Bunga Salju Koch, keliling tak hingga?

Bunga salju Koch (Koch snowflake) merupakan suatu fraktal (fractal). Apa itu fraktal? Kata fraktal pertama kali diperkenalkan oleh Benoit Mandelbrot yang berasal dari kata fractus (latin) yang berarti patah, rusak, pecah, tidak teratur. Secara sederhana fractal  merupakan bentuk geometri yang menampakkan keserupaan diri pada tingkat perbesaran yang berbeda-beda. Berdasarkan keserupaan dirinya, fraktal dibagi menjadi tiga, yaitu keserupaan diri kuat(persis), keserupaan diri lemah dan keserupaan diri statistik (paling lemah). Keserupaan diri kuat mungkin hanya ada dalam teori matematika, namun keserupaan diri yang lebih lemah dapat dengan mudah ditemukan di alam. Misalkan saja pohon, jika Anda mematahkan dahannya dan menegakkannya, dahan itu akan terlihat mirip dengan pohonnya. Jika rantingnya Anda patahkan lagi, hasilnya masih mirip dengan pohon. Bahkan jika Anda memperhatikan struktur tulang daun, masih akan terlihat mirip dengan percabangan batang pohon. Contoh fraktal lain di alam ialah brokoli, batik, dan lainnya.

Bunga salju Koch

Bunga salju Koch dapat digambarkan dengan segitiga yang memotong segitiga lainnya 180º hingga terbentuk enam segitiga kecil. Kemudian segitiga-segitiga kecil ini ditumpuk lagi hingga menghasilkan segitiga yang lebih kecil, begitu seterusnya. Berikut gambar bunga salju Koch dari iterasi pertama sampai ke empat:

Nah, jika kita terus mengulangi iterasinya sampai tak hingga, berapakah dimensi dari segitiga terkecilnya? Kita tahu dimensi geometris dari segitiga ialah 2, namun dalam fraktal, dimensi bisa saja berbentuk pecahan. Dimensi geometris dari fraktal diberikan dalam rumus

D = - log N/log ε

Dimana N kelipatan objek tiap iterasi dan ε perbandingan ukuran linear tiap iterasi. Perhatikan tiap iterasi jumlah segitiga menjadi enam kali semula dan panjang sisinya menjadi sepertiga kali semula, maka dimensinya ialah:

D = - log 6 / log (1/3) = 1,631

Ah, sepertinya saya agak melenceng, oke, sekarang kita akan membuktikan keliling bunga salju Koch sempurna (iterasi sampai tak hingga) ialah tak hingga. Yang diperlukan hanyalah pemahaman mengenai deret geometri dan kekonvergen/divergenan.

Perhatikan gambar pada iterasi pertama, jika panjang rusuknya ialah r, maka kelilingnya ialah:

K₁ = 3r

Sekarang pada iterasi kedua, rusuknya menjadi 12 dengan panjang rusuknya r/3, kelilingnya ialah:

K₂ = 6 × 2 × r/3 = 4r

Pada iterasi ketiga, jumlah rusuknya 6 × 8 = 48 dengan panjang rusuk r/9, kelilingnya

K₃ = 6 × 8 × r/9 = 16r/3

Nah, pada iterasi keempat mulai sulit hitungannya, jika Anda teliti maka jumlah rusuknya 96 dengan panjang rusuk r/27, kelilingnya

K₄ = 6 × 16 × r/27 = 64r/9

Silahkan lanjutkan terus jika mau, dan akan bersesuaian dengan rumus

K_n = 6 × 2^n-1 × r/3^n-1

Rumus ini berlaku umum selain dari iterasi pertama ke iterasi kedua. Jika kita nyatakan dalam deret, jadinya:

Dengan membagi suku ke-2 dengan suku ke-1, suku ke-3 dengan suku ke-2, dan seterusnya diperoleh rasio yang tetap, r = 4/3. Menurut teorema… (saya lupa), jika rasionya lebih besar daripada 1, maka deret itu merupakan  deret divergen (jumlahnya tak hingga). Jadi tebukti jika keliling bunga salju Koch adalah tak hingga.

Bagaimana dengan luasnya? Jika mengangap luas segitiga pada iterasi pertama = 1, maka luas bunga salju Koch dapat dinyatakan dalam deret

Deret diatas konvergen, artinya luasnya berhingga (jelas). ada yang tahu berapa nilai eksaknya?


sumber gambar: wikipedia