Selasa, 09 Agustus 2011

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

          Nilai eigen merupakan nilai karakteristik suatu matriks. Secara sederhana, nilai eigen merupakan nilai yang mempresentasikan suatu matriks dalam perkalian dengan suatu vektor, dapat ditulis sebagai:


di mana A suatu matriks, x merupakan vektor, dan λ merupakan nilai eigen dari matriks A. Nilai eigen matriks A dapat dicari dengan



          Misalkan diberikan A metriks 3x3 dan vektor x


maka (A-λ)x = 0 dapat ditulis


Untuk mencari nilai λ yang sesuai, terlebih dahulu dihitung determinan dari (A-λ) dengan metode Sarrus atau ekspansi kofaktor, diperoleh



polinomial yang didapatkan di atas disebut polinomial karakteristik. Jika dicari dengan pemfaktoran atau dengan bantuan Matlab, diperoleh -λ3+4λ2+4λ-16 = (λ+2)(-λ+2)(λ-4)
sehingga didapatkan ketiga nilai eigen yaitu λ = 2, λ = -2 dan λ = 4

          Cara spesial untuk memperoleh polinomial karakteristik matriks 2x2 dan 3x3 ialah:
☺ 2x2 -> det(A) - λ.trace(A) + λ2
☺ 3x3 -> det(A) - λ.(M11 + M22 + M33) + λ2.trace(A) - λ3


Vektor Eigen

          Vektor eigen(x) merupakan solusi dari matriks (A-λ) untuk setiap nilai λ yang ada di mana x ≠ 0. Misalkan pada matriks A tadi mempunyai tiga nilai eigen, maka vektor eigennya juga ada tiga. Misalkan untuk λ = 2



          SPL di atas dapat diselesaikan dengan metode Gauss atau Gauss-Jordan. Metode Crammer tak dapat digunakan karena matriks di atas tidak memiliki solusi sejati (determinannya = 0). Jadi kita hanya dapat memperoleh solusi trivialnya dengan menyatakan a, b, dan c misalkan dalam c. Dengan metode Gauss, matriks segitiga atas yang diperoleh setelah melakukan operasi baris elementer (OBE) yaitu:


jika a, b, c kita nyatakan dalam c, diperoleh
-0,4b - 0,4c = 0
-10a + 21b - 9c = 0
dari kedua persamaan di atas diperoleh b = -c dan a = -3c. Jadi vektor eigen untuk λ = 2 ialah


untuk λ = -2, jika dicari diperoleh


dan untuk λ = 4




Lampiran:
1. script Matlab untuk mencari polinomial karakteristik dan nilai eigen
% Polinomial Karakteristik dan Nilai Eigen
clc;
clear all;
A=input('Mariks A = ');
clc;
disp('Matriks A =');
disp(A);
dA=det(A);
[ba,ka]=size(A);
syms L;
for j=1:ka
for i=1:ba
C=A-L*eye(ba);
end
end
disp(C);
disp('polinomial karakteristik matriks A=');
disp(det(C));
disp('nilai eigen matriks A=');
disp(eig(A));

2. script matlab untuk merubah matriks 2x2, 3x3, dan 4x4 menjadi matriks segitiga atas
% Program transformasi matriks metode Gauss (Operasi Baris Elementer)
% untuk matriks persegi 2, 3 dan 4
% @skaga 2010
clc;
clear;
A=input('Mariks A = ');
clc;
disp('Matriks A =');
disp(A);
dA=det(A);
[ba,ka]=size(A);
if ba==2 % matriks 2x2
if (ba==ka)
C=A;
for i=2%O21
for j=1:ka
C(i,j)=A(i,j)+A(i-1,j)*(-A(i,1)/A(i-1,1));
end
disp(C);
end
disp('determinan A=');
disp(C(1,1)*C(2,2));
else
disp ('Tidak ada penyelesaian');
end
elseif ba==3 % matriks 3x3
if (ba==ka)
C=A;
for i=2%O21
for j=1:ka
C(i,j)=A(i,j)+A(i-1,j)*(-A(i,1)/A(i-1,1));
end
disp(C);
end
for i=3%O31
for j=1:ka
C(i,j)=A(i,j)+A(i-2,j)*(-A(i,1)/A(i-2,1));
end
disp(C);
end
for i=3%O32
A=C;
for j=1:ka
C(i,j)=A(i,j)+A(i-1,j)*(-A(i,2)/A(i-1,2));
end
disp(C);
end
disp('determinan A=');
disp(C(1,1)*C(2,2)*C(3,3));
else
disp ('Tidak ada penyelesaian');
end
elseif ba==4 % matriks 4x4
if (ba==ka)
C=A;
for i=2%O21
for j=1:ka
C(i,j)=A(i,j)+A(i-1,j)*(-A(i,1)/A(i-1,1));
end
disp(C);
end
for i=3%O31
for j=1:ka
C(i,j)=A(i,j)+A(i-2,j)*(-A(i,1)/A(i-2,1));
end
disp(C);
end
for i=4%O41
for j=1:ka
C(i,j)=A(i,j)+A(i-3,j)*(-A(i,1)/A(i-3,1));
end
disp(C);
end
for i=3%O32
A=C;
for j=1:ka
C(i,j)=A(i,j)+A(i-1,j)*(-A(i,2)/A(i-1,2));
end
disp(C);
end
for i=4%O42
for j=1:ka
C(i,j)=A(i,j)+A(i-2,j)*(-A(i,2)/A(i-2,2));
end
disp(C);
end
for i=4%O43
A=C;
for j=1:ka
C(i,j)=A(i,j)+A(i-1,j)*(-A(i,3)/A(i-1,3));
end
disp(C);
end
disp('determinan matriks A=');
disp(C(1,1)*C(2,2)*C(3,3)*C(4,4));
else
disp ('Tidak ada penyelesaian');
end
end


Pustaka: Mursita, Danang, Aljabar Linear, Rekayasa Sains, Bandung, 2010
Keterangan: Mmn artinya minor dari elemen matriks baris ke-m kolom ke-n.

4 komentar:

  1. sugee :)
    Arigatou Gozaimasu ...

    BalasHapus
  2. gan script matlab untuk nyari vektor eigennya ada gak gan? trimakasi sebelomnya

    BalasHapus



Perhatian: Semua tulisan pada blog ini merupakan karya intelektual admin baik dengan atau tanpa literatur kecuali disebutkan lain. Admin berterima kasih jika ada yang bersedia menyebarkan tulisan-tulisan atau unggahan lain di blog ini dengan tetap mencantumkan sumber artikel. Pemuatan ulang di media online mohon untuk diberikan tautan/link sumber. Segala bentuk plagiasi merupakan pelanggaran hak cipta.