Matematika Gila: Infinity Series Paradox

Pada Desember yang mendung terus ini saya akan membahas beberapa paradoks matematika, yakni mengenai infinity series. Paradoks-paradoks ini membuktikan, matematika tidak harus selamanya sesuiai dengan nalar, jika tidak matematika tidak harus selalu pasti. Ada beberapa contoh infinity series yang akan saya bahas di sini, antara lain harmonic series, Grandi’s series, dan Euler’s series.

1.  Harmonic Series

Saat pertama kali mempelajari sifat kekonvergenan deret di SMA, kita diperkenalkan bahwa deret dengan rasio lebih kecil dari 1 (nilai sukunya menuju nol) merupakan deret konvergen, sehingga deret itu mempunyai limit. Tapi tidak semuanya demikian, deret harmonik misalnya.

Berapakah sumasi dari deret di atas? Ternyata nilainya tak hingga. Ya, deret harmonik merupakan deret divergen, berikut pembuktian sederhananya:

Sumasi dari deret di ruas kanan (sebut deret Z) ialah:

Semenjak S > Z, maka pastilah nilai S juga tak hingga. Jika kita menggunakan integral berdasarkan kaitan antara sumasi sigma dan integral, diperoleh:

Jika kita masukkan nilai m = ∞, diperoleh s = S = ∞. Oke, mungkin ini tidak terhitung sebgai paradoks, mari kita lanjutkan ke poin berikutnya.

2.  Grandi’s Series

Berapakah 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0? Tentu jawabannya nol juga, 7 × 0 = 0. Bagaimana jika jumlah suku(nol)-nya ada satu trilyun? Ya jawabannya nol juga. Tetapi bagaimana jika jumlah sukunya tak hingga? Nol juga? Eits, tunggu dulu!

S = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + …

S = (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + …

S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …

S – 1 = – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …

Perhatikan bahwa S – 1 sama dengan –S, sehingga diperoleh

S – 1 = -S

S = ½

Jadi kita telah membuktikan 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + … (nol-nya sebanyak tak hingga) hasilnya bisa tidak sama dengan nol. Deret S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … ini dinamakan Grandi’s series. Selanjutnya jika mengubah S = 0 + 0 + 0 + … menjadi (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + …, maka diperoleh hasil yang berbeda, yakni S = -½. Apakah ini berarti ½ = -½? He..he…

3.  1 – 2 + 4 – 8 + … = ? (Nggak tahu apa namanya)

Mirip dengan yang nomor 2, pasti Anda mengira jumlah dari deret di atas pastilah bilangan bulat, postitif ataupun negatif. Misal kita namakan deret ini dengan S.

S = 1 – 2 + 4 – 8 + 16 – …

-2S = -2 + 4 – 8 + 16 – 32 + …

Diperoleh:

S – 1 = -2S

S = 1/3.

Lho??


4.  Euler’s Series

Berapakah sumasi dari S = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – …? Bila ditulis dalam notasi sigma

Jika m berhingga -- berapapun itu, dapat dipastikan jumlah dari deret tadi bilangan bulat. Misalkan untuk m = 100 diperoleh S = -50, atau untuk m = 101 diperoleh S = 51. Bagaimana jika m = ∞? Perhatikan solusi dari Euler di bawah ini:

4S = (1 – 2 + 3 – 4 + …) + (1 – 2 + 3 – 4 + …) + (1 – 2 + 3 – 4 + …) + (1 – 2 + 3 – 4 + …)

4S = (1 – 2 + 3 – 4 + …) + 1 + (-2 + 3 – 4 + 5 – …) + 1 + (-2 + 3 – 4 + 5 – …) – 1 + (3 – 4 + 5 – 6 + …)

Dengan menjumlahkan semua 1 dan -1 diluar kurung dan mengumpulkan suku ke-n dari tiap kurung diperoleh:

4S = 1 + {(1 – 2 – 2 + 3) + (-2 + 3 + 3 – 4) + (3 – 4 – 4 + 5) +(-4 + 5 + 5 – 6) + …}

4S = 1 + {0 + 0 + 0 + 0}

4S = 1

S = ¼

Lho?? Apa ada yang keliru? Coba kita tempuh dengan metode lain, deret Binomial Newton diperoleh:

(1 + x)^-2 = 1 – 2x + 3x² – 4x³ + …

Jika kita mengambil x = 1, maka diperoleh deret yang sama dengan deret Euler, S, sehingga didapatkan

1 – 2 + 3 – 4 + … = (1 + 1)^-2

1 – 2 + 3 – 4 + … = ¼

Eh, ternyata diperoleh hasil yang sama..

Kapan-kapan saya akan memposting mengenai partial summation yang erat kaitannya dengan kegilaan ini.