Toricelli's Trumpet dan Painter's Paradox

Toricelli's Trumpet (sumber: en.wikipedia.org)

Toricelli’s Trumpet atau Gabriel’s Horn adalah bentuk geometri yang dibentuk dengan memutar kurva y = 1/x dengan batas x = 1 hingga x menuju tak hingga.

Hasil pemutaran itu akan membentuk permukaan dua dimensi dalam dimensi tiga. Dengan menggunakan kalkulus, dapat diperoleh volume dan luas permukaan dari terompet Toricelli.

Nah, jika diambil nilai b → ∞, diperoleh volume dan luas permukaan dari Terompet Toricelli

Ternyata diperoleh volume dari Terompet Toricelli berhingga, yakni π, tetapi luas permukaannya tak hingga. Lho, kok bisa?


Painter’s Paradox

Seandainya Terompet Toricelli itu eksis, maka terompet itu hanya bisa menampung cat sebanyak π satuan volume, padahal panjang(dalam)-nya tak hingga! Kira-kira jika tetes-tetes cat dituang ke dalam terompet dengan kelajuan v, kapan ia sampai ke dasar? Kapan terompet akan penuh — mengingat kedalaman Terompet Toricelli tak hingga? Tapi bagaimanapun kita bisa pastikan terompet akan penuh mengingat volumenya berhingga.

Berikutnya lagi adalah, Terompet Toricelli hanya mampu menampung cat sebanyak π satuan volume, tetapi karana luasnya tak hingga, apakah kita perlu tak hingga banyaknya cat untuk mengecat permukaannya?

Yup, itulah Painter’s Paradox. Penjelasannya sederhana, yakni konsep “permukaan”. Permukaan adalah manifestasi dari geometri dua dimensi yang sesungguhnya, hanya ada dua dimensi panjang. Namun tidak ada bentuk dua dimensi yang bisa eksis secara independen dalam dunia tiga dimensi. Ya, benda dua dimensi itu hanya bisa menjadi permukaan dari benda tiga dimensi (malah mungkin benda dua dimensi yang independen adalah mustahil). Bayangkanlah seperti ini: Andai saja benda dua dimensi yang independen itu ada, dan dibentangkan kemudian Anda menjatuhkan diri di atasnya. Apakah Anda akan tertahan oleh benda itu atau bakal nembus saja?

Saya memilih untuk mengatakan bahwa Anda akan menembus benda itu, karena benda itu tidak memiliki ketebalan sama sekali. Nah, jadi seperti itulah konsep geometri dua dimensi secara matematis, begitu pula halnya dengan permukaan. Cat, bagaimanapun adalah benda tiga dimensi. Lapisan cat tetap memiliki ketebalan. Lalu bagaimana kaitan benda dua dimensi dengan benda tiga dimensi? Asumsikanlah sebuah kubus dengan panjang rusuk (r) tertentu dibelah-belah hingga manghasilkan lembaran yang sangat tipis. Andaikata pembelahan itu terus dilakukan sampai tak hingga banyaknya, maka akan diperoleh benda dua dimensi dengan luas r² yang jumlahnya tak hingga. Jadi benda tiga dimensi dapat dikata tersusun dari tak hingga benda dua dimensi!

Dengan demikian, seandainya kita dapat membuat lapisan cat tanpa ketebalan (ketebalannya betul-betul nol), tentu saja tidak diperlukan banyak cat untuk melapisi Terompet Toricelli. Dengan demikian paradoks ini terselesaikan dengan caranya sendiri.

Hal lain yang dapat dikaji dari problem ini:

Volum adalah produk dari luas alas dan panjang (tinggi). Ternyata pada Terompet Toricelli, meskipun panjangnya tak hingga tetapi volumenya berhingga. Dengan demikian terdapat suatu bilangan (atau entitas lainnya) jika dikalikan tak hingga akan menjadi nilai tertentu. Dengan ini pula saya berusaha membuktikan pada teman saya saudara Aldytia bahwa bentuk 0 × ∞ adalah bentuk tak tentu, yang hasilnya bisa saja (sembarang) bilangan riil, tidak harus 0.