p a r a d o k s: Pembuktian ∫ dx/x = ln(x)

Kamis, 15 September 2011

Pembuktian ∫ dx/x = ln(x)

Ini merupakan pelajaran matematika SMU, tapi berani jamin tak banyak guru maupun mahasiswa matematika yang tahu kenapa ∫ dx/x = ln(x). Pada kesempatan ini saya akan membuktikannya. Senjata yang kita perlukan adalah deret Mac Laurin untuk e^x, namun saya tidak akan menurunkannya dari deret Taylor yang menggunakan kalkulus, saya akan menurunkan deret Mac Laurin e^x dari deret binomial Newton yang notabene bisa didapat dengan aljabar biasa.

Pertama, ingat kembali nilai tetapan Euler atau bilangan natural yang didefinisikan sebagai:

$e=\lim_{n \to \infty }\left (1+\frac{1}{n} \right )^n$

sehingga e^x dapat dituliskan

$e^x=\lim_{n \to \infty }\left (1+\frac{1}{n} \right )^{nx}$

Dengan deret binomial Newton

$(a+b)^c=a^c+c\: a^{c-1}b+\frac{c(c-1)}{2!}a^{c-2}b^2+\frac{c(c-1)(c-2))}{3!}a^{c-3}b^3+...$

kita peroleh

$e^x=\lim_{n \to \infty }\left (1^{nx} + \frac{nx(1)}{n} + \frac{(nx)^2-nx}{2!}\frac{1}{n^2} + \frac{(nx)^3-3(nx)^2+2nx}{3!}\frac{1}{n^3} +... \right )$

Mengingat n amat sangat besar (menuju tak hingga), maka nilai nx bisa diabaikan dalam (nx)² - nx. Begitu pula (nx)² dan nx kita abaikan dalam (nx)³ - 3(nx)² + 2nx sehingga didapatkan

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...$

Jadilah deret Mac Laurin untuk e^x. Nah, sekarang kita buktikan sesuatu yang sangat unik, yaitu turunan dari e^x.

$\frac{d}{dx} e^x =0+1+x+\frac{x^2}{2!}+...$

yang nampaknya bernilai sama dengan e^x. Jika diteruskan hingga suku ke-berapa pun hasilnya akan sama sehingga dapat kita tuliskan

$\frac{d}{dx} e^x=e^x$

Ini adalah salah satu bentuk yang istimewa dalam kalkulus. Selanjutnya kita akan membuktikan ∫ dx/x = ln(x) dengan memilih fungsi

$y=e^x$

sehingga

$\frac{dy}{dx}=e^x$

dengan kata lain diperoleh persamaan diferensial

$\frac{dy}{dx}=y$

Kita coba selesaikan

$\int \frac{1}{y}\: dy=\int dx$

$\int \frac{1}{y}\: dy=x+C$

mengingat nilai y yang memenuhi PD di atas ialah y = e^x, berarti x = ln(y), sehingga akhirnya diperoleh

$\int \frac{1}{y}\: dy=\ln(y)+C$

Q.E.D.