin\, \theta \nonumber \\
E_\phi &= -\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial V}{\partial \phi}=0 \nonumber \end{align}

Dengan demikian, didapatkan

\begin{align} \mathbf{E}(r,\theta) \approx \frac{2Qd}{4\pi \epsilon_0 r^3}(2\cos\theta\: \hat{r}+\sin\theta \: \hat{\theta}) \label{E2} \end{align}

Kalau mau, perhatikan gambar di bawah (kalau nggak mau ya nggak usah). Garis hijau menunjukkan potensial listrik dan garis ungu medan listrik.

Dapat disimpulkan bahwa pada dipole, potensialnya akan berubah berbanding terbalik dengan kuadrat jaraknya sedangkan medan listriknya berubah berbanding terbalik dengan pangkat tiga jaraknya. Bandingkan dengan bentuk umum hukum Coloumb, mengapa bisa berbeda? Well, pertanyaan ini sebenarnya sudah terjawab pada jabaran di atas. Jika Anda belum mendapatkannya, cobalah Anda buktikan bahwa: $$ \frac{1}{z^2}-\frac{1}{(z+d)^2} \approx \frac{2}{z^3} $$

untuk \(z \gg d\).