Orbit (1)

Planet-planet mengelilingi Matahari dalam lintasan elips, dan memang sebagian besar benda langit memiliki orbit elips. Pada tulisan ini hanya akan dibahas secara ringkas mengenai orbit elips. Sebelumnya, kita perlu memahami apa definisi dari elips. Diberikan dua buah titik yang disebut fokus, kurva yang terbentuk dari titik-titik dengan jumlah jarak dari titik itu ke kedua fokusnya adalah sama disebut sebagai elips. Suatu elips yang berpusat di \((x_0,y_0)\) dapat dinyatakan dalam persamaan

\begin{align} \frac{x-x_0}{a} + \frac{y-y_0}{b} = 1 \label{elips} \end{align}

dengan \(a\) dan \(b\) suatu tetapan.

Elips tampak seperti lingkaran yang dipepatkan pada salah satu sumbunya. Sumbu elips (garis lurus yang membagi dua elips melalui pusatnya) yang paling panjang disebut sumbu panjang, sedangkan sumbu yang paling pendek disebut sumbu pendek.

Besaran-besaran geometrik dalam orbit elips adalah sebagai berikut:

1. Sumbu semi-mayor (\(a\))
   Sumbu semi-mayor adalah setengah sumbu panjang elips, seperti yang kita tahu elips memiliki dua sumbu yang tidak sama panjang.
   
   
2. Sumbu semi-minor (\(b\))
   Sumbu semi-minor adalah setengah dari sumbu pendek elips.
   
   
3. Panjang fokus (\(c\))
   Panjang fokus adalah jarak antara pusat elips terhadap fokusnya. Dengan memperhatikan gambar di atas, berdasarkan dalil pythagoras, dipenuhi
\begin{align} c^2 &= a^2 - b^2 \nonumber \\
c &= \sqrt{a^2 - b^2} \label{c} \end{align}

4. Eksentrisitas (\(e\))
   Eksentrisitas adalah ukuran kepepatan suatu elips. Eksentrisitas didefinisikan sebagai,
   \begin{align} e = \frac{c}{a} =\frac{Q-q}{Q+q} \label{e} \end{align}
   Pada lingkaran, kedua fokus dan pusatnya berimpit (\(c=0\)). Dengan demikian, eksentrisitas lingkaran sama dengan nol.
   
   
5. Apfokus (\(Q\))
   Apfokus adalah titik terjauh pada elips dari fokusnya. Pada sistem Bumi – Matahari disebut aphelium, pada sistem Bumi – Bulan disebut apogea, pada sistem bintang ganda disebut apastron. Panjang apfokus memenuhi jalinan,
   
   
\begin{align} Q &= a + c \nonumber \\
&= a(1+e) \label{Q} \end{align}

6. Perifokus (\(q\))
   Perifokus adalah titik terdekat pada elips dari fokusnya. Pada sistem Bumi – Matahari disebut perihelium, pada sistem Bumi – Bulan disebut perigea, pada sistem bintang ganda disebut periastron. Panjang perifokus memenuhi jalinan,
\begin{align} q &= a - c \nonumber \\
&= a(1-e) \label{q} \end{align}

7. Semilatus rectum (\(p\))
   Semilatus rectum adalah setengah dari garis sejajar sumbu minor yang melalui titik fokus.
\begin{align} p &= a(1-e^2) \label{p} \end{align}

8. Sudut Perifokus (\(\nu\))
   Sudut perifokus atau anomali benar adalah sudut yang diukur dari perifokus ke garis hubung fokus ke suatu titik pada elips berlawanan arah jarum jam.

Dari jalinan di atas, dapat diturunkan berbagai jalinan lainnya, antara lain sebagai berikut.

\begin{align} a &= \frac{Q+q}{2} \nonumber \\
b &= a\sqrt{1-e^2} = \sqrt{Qq} \nonumber \\
c &= \frac{Q-q}{2} \nonumber \\
\end{align}

Adapun jarak suatu titik pada elips dengan sudut perifokus \(\nu\) dari fokusnya memenuhi.

\begin{align} r(\nu) = \frac{p}{1+e\cos\nu} \label{r} \end{align}

Selanjutnya, kita akan membahas sekilas mengenai besaran dinamik dari orbit elips. Jika suatu objek bermassa \(m_2\) beredar mengelilingi objek bermassa \(m_1>m_2\) dalam orbit elips dengan parameter \(a\) dan \(p\), energi total (\(E\)) dan momentum sudut (\(L\)) sistem memenuhi,

\begin{align} E &= -\frac{Gm_1 m_2}{2a} \label{E} \\
L &= \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2} h \label{L} \\
\end{align}

dengan \(h^2 = G(m_1+m_2)p\) ialah momentum sudut spesifik.